0:00:00.480,0:00:03.330
Vamos resolver um problema interessante.

0:00:03.330,0:00:05.000
Temos as curvas y igual a x e

0:00:05.000,0:00:07.840
y igual a x ao quadrado menos 2x

0:00:07.840,0:00:09.530
E vamos rotacionar a região

0:00:09.530,0:00:11.020
interna a essas duas funções,

0:00:11.020,0:00:13.277
que destaco agora.

0:00:13.277,0:00:15.610
Mas não vamos girar em torno do eixo x,

0:00:15.610,0:00:18.850
e sim em torno da linha horizontal [br]y igual a quatro,

0:00:18.850,0:00:21.084
como mostra o desenho.

0:00:21.084,0:00:23.870
Após a rotação, teremos uma figura [br]parecida com esta,

0:00:23.870,0:00:26.550
que foi desenhada previamente.

0:00:26.550,0:00:30.210
Ela se parece com um vaso

0:00:30.210,0:00:32.060
com um buraco no fundo.

0:00:32.060,0:00:34.520
Vamos usar o que podemos chamar de

0:00:34.520,0:00:36.395
método da anilha, que é uma variação

0:00:36.395,0:00:37.800
do método do disco.

0:00:37.800,0:00:39.790
Começamos construindo a anilha,

0:00:39.790,0:00:42.350
tomando um ponto x qualquer,

0:00:42.350,0:00:45.520
como este, por exemplo.

0:00:45.520,0:00:47.750
E supondo que estamos sobre esta posição,

0:00:47.750,0:00:50.100
vamos rotacionar esta região.

0:00:50.160,0:00:54.090
Introduzindo uma profundidade dx,

0:00:54.160,0:00:57.840
e girando em torno da linha y igual a 4.

0:00:57.840,0:01:02.580
Note que há uma profundidade aqui.

0:01:02.580,0:01:05.471
Ao efetuarmos a rotação, o raio interno

0:01:05.471,0:01:07.680
será equivalente ao raio interno da anilha

0:01:07.680,0:01:12.130
e ficará parecido com isto aqui.

0:01:12.210,0:01:13.900
Já o raio externo da anilha vai contornar

0:01:13.900,0:01:17.420
a curva x ao quadrado menos 2x.

0:01:17.420,0:01:21.780
Com muito esforço, podemos imaginar

0:01:21.780,0:01:26.713
que o resultado será parecido com este.

0:01:27.950,0:01:29.380
Certamente nossa anilha terá

0:01:29.380,0:01:35.570
alguma profundidade, representada por dx.

0:01:35.970,0:01:42.570
Esta é a melhor representação[br]que consigo fazer

0:01:42.970,0:01:47.750
Destacaremos a face da anilha em verde

0:01:47.970,0:01:56.830
e a face da anilha será tudo isso aqui.

0:01:57.060,0:02:00.030
Se pudermos descobrir o volume [br]de uma anilha como essa,

0:02:00.030,0:02:02.630
para um certo valor de x,[br]então podemos somar todas as

0:02:02.630,0:02:05.919
anilhas contidas em um intervalo.

0:02:05.919,0:02:08.050
Vamos tentar escrever a integral

0:02:08.050,0:02:13.070
para estimar seu valor no próximo vídeo.

0:02:13.820,0:02:15.964
Voltando para o volume da anilha,

0:02:15.964,0:02:17.630
para descrever esse volume

0:02:17.630,0:02:21.320
devemos tomar a área da face da anilha.

0:02:21.510,0:02:27.210
E qual será a área da face da anilha?

0:02:27.320,0:02:32.700
Para calcular a área - considerando que[br]a anilha pode ser aproximada a uma cunha -

0:02:32.880,0:02:36.381
subtraindo a área da região excluída.

0:02:36.440,0:02:38.890
Se a anilha não possuísse um buraco

0:02:38.890,0:02:40.750
em seu centro, então a área seria

0:02:40.750,0:02:50.835
pi vezes o raio externo ao quadrado.

0:02:51.180,0:02:55.090
mas já que a anilha possui um buraco,

0:02:55.090,0:02:57.030
vamos subtrair a área do círculo interno

0:02:57.030,0:03:05.500
que será pi vezes o raio [br]interno ao quadrado.

0:03:05.500,0:03:07.000
Precisamos agora determinar

0:03:07.000,0:03:10.750
o valor dos raios internos e externos.

0:03:10.750,0:03:13.561
Pensando um pouco

0:03:13.561,0:03:17.570
podemos observar aqui no desenho,

0:03:17.570,0:03:23.610
onde temos o raio externo, que é igual

0:03:23.610,0:03:27.770
a este elemento, que é a distância

0:03:27.770,0:03:29.720
entre a linha y igual a quatro e a função

0:03:29.720,0:03:35.410
que define a região externa da anilha.

0:03:35.590,0:03:41.780
A altura destacada será calculada por

0:03:41.780,0:03:45.280
quatro menos x ao quadrado menos 2x,

0:03:45.280,0:03:48.570
ou a distância entre as duas funções.

0:03:48.900,0:03:52.140
Assim, o raio externo será quatro menos

0:03:52.140,0:03:55.100
x ao quadrado menos 2x, ou

0:03:55.100,0:03:58.540
quatro menos x ao quadrado mais 2x.

0:03:58.540,0:04:05.080
E quanto ao raio interno?

0:04:05.080,0:04:06.830
Quanto valerá?

0:04:06.830,0:04:11.550
Bem, o raio interno será a distância entre

0:04:11.550,0:04:13.480
y igual a quatro e y igual a x, ou seja,

0:04:13.480,0:04:18.285
quatro menos x.

0:04:19.079,0:04:21.990
Assim, se quisermos determinar a área da

0:04:21.990,0:04:27.090
face de uma dessas anilhas teremos que

0:04:27.090,0:04:33.750
multiplicar o quadrado do [br]raio externo por pi

0:04:33.910,0:04:36.540
equivalendo ao quadrado de quatro menos

0:04:36.540,0:04:41.830
x ao quadrado mais 2x

0:04:41.830,0:04:43.280
subtraindo de pi vezes o

0:04:43.280,0:04:44.780
quadrado do raio interno.

0:04:44.780,0:04:46.810
Fatoramos o pi, ficando com a expressão

0:04:46.810,0:04:51.800
menos o quadrado de quatro menos x.

0:04:51.800,0:04:57.650
Assim teremos a área da superfície ou

0:04:57.650,0:04:59.280
da face de uma das anilhas.

0:04:59.280,0:05:01.700
Para determinarmos o volume [br]de uma das anilhas,

0:05:01.700,0:05:07.620
basta multiplicar pela profundidade dx.

0:05:08.010,0:05:10.800
E se quisermos calcular o volume de toda

0:05:10.800,0:05:14.250
a figura, então basta somar todas as

0:05:14.250,0:05:15.950
anilhas no intervalo de x desejado.

0:05:15.950,0:05:16.830
Vamos lá.

0:05:16.830,0:05:19.050
Vamos somar todas as anilhas do intervalo

0:05:19.050,0:05:21.300
e tomar o limite tendendo a zero,

0:05:21.300,0:05:23.490
mas primeiro precisamos cuidadosamente

0:05:23.490,0:05:26.260
determinar o intervalo, que será toda a

0:05:26.260,0:05:28.840
região entre os pontos de intersecção [br]das curvas.

0:05:28.840,0:05:30.620
Vamos conferir.

0:05:30.620,0:05:32.613
Precisamos determinar os pontos

0:05:32.613,0:05:36.070
de intersecção entre y igual a x e y

0:05:36.070,0:05:39.960
igual a x ao quadrado menos 2x.

0:05:39.990,0:05:41.630
Vou usar uma cor diferente agora.

0:05:41.630,0:05:44.150
Vamos determinar quando x é igual a

0:05:44.150,0:05:48.925
x ao quadrado menos 2x.

0:05:49.370,0:05:51.830
Quando as duas funções se igualam?

0:05:51.830,0:05:57.976
Subtraindo x dos dois lados da igualdade

0:05:57.976,0:06:02.190
temos x ao quadrado menos 3x igual a zero.

0:06:02.190,0:06:05.260
Fatorando um x do lado direito, ficaremos

0:06:05.260,0:06:09.530
com o produto de x por x [br]menos três igual a zero.

0:06:09.530,0:06:12.310
Bem, se o produto é igual a zero, então

0:06:12.310,0:06:14.370
pelo menos um dos fatores é igual a zero.

0:06:14.370,0:06:18.380
Ou x é igual a zero, ou x menos três é.

0:06:18.380,0:06:21.280
Assim, temos x é igual a zero, [br]ou x é igual a três.

0:06:21.280,0:06:23.870
Aqui temos o x igual a zero,

0:06:23.870,0:06:25.380
e aqui o x igual a três,

0:06:25.380,0:06:27.250
determinando assim o nosso intervalo.

0:06:27.250,0:06:29.120
Iremos de x igual a zero até

0:06:29.120,0:06:32.850
x igual a três para obter nosso volume.

0:06:32.850,0:06:35.700
Em nosso próximo vídeo estimaremos[br]o valor dessa integral.

0:06:35.700,0:06:38.000
Legendado por: Tatiana F. D'Addio[br]Revisado por: Pilar Dib