Vamos resolver um problema interessante.
Temos as curvas y igual a x e
y igual a x ao quadrado menos 2x
E vamos rotacionar a região
interna a essas duas funções,
que destaco agora.
Mas não vamos girar em torno do eixo x,
e sim em torno da linha horizontal y igual a quatro,
como mostra o desenho.
Após a rotação, teremos uma figura parecida com esta,
que foi desenhada previamente.
Ela se parece com um vaso
com um buraco no fundo.
Vamos usar o que podemos chamar de
método da anilha, que é uma variação
do método do disco.
Começamos construindo a anilha,
tomando um ponto x qualquer,
como este, por exemplo.
E supondo que estamos sobre esta posição,
vamos rotacionar esta região.
Introduzindo uma profundidade dx,
e girando em torno da linha y igual a 4.
Note que há uma profundidade aqui.
Ao efetuarmos a rotação, o raio interno
será equivalente ao raio interno da anilha
e ficará parecido com isto aqui.
Já o raio externo da anilha vai contornar
a curva x ao quadrado menos 2x.
Com muito esforço, podemos imaginar
que o resultado será parecido com este.
Certamente nossa anilha terá
alguma profundidade, representada por dx.
Esta é a melhor representação que consigo fazer
Destacaremos a face da anilha em verde
e a face da anilha será tudo isso aqui.
Se pudermos descobrir o volume de uma anilha como essa,
para um certo valor de x, então podemos somar todas as
anilhas contidas em um intervalo.
Vamos tentar escrever a integral
para estimar seu valor no próximo vídeo.
Voltando para o volume da anilha,
para descrever esse volume
devemos tomar a área da face da anilha.
E qual será a área da face da anilha?
Para calcular a área - considerando que a anilha pode ser aproximada a uma cunha -
subtraindo a área da região excluída.
Se a anilha não possuísse um buraco
em seu centro, então a área seria
pi vezes o raio externo ao quadrado.
mas já que a anilha possui um buraco,
vamos subtrair a área do círculo interno
que será pi vezes o raio interno ao quadrado.
Precisamos agora determinar
o valor dos raios internos e externos.
Pensando um pouco
podemos observar aqui no desenho,
onde temos o raio externo, que é igual
a este elemento, que é a distância
entre a linha y igual a quatro e a função
que define a região externa da anilha.
A altura destacada será calculada por
quatro menos x ao quadrado menos 2x,
ou a distância entre as duas funções.
Assim, o raio externo será quatro menos
x ao quadrado menos 2x, ou
quatro menos x ao quadrado mais 2x.
E quanto ao raio interno?
Quanto valerá?
Bem, o raio interno será a distância entre
y igual a quatro e y igual a x, ou seja,
quatro menos x.
Assim, se quisermos determinar a área da
face de uma dessas anilhas teremos que
multiplicar o quadrado do raio externo por pi
equivalendo ao quadrado de quatro menos
x ao quadrado mais 2x
subtraindo de pi vezes o
quadrado do raio interno.
Fatoramos o pi, ficando com a expressão
menos o quadrado de quatro menos x.
Assim teremos a área da superfície ou
da face de uma das anilhas.
Para determinarmos o volume de uma das anilhas,
basta multiplicar pela profundidade dx.
E se quisermos calcular o volume de toda
a figura, então basta somar todas as
anilhas no intervalo de x desejado.
Vamos lá.
Vamos somar todas as anilhas do intervalo
e tomar o limite tendendo a zero,
mas primeiro precisamos cuidadosamente
determinar o intervalo, que será toda a
região entre os pontos de intersecção das curvas.
Vamos conferir.
Precisamos determinar os pontos
de intersecção entre y igual a x e y
igual a x ao quadrado menos 2x.
Vou usar uma cor diferente agora.
Vamos determinar quando x é igual a
x ao quadrado menos 2x.
Quando as duas funções se igualam?
Subtraindo x dos dois lados da igualdade
temos x ao quadrado menos 3x igual a zero.
Fatorando um x do lado direito, ficaremos
com o produto de x por x menos três igual a zero.
Bem, se o produto é igual a zero, então
pelo menos um dos fatores é igual a zero.
Ou x é igual a zero, ou x menos três é.
Assim, temos x é igual a zero, ou x é igual a três.
Aqui temos o x igual a zero,
e aqui o x igual a três,
determinando assim o nosso intervalo.
Iremos de x igual a zero até
x igual a três para obter nosso volume.
Em nosso próximo vídeo estimaremos o valor dessa integral.
Legendado por: Tatiana F. D'Addio Revisado por: Pilar Dib