Хайде да решим една наистина интересна задача.
Имаме у = х и у = х^2 – 2х.
Ще завъртим тази областта между графиките на тези две функции.
Това е тази област ето тук.
Но няма да я завъртим около оста х,
а ще я завъртим около хоризонталната права у = 4.
Значи завъртаме около тази права.
Ако направим това, ще получим тяло, подобно на това.
Нарисувах го предварително, така че да го направя хубаво.
Както виждаш, прилича на някаква саксия,
която има дупка на дъното.
Сега ще се опитаме да използваме
метода на пръстена, който
е вариант на метода на диска.
Да си представим един пръстен.
Да вземем някаква стойност на х.
Нека да е това х ето тук.
Сега ще завъртим тази област.
Ще има някаква дебелина, dх.
Това е fх.
Ще го завъртим около правата у = 4.
Когато го чертая тук, има някаква дебелина.
Когато завъртим около това, вътрешният радиус
ще прилича на вътрешния радиус на пръстена.
Ще изглежда ето така.
После външният радиус на пръстена
ще се определя от х^2 – 2х.
Ще изглежда...
старая се максимално –
ще изглежда приблизително така.
И нашият пръстен, разбира се, ще има някаква дебелина.
Ще начертая тази дебелина.
Ще има дебелина dх.
Това е най-добрият ми опит да покажа тази дебелина.
Това е дебелината на пръстена.
Сега ще направя основата на пръстена малко по-ясна,
ще използвам това зелено.
Основата на пръстена ще бъде ето това нещо.
Всичко това ще бъде основата на пръстена.
Ако можем да намерим обема на един от тези пръстени
за дадена стойност на х, тогава
можем да сумираме всички обеми на всички пръстени
за всяко х в този интервал.
Да видим какъв ще бъде интегралът
и в следващото видео може би
ще се впуснем и ще изчислим този интеграл.
Да видим какъв е обемът на този пръстен.
Като разглеждаме обема на пръстена,
ние всъщност разглеждаме площта на основата на пръстена.
Площта на "основата" – слагам основа в кавички,
на колко ще е равна?
Площта на основата на пръстена...
Ако това не беше пръстен, ако беше монета,
и от нея извадим площта на тази част,
която изрязваме.
Площта на пръстена, ако няма отвор в средата,
щеше да е пи по квадрата на външния радиус.
Щеше да е пи по квадрата на радиуса,
който можем да наречем външен радиус.
Но понеже това е пръстен, трябва да извадим
площта на вътрешния кръг.
Значи минус пи по квадрата на вътрешния радиус.
Така че трябва само да намерим
външния и вътрешния радиус, тези двата радиуса.
Да помислим върху това.
Значи външният радиус ще е равен на колко?
Можем да го видим ето тук.
Това е външният радиус, който също така
е равен на този тук.
Това е разстоянието между у = 4 и функцията, която
дефинира външната част на тялото.
Това практически е тази височина тук,
тя е равна на 4 – (х^2 – 2х).
Просто намирам разстоянието или височината между тези две функции.
Другият радиус ще бъде 4 пъти това,
минус (х^2 – 2х), което е просто
4 – х^2 + 2х.
А колко е вътрешният радиус?
На колко е равен?
Това ще бъде разстоянието между
у = 4 и у = х.
Значи ще бъде 4 – х.
За да намерим площта на основата на
един от тези пръстени за дадено х, трябва...
като можем да изнесем пред скоби пи...
ще бъде пи по квадрата на външния радиус,
който е целият този израз на квадрат.
Ще бъде (4 – х^2 + 2х)^2
минус пи по вътрешния радиус,
всъщност ние изнесохме пред скоби пи,
минус квадрата на вътрешния радиус.
Значи минус (4 – х)^2.
Това ни дава площта на основата
на един от тези пръстени.
За да намерим обема на един от тези пръстени,
трябва да умножим това по дебелината, по dх.
За да намерим обема на цялото това тяло,
трябва само да сумираме обемите на тези пръстени
за всяка стойност на х. Да го направим.
Ще сумираме обемите на всички пръстени
за всяко х ще вземем границата, когато клонят към нула.
Но първо да съставим вярно нашия интеграл.
Какви са тези... интересува ни цялата тази област
между точките на пресичане на графиките на двете функции.
Да определим интервала.
За да определим интервала,
определяме кога у = х пресича у = х^2 – 2х.
Ще използвам различен цвят.
Търсим само кога х = х^2 – 2х.
Кога двете функции са равни?
Това означава, че...
ако извадим х от двете страни,
получаваме кога х^2 – 3х е равно на 0.
Можем да изнесем пред скоби х отдясно.
Получаваме х(х – 3) = 0.
Това произведение е равно на нула, когато
поне един от членовете е нула.
Значи х може да е равно на 0, или (х – 3) може да е равно на 0.
Значи х е равно на 0 или на 3.
Значи тук х е равно на 0, а ето тук х е равно на 3.
Така получихме интервала.
Интервалът е от х = 0 до х = 3,
за да сметнем обема.
В следващото видео ще сметнем интеграла.