WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.620
 

00:00:00.620 --> 00:00:02.780
이제 아주 재미있는 부분입니다

00:00:02.780 --> 00:00:05.290
y=x 그래프와

00:00:05.290 --> 00:00:07.840
y=x²-2x 그래프가 있습니다

00:00:07.840 --> 00:00:09.530
이 두 그래프 사이 공간을

00:00:09.530 --> 00:00:11.020
회전시켜 보겠습니다

00:00:11.020 --> 00:00:13.277
이 빗금 친 부분이죠

00:00:13.277 --> 00:00:15.610
그냥 x축이 아니라

00:00:15.610 --> 00:00:19.360
y=4 를 축 삼아 회전시킵시다

00:00:19.360 --> 00:00:21.454
이렇게 수평으로요

00:00:21.454 --> 00:00:23.870
그러면 이런 물체가 나옵니다

00:00:23.870 --> 00:00:26.550
옆에 미리 그려 두었어요

00:00:26.550 --> 00:00:30.210
보다시피 바닥에 구멍이 있는

00:00:30.210 --> 00:00:32.060
꽃병처럼 생겼습니다

00:00:32.060 --> 00:00:34.520
이걸 이용해서 우리는

00:00:34.520 --> 00:00:36.395
원판법의 일종인

00:00:36.395 --> 00:00:37.800
와셔법을 배울 겁니다

00:00:37.800 --> 00:00:39.790
먼저 와셔 모양을 만듭니다

00:00:39.790 --> 00:00:42.350
임의의 x값을 잡아 봅시다

00:00:42.350 --> 00:00:45.520
이쯤에 두어 보죠

00:00:45.520 --> 00:00:47.750
이 임의의 x를 이용해서

00:00:47.750 --> 00:00:48.370
이 부분을

00:00:48.370 --> 00:00:50.160
회전시키는 겁니다

00:00:50.160 --> 00:00:54.090
회전시키려면 범위가 있어야겠죠

00:00:54.090 --> 00:00:55.010
그 x값의 범위를 dx라 합시다

00:00:55.010 --> 00:00:57.120
이 dx를 y=4를 중심으로

00:00:57.120 --> 00:00:57.840
회전시킵니다

00:00:57.840 --> 00:01:02.580
이 물체에는 이만큼의 깊이가 생깁니다

00:01:02.580 --> 00:01:05.472
이 물체의 안쪽 빈 공간의 반지름은

00:01:05.472 --> 00:01:07.680
와셔의 안쪽 반지름과 같죠

00:01:07.680 --> 00:01:09.440
이렇게 생겼을 겁니다

00:01:09.440 --> 00:01:12.210
이렇게 생겼을 겁니다

00:01:12.210 --> 00:01:13.900
그리고 와셔의 바깥쪽 반지름은

00:01:13.900 --> 00:01:17.420
y = x²-2x 를 따라 바뀌겠죠

00:01:17.420 --> 00:01:21.780
그러면 이렇게

00:01:21.780 --> 00:01:23.703
가능한 열심히 그리고 있답니다

00:01:23.703 --> 00:01:25.440
이렇게 생기게 될 겁니다

00:01:25.440 --> 00:01:27.950
이렇게 생기게 될 겁니다

00:01:27.950 --> 00:01:30.810
그리고 높이도 필요하겠죠

00:01:30.810 --> 00:01:32.250
그것도 그려 봅시다

00:01:32.250 --> 00:01:35.950
dx만큼의 높이가 있겠죠

00:01:35.950 --> 00:01:39.940
최대한 열심히 그렸어요

00:01:39.940 --> 00:01:42.970
분홍색으로 높이를 표현했고요

00:01:42.970 --> 00:01:45.440
좀더 명확히 보이도록

00:01:45.440 --> 00:01:47.230
와셔 단면에 녹색 빗금을 칠게요

00:01:47.230 --> 00:01:49.440
알아보기 쉽고

00:01:49.440 --> 00:01:52.310
설명에 도움이 되게끔요

00:01:52.310 --> 00:01:57.060
임의의 x에 대한 와셔 면적이 중요해요

00:01:57.060 --> 00:01:59.350
만약 주어진 x값에 대한

00:01:59.350 --> 00:02:01.210
와셔의 부피를 구할 수 있다면

00:02:01.210 --> 00:02:03.240
전체 부피를 구하려면 모든 x값에 대한

00:02:03.240 --> 00:02:05.919
와셔 부피들을 더하면 되겠죠

00:02:05.919 --> 00:02:07.710
적분식을 한번 세워봅시다

00:02:07.710 --> 00:02:09.990
그러면 다음 영상에서는

00:02:09.990 --> 00:02:13.820
식에 따라 계산하면 되니까요

00:02:13.820 --> 00:02:15.964
와셔의 부피를 구해봅시다

00:02:15.964 --> 00:02:17.630
부피를 구하려면

00:02:17.630 --> 00:02:19.580
와셔의 단면의 넓이부터

00:02:19.580 --> 00:02:21.510
생각해 봐야겠죠

00:02:21.510 --> 00:02:26.510
와셔의 단면은

00:02:26.510 --> 00:02:28.380
무슨 값과 같을까요?

00:02:28.380 --> 00:02:30.670
윗면은 동전 모양처럼 생겼죠

00:02:30.670 --> 00:02:32.880
바깥쪽의 원 넒이에서

00:02:32.880 --> 00:02:35.441
안쪽 빈 부분의 넓이만큼을

00:02:35.441 --> 00:02:36.440
빼 줘야 합니다

00:02:36.440 --> 00:02:38.890
만약 가운데에

00:02:38.890 --> 00:02:40.750
빈 부분이 없었다면

00:02:40.750 --> 00:02:44.285
그저 π × (바깥쪽 원의 반지름)² 이었겠죠

00:02:44.285 --> 00:02:48.150
그저 π × (바깥쪽 원의 반지름)² 이었겠죠

00:02:48.150 --> 00:02:51.090
여기 이만큼을

00:02:51.090 --> 00:02:52.950
바깥쪽 반지름이라고 표현했어요

00:02:52.950 --> 00:02:55.320
그리고 와셔의 빈 안쪽 부분의

00:02:55.320 --> 00:02:57.030
넓이도 빼 줘야겠죠

00:02:57.030 --> 00:03:05.500
-π × (안쪽 반지름)²

00:03:05.500 --> 00:03:07.000
즉 바깥 반지름과 안쪽 반지름

00:03:07.000 --> 00:03:11.160
이 두 반지름을 알아내면 되겠습니다

00:03:11.160 --> 00:03:12.710
생각해 봅시다

00:03:12.710 --> 00:03:19.971
바깥쪽 반지름의 값은 무엇일까요?

00:03:19.971 --> 00:03:21.470
여기서 눈으로 볼 수 있죠

00:03:21.470 --> 00:03:23.610
이만큼이 바깥쪽 반지름이네요

00:03:23.610 --> 00:03:27.770
아래 이 값도 마찬가지고요

00:03:27.770 --> 00:03:29.720
y=4 와 도형 겉 부분을

00:03:29.720 --> 00:03:32.440
정의하는 함수 사이의 길이이죠

00:03:32.440 --> 00:03:38.250
정의하는 함수 사이의 길이이죠

00:03:38.250 --> 00:03:40.520
즉 근본적으로 이 높이는

00:03:40.520 --> 00:03:45.280
4-(x²-2x) 라고 할 수 있습니다

00:03:45.280 --> 00:03:48.000
두 가지 함수값을 사용해

00:03:48.000 --> 00:03:48.900
정의내릴 수 있겠죠

00:03:48.900 --> 00:03:52.140
그러면 바깥 반지름은

00:03:52.140 --> 00:03:55.100
4-(x²-2x)이고

00:03:55.100 --> 00:03:58.520
즉 4-x²+2x 와 같습니다

00:03:58.520 --> 00:03:59.850
그럼 안쪽 반지름은 어떨까요?

00:03:59.850 --> 00:04:05.080
그럼 안쪽 반지름은 어떨까요?

00:04:05.080 --> 00:04:06.830
어떻게 정의할 수 있을까요?

00:04:06.830 --> 00:04:11.550
안쪽 반지름은 y=4와

00:04:11.550 --> 00:04:13.480
y=x 그래프간의 차이와 같습니다

00:04:13.480 --> 00:04:15.265
그럼 4-x로 표현가능하겠죠

00:04:15.265 --> 00:04:19.079
그럼 4-x로 표현가능하겠죠

00:04:19.079 --> 00:04:22.810
이제 어떤 x값에 대한 와셔 윗면의 넓이를

00:04:22.810 --> 00:04:27.090
이렇게 표현할 수 있겠네요

00:04:27.090 --> 00:04:30.290
이 식들을 이용해서

00:04:30.290 --> 00:04:34.680
π × (바깥쪽 반지름)²을

00:04:34.680 --> 00:04:36.540
위에 정리한 식을 사용해서

00:04:36.540 --> 00:04:41.830
π(4-x²+2x)² 에

00:04:41.830 --> 00:04:43.280
-π × (안쪽 반지름)² 은

00:04:43.280 --> 00:04:44.780
위의 식을 이용해서

00:04:44.780 --> 00:04:46.810
바꾸게 되면

00:04:46.810 --> 00:04:51.800
-π(4-x)² 로 쓸 수 있습니다

00:04:51.800 --> 00:04:57.650
이 식을 이용해서

00:04:57.650 --> 00:04:59.280
와셔들의 단면 넓이를 구할 수 있습니다

00:04:59.280 --> 00:05:01.700
와셔의 부피를 구하고자 한다면

00:05:01.700 --> 00:05:05.040
와셔 높이 dx 만큼의 부피를 구하면 되겠죠

00:05:05.040 --> 00:05:08.010
와셔 높이 dx 만큼의 부피를 구하면 되겠죠

00:05:08.010 --> 00:05:10.800
이 물체 전체의 부피를 구하려면

00:05:10.800 --> 00:05:14.250
모든 와셔의 부피를 x에 대해 구하고

00:05:14.250 --> 00:05:15.950
다 더해주면 되겠습니다

00:05:15.950 --> 00:05:16.830
이제 해 봅시다

00:05:16.830 --> 00:05:19.050
x가 0으로 수렴할 때 각 x값들에 대한

00:05:19.050 --> 00:05:21.300
와셔들의 부피를 더할 겁니다

00:05:21.300 --> 00:05:23.490
먼저 적분구간을 정확히 정의해야겠죠

00:05:23.490 --> 00:05:26.260
우리는 이 두 그래프가 서로 만나는

00:05:26.260 --> 00:05:28.840
두 x값 사이 부분을 구하는 거니까

00:05:28.840 --> 00:05:30.620
두 x값 사이가 적분구간이죠

00:05:30.620 --> 00:05:32.203
그러려면 어느 값에서

00:05:32.203 --> 00:05:36.070
y=x 와 y=x²-2x가 만나는지

00:05:36.070 --> 00:05:37.350
구하면 됩니다

00:05:37.350 --> 00:05:39.990
구하면 됩니다

00:05:39.990 --> 00:05:41.630
보기쉽게 다른 색으로 쓸게요

00:05:41.630 --> 00:05:44.150
언제 y=x와 y=x²-2x 그래프가

00:05:44.150 --> 00:05:46.245
서로 만나는지 봅시다

00:05:46.245 --> 00:05:49.370
서로 만나는지 봅시다

00:05:49.370 --> 00:05:51.420
양변에 동일하게 존재하는 값이

00:05:51.420 --> 00:05:53.030
x이므로

00:05:53.030 --> 00:05:58.800
양변에서 x를 빼 주면

00:05:58.800 --> 00:06:02.190
0=x²-3x 네요

00:06:02.190 --> 00:06:05.260
여기서 우변을 x로 묶어 주면

00:06:05.260 --> 00:06:09.530
0=x(x-3) 이 되죠

00:06:09.530 --> 00:06:12.310
x의 해를 구하려면

00:06:12.310 --> 00:06:13.350
둘 중 한 값이 0이어야 하니까

00:06:13.350 --> 00:06:18.380
x나 (x-3)이 0이 되어야겠죠

00:06:18.380 --> 00:06:21.280
그러면 x=0 이거나 x-3=0 이네요

00:06:21.280 --> 00:06:24.010
즉 여기가 x=0 이고

00:06:24.010 --> 00:06:25.850
여기가 x=3 입니다

00:06:25.850 --> 00:06:27.100
이만큼이 적분구간이네요

00:06:27.100 --> 00:06:29.120
그럼 x=0 에서부터

00:06:29.120 --> 00:06:32.850
x=3 까지의 부피를 구하면 되겠네요

00:06:32.850 --> 00:06:35.000
다음 동영상에서

00:06:35.000 --> 00:06:36.000
이 식대로 계산을 해 보겠습니다

00:06:36.000 --> 00:06:38.000
커넥트 번역 봉사단 | 이선진