1
00:00:00,000 --> 00:00:00,620


2
00:00:00,620 --> 00:00:02,780
이제 아주 재미있는 부분입니다

3
00:00:02,780 --> 00:00:05,290
y=x 그래프와

4
00:00:05,290 --> 00:00:07,840
y=x²-2x 그래프가 있습니다

5
00:00:07,840 --> 00:00:09,530
이 두 그래프 사이 공간을

6
00:00:09,530 --> 00:00:11,020
회전시켜 보겠습니다

7
00:00:11,020 --> 00:00:13,277
이 빗금 친 부분이죠

8
00:00:13,277 --> 00:00:15,610
그냥 x축이 아니라

9
00:00:15,610 --> 00:00:19,360
y=4 를 축 삼아 회전시킵시다

10
00:00:19,360 --> 00:00:21,454
이렇게 수평으로요

11
00:00:21,454 --> 00:00:23,870
그러면 이런 물체가 나옵니다

12
00:00:23,870 --> 00:00:26,550
옆에 미리 그려 두었어요

13
00:00:26,550 --> 00:00:30,210
보다시피 바닥에 구멍이 있는

14
00:00:30,210 --> 00:00:32,060
꽃병처럼 생겼습니다

15
00:00:32,060 --> 00:00:34,520
이걸 이용해서 우리는

16
00:00:34,520 --> 00:00:36,395
원판법의 일종인

17
00:00:36,395 --> 00:00:37,800
와셔법을 배울 겁니다

18
00:00:37,800 --> 00:00:39,790
먼저 와셔 모양을 만듭니다

19
00:00:39,790 --> 00:00:42,350
임의의 x값을 잡아 봅시다

20
00:00:42,350 --> 00:00:45,520
이쯤에 두어 보죠

21
00:00:45,520 --> 00:00:47,750
이 임의의 x를 이용해서

22
00:00:47,750 --> 00:00:48,370
이 부분을

23
00:00:48,370 --> 00:00:50,160
회전시키는 겁니다

24
00:00:50,160 --> 00:00:54,090
회전시키려면 범위가 있어야겠죠

25
00:00:54,090 --> 00:00:55,010
그 x값의 범위를 dx라 합시다

26
00:00:55,010 --> 00:00:57,120
이 dx를 y=4를 중심으로

27
00:00:57,120 --> 00:00:57,840
회전시킵니다

28
00:00:57,840 --> 00:01:02,580
이 물체에는 이만큼의 깊이가 생깁니다

29
00:01:02,580 --> 00:01:05,472
이 물체의 안쪽 빈 공간의 반지름은

30
00:01:05,472 --> 00:01:07,680
와셔의 안쪽 반지름과 같죠

31
00:01:07,680 --> 00:01:09,440
이렇게 생겼을 겁니다

32
00:01:09,440 --> 00:01:12,210
이렇게 생겼을 겁니다

33
00:01:12,210 --> 00:01:13,900
그리고 와셔의 바깥쪽 반지름은

34
00:01:13,900 --> 00:01:17,420
y = x²-2x 를 따라 바뀌겠죠

35
00:01:17,420 --> 00:01:21,780
그러면 이렇게

36
00:01:21,780 --> 00:01:23,703
가능한 열심히 그리고 있답니다

37
00:01:23,703 --> 00:01:25,440
이렇게 생기게 될 겁니다

38
00:01:25,440 --> 00:01:27,950
이렇게 생기게 될 겁니다

39
00:01:27,950 --> 00:01:30,810
그리고 높이도 필요하겠죠

40
00:01:30,810 --> 00:01:32,250
그것도 그려 봅시다

41
00:01:32,250 --> 00:01:35,950
dx만큼의 높이가 있겠죠

42
00:01:35,950 --> 00:01:39,940
최대한 열심히 그렸어요

43
00:01:39,940 --> 00:01:42,970
분홍색으로 높이를 표현했고요

44
00:01:42,970 --> 00:01:45,440
좀더 명확히 보이도록

45
00:01:45,440 --> 00:01:47,230
와셔 단면에 녹색 빗금을 칠게요

46
00:01:47,230 --> 00:01:49,440
알아보기 쉽고

47
00:01:49,440 --> 00:01:52,310
설명에 도움이 되게끔요

48
00:01:52,310 --> 00:01:57,060
임의의 x에 대한 와셔 면적이 중요해요

49
00:01:57,060 --> 00:01:59,350
만약 주어진 x값에 대한

50
00:01:59,350 --> 00:02:01,210
와셔의 부피를 구할 수 있다면

51
00:02:01,210 --> 00:02:03,240
전체 부피를 구하려면 모든 x값에 대한

52
00:02:03,240 --> 00:02:05,919
와셔 부피들을 더하면 되겠죠

53
00:02:05,919 --> 00:02:07,710
적분식을 한번 세워봅시다

54
00:02:07,710 --> 00:02:09,990
그러면 다음 영상에서는

55
00:02:09,990 --> 00:02:13,820
식에 따라 계산하면 되니까요

56
00:02:13,820 --> 00:02:15,964
와셔의 부피를 구해봅시다

57
00:02:15,964 --> 00:02:17,630
부피를 구하려면

58
00:02:17,630 --> 00:02:19,580
와셔의 단면의 넓이부터

59
00:02:19,580 --> 00:02:21,510
생각해 봐야겠죠

60
00:02:21,510 --> 00:02:26,510
와셔의 단면은

61
00:02:26,510 --> 00:02:28,380
무슨 값과 같을까요?

62
00:02:28,380 --> 00:02:30,670
윗면은 동전 모양처럼 생겼죠

63
00:02:30,670 --> 00:02:32,880
바깥쪽의 원 넒이에서

64
00:02:32,880 --> 00:02:35,441
안쪽 빈 부분의 넓이만큼을

65
00:02:35,441 --> 00:02:36,440
빼 줘야 합니다

66
00:02:36,440 --> 00:02:38,890
만약 가운데에

67
00:02:38,890 --> 00:02:40,750
빈 부분이 없었다면

68
00:02:40,750 --> 00:02:44,285
그저 π × (바깥쪽 원의 반지름)² 이었겠죠

69
00:02:44,285 --> 00:02:48,150
그저 π × (바깥쪽 원의 반지름)² 이었겠죠

70
00:02:48,150 --> 00:02:51,090
여기 이만큼을

71
00:02:51,090 --> 00:02:52,950
바깥쪽 반지름이라고 표현했어요

72
00:02:52,950 --> 00:02:55,320
그리고 와셔의 빈 안쪽 부분의

73
00:02:55,320 --> 00:02:57,030
넓이도 빼 줘야겠죠

74
00:02:57,030 --> 00:03:05,500
-π × (안쪽 반지름)²

75
00:03:05,500 --> 00:03:07,000
즉 바깥 반지름과 안쪽 반지름

76
00:03:07,000 --> 00:03:11,160
이 두 반지름을 알아내면 되겠습니다

77
00:03:11,160 --> 00:03:12,710
생각해 봅시다

78
00:03:12,710 --> 00:03:19,971
바깥쪽 반지름의 값은 무엇일까요?

79
00:03:19,971 --> 00:03:21,470
여기서 눈으로 볼 수 있죠

80
00:03:21,470 --> 00:03:23,610
이만큼이 바깥쪽 반지름이네요

81
00:03:23,610 --> 00:03:27,770
아래 이 값도 마찬가지고요

82
00:03:27,770 --> 00:03:29,720
y=4 와 도형 겉 부분을

83
00:03:29,720 --> 00:03:32,440
정의하는 함수 사이의 길이이죠

84
00:03:32,440 --> 00:03:38,250
정의하는 함수 사이의 길이이죠

85
00:03:38,250 --> 00:03:40,520
즉 근본적으로 이 높이는

86
00:03:40,520 --> 00:03:45,280
4-(x²-2x) 라고 할 수 있습니다

87
00:03:45,280 --> 00:03:48,000
두 가지 함수값을 사용해

88
00:03:48,000 --> 00:03:48,900
정의내릴 수 있겠죠

89
00:03:48,900 --> 00:03:52,140
그러면 바깥 반지름은

90
00:03:52,140 --> 00:03:55,100
4-(x²-2x)이고

91
00:03:55,100 --> 00:03:58,520
즉 4-x²+2x 와 같습니다

92
00:03:58,520 --> 00:03:59,850
그럼 안쪽 반지름은 어떨까요?

93
00:03:59,850 --> 00:04:05,080
그럼 안쪽 반지름은 어떨까요?

94
00:04:05,080 --> 00:04:06,830
어떻게 정의할 수 있을까요?

95
00:04:06,830 --> 00:04:11,550
안쪽 반지름은 y=4와

96
00:04:11,550 --> 00:04:13,480
y=x 그래프간의 차이와 같습니다

97
00:04:13,480 --> 00:04:15,265
그럼 4-x로 표현가능하겠죠

98
00:04:15,265 --> 00:04:19,079
그럼 4-x로 표현가능하겠죠

99
00:04:19,079 --> 00:04:22,810
이제 어떤 x값에 대한 와셔 윗면의 넓이를

100
00:04:22,810 --> 00:04:27,090
이렇게 표현할 수 있겠네요

101
00:04:27,090 --> 00:04:30,290
이 식들을 이용해서

102
00:04:30,290 --> 00:04:34,680
π × (바깥쪽 반지름)²을

103
00:04:34,680 --> 00:04:36,540
위에 정리한 식을 사용해서

104
00:04:36,540 --> 00:04:41,830
π(4-x²+2x)² 에

105
00:04:41,830 --> 00:04:43,280
-π × (안쪽 반지름)² 은

106
00:04:43,280 --> 00:04:44,780
위의 식을 이용해서

107
00:04:44,780 --> 00:04:46,810
바꾸게 되면

108
00:04:46,810 --> 00:04:51,800
-π(4-x)² 로 쓸 수 있습니다

109
00:04:51,800 --> 00:04:57,650
이 식을 이용해서

110
00:04:57,650 --> 00:04:59,280
와셔들의 단면 넓이를 구할 수 있습니다

111
00:04:59,280 --> 00:05:01,700
와셔의 부피를 구하고자 한다면

112
00:05:01,700 --> 00:05:05,040
와셔 높이 dx 만큼의 부피를 구하면 되겠죠

113
00:05:05,040 --> 00:05:08,010
와셔 높이 dx 만큼의 부피를 구하면 되겠죠

114
00:05:08,010 --> 00:05:10,800
이 물체 전체의 부피를 구하려면

115
00:05:10,800 --> 00:05:14,250
모든 와셔의 부피를 x에 대해 구하고

116
00:05:14,250 --> 00:05:15,950
다 더해주면 되겠습니다

117
00:05:15,950 --> 00:05:16,830
이제 해 봅시다

118
00:05:16,830 --> 00:05:19,050
x가 0으로 수렴할 때 각 x값들에 대한

119
00:05:19,050 --> 00:05:21,300
와셔들의 부피를 더할 겁니다

120
00:05:21,300 --> 00:05:23,490
먼저 적분구간을 정확히 정의해야겠죠

121
00:05:23,490 --> 00:05:26,260
우리는 이 두 그래프가 서로 만나는

122
00:05:26,260 --> 00:05:28,840
두 x값 사이 부분을 구하는 거니까

123
00:05:28,840 --> 00:05:30,620
두 x값 사이가 적분구간이죠

124
00:05:30,620 --> 00:05:32,203
그러려면 어느 값에서

125
00:05:32,203 --> 00:05:36,070
y=x 와 y=x²-2x가 만나는지

126
00:05:36,070 --> 00:05:37,350
구하면 됩니다

127
00:05:37,350 --> 00:05:39,990
구하면 됩니다

128
00:05:39,990 --> 00:05:41,630
보기쉽게 다른 색으로 쓸게요

129
00:05:41,630 --> 00:05:44,150
언제 y=x와 y=x²-2x 그래프가

130
00:05:44,150 --> 00:05:46,245
서로 만나는지 봅시다

131
00:05:46,245 --> 00:05:49,370
서로 만나는지 봅시다

132
00:05:49,370 --> 00:05:51,420
양변에 동일하게 존재하는 값이

133
00:05:51,420 --> 00:05:53,030
x이므로

134
00:05:53,030 --> 00:05:58,800
양변에서 x를 빼 주면

135
00:05:58,800 --> 00:06:02,190
0=x²-3x 네요

136
00:06:02,190 --> 00:06:05,260
여기서 우변을 x로 묶어 주면

137
00:06:05,260 --> 00:06:09,530
0=x(x-3) 이 되죠

138
00:06:09,530 --> 00:06:12,310
x의 해를 구하려면

139
00:06:12,310 --> 00:06:13,350
둘 중 한 값이 0이어야 하니까

140
00:06:13,350 --> 00:06:18,380
x나 (x-3)이 0이 되어야겠죠

141
00:06:18,380 --> 00:06:21,280
그러면 x=0 이거나 x-3=0 이네요

142
00:06:21,280 --> 00:06:24,010
즉 여기가 x=0 이고

143
00:06:24,010 --> 00:06:25,850
여기가 x=3 입니다

144
00:06:25,850 --> 00:06:27,100
이만큼이 적분구간이네요

145
00:06:27,100 --> 00:06:29,120
그럼 x=0 에서부터

146
00:06:29,120 --> 00:06:32,850
x=3 까지의 부피를 구하면 되겠네요

147
00:06:32,850 --> 00:06:35,000
다음 동영상에서

148
00:06:35,000 --> 00:06:36,000
이 식대로 계산을 해 보겠습니다

149
00:06:36,000 --> 00:06:38,000
커넥트 번역 봉사단 | 이선진