WEBVTT

00:00:00.620 --> 00:00:02.780
Хайде да решим една
наистина интересна задача.

00:00:02.780 --> 00:00:07.720
Имаме у = х и у = х^2 – 2х.

00:00:07.840 --> 00:00:10.960
Ще завъртим тази областта
между графиките на тези две функции.

00:00:11.020 --> 00:00:13.277
Това е тази област ето тук.

00:00:13.277 --> 00:00:15.610
Но няма да я завъртим
около оста х,

00:00:15.610 --> 00:00:19.360
а ще я завъртим около
хоризонталната права у = 4.

00:00:19.360 --> 00:00:21.454
Значи завъртаме около
тази права.

00:00:21.454 --> 00:00:23.870
Ако направим това,
ще получим тяло, подобно на това.

00:00:23.870 --> 00:00:26.550
Нарисувах го предварително,
така че да го направя хубаво.

00:00:26.550 --> 00:00:30.210
Както виждаш, прилича
на някаква саксия,

00:00:30.210 --> 00:00:32.060
която има дупка на дъното.

00:00:32.060 --> 00:00:34.520
Сега ще се опитаме
да използваме

00:00:34.520 --> 00:00:36.395
метода на пръстена, който

00:00:36.395 --> 00:00:37.800
е вариант на метода на диска.

00:00:37.800 --> 00:00:39.790
Да си представим един пръстен.

00:00:39.790 --> 00:00:42.350
Да вземем някаква
стойност на х.

00:00:42.350 --> 00:00:45.520
Нека да е това х ето тук.

00:00:45.520 --> 00:00:47.750
Нека да е това х ето тук.

00:00:47.750 --> 00:00:49.980
Сега ще завъртим тази област.

00:00:50.160 --> 00:00:54.090
Ще има някаква дебелина, dх.

00:00:54.090 --> 00:00:55.010
Това е fх.

00:00:55.010 --> 00:00:57.700
Ще го завъртим около
правата у = 4.

00:00:57.840 --> 00:01:02.580
Когато го чертая тук, има
някаква дебелина.

00:01:02.580 --> 00:01:05.472
Когато завъртим около това,
вътрешният радиус

00:01:05.472 --> 00:01:07.680
ще прилича на вътрешния
радиус на пръстена.

00:01:07.680 --> 00:01:12.040
Ще изглежда ето така.

00:01:12.200 --> 00:01:13.900
После външният радиус
на пръстена

00:01:13.900 --> 00:01:17.420
ще се определя от х^2 – 2х.

00:01:17.420 --> 00:01:21.780
Ще изглежда...

00:01:21.780 --> 00:01:23.703
старая се максимално –

00:01:23.703 --> 00:01:28.040
ще изглежда приблизително така.

00:01:28.040 --> 00:01:30.800
И нашият пръстен, разбира се,
ще има някаква дебелина.

00:01:30.810 --> 00:01:32.250
Ще начертая тази дебелина.

00:01:32.250 --> 00:01:35.950
Ще има дебелина dх.

00:01:35.950 --> 00:01:39.940
Това е най-добрият ми
опит да покажа тази дебелина.

00:01:39.940 --> 00:01:42.970
Това е дебелината на пръстена.

00:01:42.970 --> 00:01:45.440
Сега ще направя основата на 
пръстена малко по-ясна,

00:01:45.440 --> 00:01:47.230
ще използвам това зелено.

00:01:47.230 --> 00:01:52.140
Основата на пръстена ще
бъде ето това нещо.

00:01:52.300 --> 00:01:57.060
Всичко това ще бъде
основата на пръстена.

00:01:57.060 --> 00:01:59.350
Ако можем да намерим 
обема на един от тези пръстени

00:01:59.350 --> 00:02:01.210
за дадена стойност на х, тогава

00:02:01.210 --> 00:02:03.240
можем да сумираме всички
обеми на всички пръстени

00:02:03.240 --> 00:02:05.919
за всяко х в този интервал.

00:02:05.919 --> 00:02:07.710
Да видим какъв ще бъде
интегралът

00:02:07.710 --> 00:02:09.990
и в следващото видео може би

00:02:09.990 --> 00:02:13.820
ще се впуснем
и ще изчислим този интеграл.

00:02:13.820 --> 00:02:15.964
Да видим какъв
е обемът на този пръстен.

00:02:15.964 --> 00:02:17.630
Като разглеждаме обема
на пръстена,

00:02:17.630 --> 00:02:21.280
ние всъщност разглеждаме
площта на основата на пръстена.

00:02:21.500 --> 00:02:26.500
Площта на "основата" –
слагам основа в кавички,

00:02:26.510 --> 00:02:28.380
на колко ще е равна?

00:02:28.380 --> 00:02:30.670
Площта на основата на пръстена...

00:02:30.670 --> 00:02:32.880
Ако това не беше пръстен,
ако беше монета,

00:02:32.880 --> 00:02:35.441
и от нея извадим
площта на тази част,

00:02:35.441 --> 00:02:36.440
която изрязваме.

00:02:36.440 --> 00:02:40.620
Площта на пръстена, ако
няма отвор в средата,

00:02:40.740 --> 00:02:48.140
щеше да е пи по квадрата
на външния радиус.

00:02:48.140 --> 00:02:51.080
Щеше да е пи по 
квадрата на радиуса,

00:02:51.090 --> 00:02:52.950
който можем да наречем
външен радиус.

00:02:52.950 --> 00:02:55.320
Но понеже това е пръстен,
трябва да извадим

00:02:55.320 --> 00:02:57.030
площта на вътрешния кръг.

00:02:57.030 --> 00:03:05.500
Значи минус пи по квадрата
на вътрешния радиус.

00:03:05.500 --> 00:03:07.000
Така че трябва само да намерим

00:03:07.000 --> 00:03:11.160
външния и вътрешния радиус,
тези двата радиуса.

00:03:11.160 --> 00:03:12.710
Да помислим върху това.

00:03:12.710 --> 00:03:19.971
Значи външният радиус
ще е равен на колко?

00:03:19.971 --> 00:03:21.470
Можем да го видим ето тук.

00:03:21.470 --> 00:03:23.610
Това е външният радиус,
който също така

00:03:23.610 --> 00:03:27.770
е равен на този тук.

00:03:27.770 --> 00:03:31.520
Това е разстоянието между
у = 4 и функцията, която

00:03:31.520 --> 00:03:33.760
дефинира външната 
част на тялото.

00:03:33.760 --> 00:03:41.700
Това практически е
тази височина тук,

00:03:41.700 --> 00:03:45.280
тя е равна на 4 – (х^2 – 2х).

00:03:45.280 --> 00:03:48.680
Просто намирам разстоянието
или височината между тези две функции.

00:03:48.900 --> 00:03:52.140
Другият радиус ще бъде
4 пъти това,

00:03:52.140 --> 00:03:55.100
минус (х^2 – 2х),
което е просто

00:03:55.100 --> 00:03:58.520
4 – х^2 + 2х.

00:03:58.520 --> 00:04:04.780
А колко е вътрешният
радиус?

00:04:05.080 --> 00:04:06.830
На колко е равен?

00:04:06.830 --> 00:04:11.550
Това ще бъде разстоянието
между

00:04:11.550 --> 00:04:13.480
у = 4 и у = х.

00:04:13.480 --> 00:04:18.880
Значи ще бъде 4 – х.

00:04:19.080 --> 00:04:22.810
За да намерим площта
на основата на

00:04:22.810 --> 00:04:27.090
един от тези пръстени за
дадено х, трябва...

00:04:27.090 --> 00:04:30.290
като можем да изнесем
пред скоби пи...

00:04:30.290 --> 00:04:34.680
ще бъде пи по
квадрата на външния радиус,

00:04:34.680 --> 00:04:36.540
който е целият този израз
на квадрат.

00:04:36.540 --> 00:04:41.830
Ще бъде (4 – х^2 + 2х)^2

00:04:41.830 --> 00:04:43.280
минус пи по вътрешния радиус,

00:04:43.280 --> 00:04:44.780
всъщност ние изнесохме
пред скоби пи,

00:04:44.780 --> 00:04:46.810
минус квадрата на
вътрешния радиус.

00:04:46.810 --> 00:04:51.800
Значи минус (4 – х)^2.

00:04:51.800 --> 00:04:57.650
Това ни дава площта
на основата

00:04:57.650 --> 00:04:59.280
на един от тези пръстени.

00:04:59.280 --> 00:05:01.700
За да намерим обема
на един от тези пръстени,

00:05:01.700 --> 00:05:07.340
трябва да умножим това
по дебелината, по dх.

00:05:08.000 --> 00:05:10.800
За да намерим обема
на цялото това тяло,

00:05:10.800 --> 00:05:14.250
трябва само да сумираме
обемите на тези пръстени

00:05:14.250 --> 00:05:16.680
за всяка стойност на х.
Да го направим.

00:05:16.820 --> 00:05:19.040
Ще сумираме обемите
на всички пръстени

00:05:19.050 --> 00:05:21.300
за всяко х ще вземем границата,
когато клонят към нула.

00:05:21.300 --> 00:05:23.490
Но първо да съставим вярно 
нашия интеграл.

00:05:23.490 --> 00:05:26.260
Какви са тези...
интересува ни цялата тази област

00:05:26.260 --> 00:05:28.840
между точките на пресичане
на графиките на двете функции.

00:05:28.840 --> 00:05:30.620
Да определим интервала.

00:05:30.620 --> 00:05:32.203
За да определим интервала,

00:05:32.203 --> 00:05:39.820
определяме кога у = х пресича
у = х^2 – 2х.

00:05:39.980 --> 00:05:41.620
Ще използвам различен цвят.

00:05:41.620 --> 00:05:49.260
Търсим само кога
х = х^2 – 2х.

00:05:49.360 --> 00:05:51.420
Кога двете функции са равни?

00:05:51.420 --> 00:05:53.030
Това означава, че...

00:05:53.030 --> 00:05:58.040
ако извадим х от двете страни,

00:05:58.040 --> 00:06:02.180
получаваме кога
х^2 – 3х е равно на 0.

00:06:02.190 --> 00:06:05.260
Можем да изнесем пред скоби
х отдясно.

00:06:05.260 --> 00:06:09.530
Получаваме х(х – 3) = 0.

00:06:09.530 --> 00:06:12.310
Това произведение е равно на
нула, когато

00:06:12.310 --> 00:06:13.350
поне един от членовете е нула.

00:06:13.350 --> 00:06:18.380
Значи х може да е равно на 0,
или (х – 3) може да е равно на 0.

00:06:18.380 --> 00:06:21.280
Значи х е равно на 0 или на 3.

00:06:21.280 --> 00:06:25.660
Значи тук х е равно на 0, 
а ето тук х е равно на 3.

00:06:25.840 --> 00:06:27.100
Така получихме интервала.

00:06:27.100 --> 00:06:30.260
Интервалът е от х = 0 до х = 3,

00:06:30.260 --> 00:06:32.850
за да сметнем обема.

00:06:32.850 --> 00:06:36.620
В следващото видео
ще сметнем интеграла.