이제 아주 재미있는 부분입니다
y=x 그래프와
y=x²-2x 그래프가 있습니다
이 두 그래프 사이 공간을
회전시켜 보겠습니다
이 빗금 친 부분이죠
그냥 x축이 아니라
y=4 를 축 삼아 회전시킵시다
이렇게 수평으로요
그러면 이런 물체가 나옵니다
옆에 미리 그려 두었어요
보다시피 바닥에 구멍이 있는
꽃병처럼 생겼습니다
이걸 이용해서 우리는
원판법의 일종인
와셔법을 배울 겁니다
먼저 와셔 모양을 만듭니다
임의의 x값을 잡아 봅시다
이쯤에 두어 보죠
이 임의의 x를 이용해서
이 부분을
회전시키는 겁니다
회전시키려면 범위가 있어야겠죠
그 x값의 범위를 dx라 합시다
이 dx를 y=4를 중심으로
회전시킵니다
이 물체에는 이만큼의 깊이가 생깁니다
이 물체의 안쪽 빈 공간의 반지름은
와셔의 안쪽 반지름과 같죠
이렇게 생겼을 겁니다
그리고 와셔의 바깥쪽 반지름은
y = x²-2x 를 따라 바뀌겠죠
그러면 이렇게
가능한 열심히 그리고 있답니다
이렇게 생기게 될 겁니다
그리고 높이도 필요하겠죠
그것도 그려 봅시다
dx만큼의 높이가 있겠죠
최대한 열심히 그렸어요
분홍색으로 높이를 표현했고요
좀더 명확히 보이도록
와셔 단면에 녹색 빗금을 칠게요
알아보기 쉽고
설명에 도움이 되게끔요
임의의 x에 대한 와셔 면적이 중요해요
만약 주어진 x값에 대한
와셔의 부피를 구할 수 있다면
전체 부피를 구하려면 모든 x값에 대한
와셔 부피들을 더하면 되겠죠
적분식을 한번 세워봅시다
그러면 다음 영상에서는
식에 따라 계산하면 되니까요
와셔의 부피를 구해봅시다
부피를 구하려면
와셔의 단면의 넓이부터
생각해 봐야겠죠
와셔의 단면은
무슨 값과 같을까요?
윗면은 동전 모양처럼 생겼죠
바깥쪽의 원 넒이에서
안쪽 빈 부분의 넓이만큼을
빼 줘야 합니다
만약 가운데에
빈 부분이 없었다면
그저 π × (바깥쪽 원의 반지름)² 이었겠죠
여기 이만큼을
바깥쪽 반지름이라고 표현했어요
그리고 와셔의 빈 안쪽 부분의
넓이도 빼 줘야겠죠
-π × (안쪽 반지름)²
즉 바깥 반지름과 안쪽 반지름
이 두 반지름을 알아내면 되겠습니다
생각해 봅시다
바깥쪽 반지름의 값은 무엇일까요?
여기서 눈으로 볼 수 있죠
이만큼이 바깥쪽 반지름이네요
아래 이 값도 마찬가지고요
y=4 와 도형 겉 부분을
정의하는 함수 사이의 길이이죠
즉 근본적으로 이 높이는
4-(x²-2x) 라고 할 수 있습니다
두 가지 함수값을 사용해
정의내릴 수 있겠죠
그러면 바깥 반지름은
4-(x²-2x)이고
즉 4-x²+2x 와 같습니다
그럼 안쪽 반지름은 어떨까요?
어떻게 정의할 수 있을까요?
안쪽 반지름은 y=4와
y=x 그래프간의 차이와 같습니다
그럼 4-x로 표현가능하겠죠
이제 어떤 x값에 대한 와셔 윗면의 넓이를
이렇게 표현할 수 있겠네요
이 식들을 이용해서
π × (바깥쪽 반지름)²을
위에 정리한 식을 사용해서
π(4-x²+2x)² 에
-π × (안쪽 반지름)² 은
위의 식을 이용해서
바꾸게 되면
-π(4-x)² 로 쓸 수 있습니다
이 식을 이용해서
와셔들의 단면 넓이를 구할 수 있습니다
와셔의 부피를 구하고자 한다면
와셔 높이 dx 만큼의 부피를 구하면 되겠죠
이 물체 전체의 부피를 구하려면
모든 와셔의 부피를 x에 대해 구하고
다 더해주면 되겠습니다
이제 해 봅시다
x가 0으로 수렴할 때 각 x값들에 대한
와셔들의 부피를 더할 겁니다
먼저 적분구간을 정확히 정의해야겠죠
우리는 이 두 그래프가 서로 만나는
두 x값 사이 부분을 구하는 거니까
두 x값 사이가 적분구간이죠
그러려면 어느 값에서
y=x 와 y=x²-2x가 만나는지
구하면 됩니다
보기쉽게 다른 색으로 쓸게요
언제 y=x와 y=x²-2x 그래프가
서로 만나는지 봅시다
양변에 동일하게 존재하는 값이
x이므로
양변에서 x를 빼 주면
0=x²-3x 네요
여기서 우변을 x로 묶어 주면
0=x(x-3) 이 되죠
x의 해를 구하려면
둘 중 한 값이 0이어야 하니까
x나 (x-3)이 0이 되어야겠죠
그러면 x=0 이거나 x-3=0 이네요
즉 여기가 x=0 이고
여기가 x=3 입니다
이만큼이 적분구간이네요
그럼 x=0 에서부터
x=3 까지의 부피를 구하면 되겠네요
다음 동영상에서
이 식대로 계산을 해 보겠습니다
커넥트 번역 봉사단 | 이선진