1
00:00:00,620 --> 00:00:02,780
Хайде да решим една
наистина интересна задача.

2
00:00:02,780 --> 00:00:07,720
Имаме у = х и у = х^2 – 2х.

3
00:00:07,840 --> 00:00:10,960
Ще завъртим тази областта
между графиките на тези две функции.

4
00:00:11,020 --> 00:00:13,277
Това е тази област ето тук.

5
00:00:13,277 --> 00:00:15,610
Но няма да я завъртим
около оста х,

6
00:00:15,610 --> 00:00:19,360
а ще я завъртим около
хоризонталната права у = 4.

7
00:00:19,360 --> 00:00:21,454
Значи завъртаме около
тази права.

8
00:00:21,454 --> 00:00:23,870
Ако направим това,
ще получим тяло, подобно на това.

9
00:00:23,870 --> 00:00:26,550
Нарисувах го предварително,
така че да го направя хубаво.

10
00:00:26,550 --> 00:00:30,210
Както виждаш, прилича
на някаква саксия,

11
00:00:30,210 --> 00:00:32,060
която има дупка на дъното.

12
00:00:32,060 --> 00:00:34,520
Сега ще се опитаме
да използваме

13
00:00:34,520 --> 00:00:36,395
метода на пръстена, който

14
00:00:36,395 --> 00:00:37,800
е вариант на метода на диска.

15
00:00:37,800 --> 00:00:39,790
Да си представим един пръстен.

16
00:00:39,790 --> 00:00:42,350
Да вземем някаква
стойност на х.

17
00:00:42,350 --> 00:00:45,520
Нека да е това х ето тук.

18
00:00:45,520 --> 00:00:47,750
Нека да е това х ето тук.

19
00:00:47,750 --> 00:00:49,980
Сега ще завъртим тази област.

20
00:00:50,160 --> 00:00:54,090
Ще има някаква дебелина, dх.

21
00:00:54,090 --> 00:00:55,010
Това е fх.

22
00:00:55,010 --> 00:00:57,700
Ще го завъртим около
правата у = 4.

23
00:00:57,840 --> 00:01:02,580
Когато го чертая тук, има
някаква дебелина.

24
00:01:02,580 --> 00:01:05,472
Когато завъртим около това,
вътрешният радиус

25
00:01:05,472 --> 00:01:07,680
ще прилича на вътрешния
радиус на пръстена.

26
00:01:07,680 --> 00:01:12,040
Ще изглежда ето така.

27
00:01:12,200 --> 00:01:13,900
После външният радиус
на пръстена

28
00:01:13,900 --> 00:01:17,420
ще се определя от х^2 – 2х.

29
00:01:17,420 --> 00:01:21,780
Ще изглежда...

30
00:01:21,780 --> 00:01:23,703
старая се максимално –

31
00:01:23,703 --> 00:01:28,040
ще изглежда приблизително така.

32
00:01:28,040 --> 00:01:30,800
И нашият пръстен, разбира се,
ще има някаква дебелина.

33
00:01:30,810 --> 00:01:32,250
Ще начертая тази дебелина.

34
00:01:32,250 --> 00:01:35,950
Ще има дебелина dх.

35
00:01:35,950 --> 00:01:39,940
Това е най-добрият ми
опит да покажа тази дебелина.

36
00:01:39,940 --> 00:01:42,970
Това е дебелината на пръстена.

37
00:01:42,970 --> 00:01:45,440
Сега ще направя основата на 
пръстена малко по-ясна,

38
00:01:45,440 --> 00:01:47,230
ще използвам това зелено.

39
00:01:47,230 --> 00:01:52,140
Основата на пръстена ще
бъде ето това нещо.

40
00:01:52,300 --> 00:01:57,060
Всичко това ще бъде
основата на пръстена.

41
00:01:57,060 --> 00:01:59,350
Ако можем да намерим 
обема на един от тези пръстени

42
00:01:59,350 --> 00:02:01,210
за дадена стойност на х, тогава

43
00:02:01,210 --> 00:02:03,240
можем да сумираме всички
обеми на всички пръстени

44
00:02:03,240 --> 00:02:05,919
за всяко х в този интервал.

45
00:02:05,919 --> 00:02:07,710
Да видим какъв ще бъде
интегралът

46
00:02:07,710 --> 00:02:09,990
и в следващото видео може би

47
00:02:09,990 --> 00:02:13,820
ще се впуснем
и ще изчислим този интеграл.

48
00:02:13,820 --> 00:02:15,964
Да видим какъв
е обемът на този пръстен.

49
00:02:15,964 --> 00:02:17,630
Като разглеждаме обема
на пръстена,

50
00:02:17,630 --> 00:02:21,280
ние всъщност разглеждаме
площта на основата на пръстена.

51
00:02:21,500 --> 00:02:26,500
Площта на "основата" –
слагам основа в кавички,

52
00:02:26,510 --> 00:02:28,380
на колко ще е равна?

53
00:02:28,380 --> 00:02:30,670
Площта на основата на пръстена...

54
00:02:30,670 --> 00:02:32,880
Ако това не беше пръстен,
ако беше монета,

55
00:02:32,880 --> 00:02:35,441
и от нея извадим
площта на тази част,

56
00:02:35,441 --> 00:02:36,440
която изрязваме.

57
00:02:36,440 --> 00:02:40,620
Площта на пръстена, ако
няма отвор в средата,

58
00:02:40,740 --> 00:02:48,140
щеше да е пи по квадрата
на външния радиус.

59
00:02:48,140 --> 00:02:51,080
Щеше да е пи по 
квадрата на радиуса,

60
00:02:51,090 --> 00:02:52,950
който можем да наречем
външен радиус.

61
00:02:52,950 --> 00:02:55,320
Но понеже това е пръстен,
трябва да извадим

62
00:02:55,320 --> 00:02:57,030
площта на вътрешния кръг.

63
00:02:57,030 --> 00:03:05,500
Значи минус пи по квадрата
на вътрешния радиус.

64
00:03:05,500 --> 00:03:07,000
Така че трябва само да намерим

65
00:03:07,000 --> 00:03:11,160
външния и вътрешния радиус,
тези двата радиуса.

66
00:03:11,160 --> 00:03:12,710
Да помислим върху това.

67
00:03:12,710 --> 00:03:19,971
Значи външният радиус
ще е равен на колко?

68
00:03:19,971 --> 00:03:21,470
Можем да го видим ето тук.

69
00:03:21,470 --> 00:03:23,610
Това е външният радиус,
който също така

70
00:03:23,610 --> 00:03:27,770
е равен на този тук.

71
00:03:27,770 --> 00:03:31,520
Това е разстоянието между
у = 4 и функцията, която

72
00:03:31,520 --> 00:03:33,760
дефинира външната 
част на тялото.

73
00:03:33,760 --> 00:03:41,700
Това практически е
тази височина тук,

74
00:03:41,700 --> 00:03:45,280
тя е равна на 4 – (х^2 – 2х).

75
00:03:45,280 --> 00:03:48,680
Просто намирам разстоянието
или височината между тези две функции.

76
00:03:48,900 --> 00:03:52,140
Другият радиус ще бъде
4 пъти това,

77
00:03:52,140 --> 00:03:55,100
минус (х^2 – 2х),
което е просто

78
00:03:55,100 --> 00:03:58,520
4 – х^2 + 2х.

79
00:03:58,520 --> 00:04:04,780
А колко е вътрешният
радиус?

80
00:04:05,080 --> 00:04:06,830
На колко е равен?

81
00:04:06,830 --> 00:04:11,550
Това ще бъде разстоянието
между

82
00:04:11,550 --> 00:04:13,480
у = 4 и у = х.

83
00:04:13,480 --> 00:04:18,880
Значи ще бъде 4 – х.

84
00:04:19,080 --> 00:04:22,810
За да намерим площта
на основата на

85
00:04:22,810 --> 00:04:27,090
един от тези пръстени за
дадено х, трябва...

86
00:04:27,090 --> 00:04:30,290
като можем да изнесем
пред скоби пи...

87
00:04:30,290 --> 00:04:34,680
ще бъде пи по
квадрата на външния радиус,

88
00:04:34,680 --> 00:04:36,540
който е целият този израз
на квадрат.

89
00:04:36,540 --> 00:04:41,830
Ще бъде (4 – х^2 + 2х)^2

90
00:04:41,830 --> 00:04:43,280
минус пи по вътрешния радиус,

91
00:04:43,280 --> 00:04:44,780
всъщност ние изнесохме
пред скоби пи,

92
00:04:44,780 --> 00:04:46,810
минус квадрата на
вътрешния радиус.

93
00:04:46,810 --> 00:04:51,800
Значи минус (4 – х)^2.

94
00:04:51,800 --> 00:04:57,650
Това ни дава площта
на основата

95
00:04:57,650 --> 00:04:59,280
на един от тези пръстени.

96
00:04:59,280 --> 00:05:01,700
За да намерим обема
на един от тези пръстени,

97
00:05:01,700 --> 00:05:07,340
трябва да умножим това
по дебелината, по dх.

98
00:05:08,000 --> 00:05:10,800
За да намерим обема
на цялото това тяло,

99
00:05:10,800 --> 00:05:14,250
трябва само да сумираме
обемите на тези пръстени

100
00:05:14,250 --> 00:05:16,680
за всяка стойност на х.
Да го направим.

101
00:05:16,820 --> 00:05:19,040
Ще сумираме обемите
на всички пръстени

102
00:05:19,050 --> 00:05:21,300
за всяко х ще вземем границата,
когато клонят към нула.

103
00:05:21,300 --> 00:05:23,490
Но първо да съставим вярно 
нашия интеграл.

104
00:05:23,490 --> 00:05:26,260
Какви са тези...
интересува ни цялата тази област

105
00:05:26,260 --> 00:05:28,840
между точките на пресичане
на графиките на двете функции.

106
00:05:28,840 --> 00:05:30,620
Да определим интервала.

107
00:05:30,620 --> 00:05:32,203
За да определим интервала,

108
00:05:32,203 --> 00:05:39,820
определяме кога у = х пресича
у = х^2 – 2х.

109
00:05:39,980 --> 00:05:41,620
Ще използвам различен цвят.

110
00:05:41,620 --> 00:05:49,260
Търсим само кога
х = х^2 – 2х.

111
00:05:49,360 --> 00:05:51,420
Кога двете функции са равни?

112
00:05:51,420 --> 00:05:53,030
Това означава, че...

113
00:05:53,030 --> 00:05:58,040
ако извадим х от двете страни,

114
00:05:58,040 --> 00:06:02,180
получаваме кога
х^2 – 3х е равно на 0.

115
00:06:02,190 --> 00:06:05,260
Можем да изнесем пред скоби
х отдясно.

116
00:06:05,260 --> 00:06:09,530
Получаваме х(х – 3) = 0.

117
00:06:09,530 --> 00:06:12,310
Това произведение е равно на
нула, когато

118
00:06:12,310 --> 00:06:13,350
поне един от членовете е нула.

119
00:06:13,350 --> 00:06:18,380
Значи х може да е равно на 0,
или (х – 3) може да е равно на 0.

120
00:06:18,380 --> 00:06:21,280
Значи х е равно на 0 или на 3.

121
00:06:21,280 --> 00:06:25,660
Значи тук х е равно на 0, 
а ето тук х е равно на 3.

122
00:06:25,840 --> 00:06:27,100
Така получихме интервала.

123
00:06:27,100 --> 00:06:30,260
Интервалът е от х = 0 до х = 3,

124
00:06:30,260 --> 00:06:32,850
за да сметнем обема.

125
00:06:32,850 --> 00:06:36,620
В следващото видео
ще сметнем интеграла.