1
00:00:00,480 --> 00:00:03,330
Vamos resolver um problema interessante.

2
00:00:03,330 --> 00:00:05,000
Temos as curvas y igual a x e

3
00:00:05,000 --> 00:00:07,840
y igual a x ao quadrado menos 2x

4
00:00:07,840 --> 00:00:09,530
E vamos rotacionar a região

5
00:00:09,530 --> 00:00:11,020
interna a essas duas funções,

6
00:00:11,020 --> 00:00:13,277
que destaco agora.

7
00:00:13,277 --> 00:00:15,610
Mas não vamos girar em torno do eixo x,

8
00:00:15,610 --> 00:00:18,850
e sim em torno da linha horizontal 
y igual a quatro,

9
00:00:18,850 --> 00:00:21,084
como mostra o desenho.

10
00:00:21,084 --> 00:00:23,870
Após a rotação, teremos uma figura 
parecida com esta,

11
00:00:23,870 --> 00:00:26,550
que foi desenhada previamente.

12
00:00:26,550 --> 00:00:30,210
Ela se parece com um vaso

13
00:00:30,210 --> 00:00:32,060
com um buraco no fundo.

14
00:00:32,060 --> 00:00:34,520
Vamos usar o que podemos chamar de

15
00:00:34,520 --> 00:00:36,395
método da anilha, que é uma variação

16
00:00:36,395 --> 00:00:37,800
do método do disco.

17
00:00:37,800 --> 00:00:39,790
Começamos construindo a anilha,

18
00:00:39,790 --> 00:00:42,350
tomando um ponto x qualquer,

19
00:00:42,350 --> 00:00:45,520
como este, por exemplo.

20
00:00:45,520 --> 00:00:47,750
E supondo que estamos sobre esta posição,

21
00:00:47,750 --> 00:00:50,100
vamos rotacionar esta região.

22
00:00:50,160 --> 00:00:54,090
Introduzindo uma profundidade dx,

23
00:00:54,160 --> 00:00:57,840
e girando em torno da linha y igual a 4.

24
00:00:57,840 --> 00:01:02,580
Note que há uma profundidade aqui.

25
00:01:02,580 --> 00:01:05,471
Ao efetuarmos a rotação, o raio interno

26
00:01:05,471 --> 00:01:07,680
será equivalente ao raio interno da anilha

27
00:01:07,680 --> 00:01:12,130
e ficará parecido com isto aqui.

28
00:01:12,210 --> 00:01:13,900
Já o raio externo da anilha vai contornar

29
00:01:13,900 --> 00:01:17,420
a curva x ao quadrado menos 2x.

30
00:01:17,420 --> 00:01:21,780
Com muito esforço, podemos imaginar

31
00:01:21,780 --> 00:01:26,713
que o resultado será parecido com este.

32
00:01:27,950 --> 00:01:29,380
Certamente nossa anilha terá

33
00:01:29,380 --> 00:01:35,570
alguma profundidade, representada por dx.

34
00:01:35,970 --> 00:01:42,570
Esta é a melhor representação
que consigo fazer

35
00:01:42,970 --> 00:01:47,750
Destacaremos a face da anilha em verde

36
00:01:47,970 --> 00:01:56,830
e a face da anilha será tudo isso aqui.

37
00:01:57,060 --> 00:02:00,030
Se pudermos descobrir o volume 
de uma anilha como essa,

38
00:02:00,030 --> 00:02:02,630
para um certo valor de x,
então podemos somar todas as

39
00:02:02,630 --> 00:02:05,919
anilhas contidas em um intervalo.

40
00:02:05,919 --> 00:02:08,050
Vamos tentar escrever a integral

41
00:02:08,050 --> 00:02:13,070
para estimar seu valor no próximo vídeo.

42
00:02:13,820 --> 00:02:15,964
Voltando para o volume da anilha,

43
00:02:15,964 --> 00:02:17,630
para descrever esse volume

44
00:02:17,630 --> 00:02:21,320
devemos tomar a área da face da anilha.

45
00:02:21,510 --> 00:02:27,210
E qual será a área da face da anilha?

46
00:02:27,320 --> 00:02:32,700
Para calcular a área - considerando que
a anilha pode ser aproximada a uma cunha -

47
00:02:32,880 --> 00:02:36,381
subtraindo a área da região excluída.

48
00:02:36,440 --> 00:02:38,890
Se a anilha não possuísse um buraco

49
00:02:38,890 --> 00:02:40,750
em seu centro, então a área seria

50
00:02:40,750 --> 00:02:50,835
pi vezes o raio externo ao quadrado.

51
00:02:51,180 --> 00:02:55,090
mas já que a anilha possui um buraco,

52
00:02:55,090 --> 00:02:57,030
vamos subtrair a área do círculo interno

53
00:02:57,030 --> 00:03:05,500
que será pi vezes o raio 
interno ao quadrado.

54
00:03:05,500 --> 00:03:07,000
Precisamos agora determinar

55
00:03:07,000 --> 00:03:10,750
o valor dos raios internos e externos.

56
00:03:10,750 --> 00:03:13,561
Pensando um pouco

57
00:03:13,561 --> 00:03:17,570
podemos observar aqui no desenho,

58
00:03:17,570 --> 00:03:23,610
onde temos o raio externo, que é igual

59
00:03:23,610 --> 00:03:27,770
a este elemento, que é a distância

60
00:03:27,770 --> 00:03:29,720
entre a linha y igual a quatro e a função

61
00:03:29,720 --> 00:03:35,410
que define a região externa da anilha.

62
00:03:35,590 --> 00:03:41,780
A altura destacada será calculada por

63
00:03:41,780 --> 00:03:45,280
quatro menos x ao quadrado menos 2x,

64
00:03:45,280 --> 00:03:48,570
ou a distância entre as duas funções.

65
00:03:48,900 --> 00:03:52,140
Assim, o raio externo será quatro menos

66
00:03:52,140 --> 00:03:55,100
x ao quadrado menos 2x, ou

67
00:03:55,100 --> 00:03:58,540
quatro menos x ao quadrado mais 2x.

68
00:03:58,540 --> 00:04:05,080
E quanto ao raio interno?

69
00:04:05,080 --> 00:04:06,830
Quanto valerá?

70
00:04:06,830 --> 00:04:11,550
Bem, o raio interno será a distância entre

71
00:04:11,550 --> 00:04:13,480
y igual a quatro e y igual a x, ou seja,

72
00:04:13,480 --> 00:04:18,285
quatro menos x.

73
00:04:19,079 --> 00:04:21,990
Assim, se quisermos determinar a área da

74
00:04:21,990 --> 00:04:27,090
face de uma dessas anilhas teremos que

75
00:04:27,090 --> 00:04:33,750
multiplicar o quadrado do 
raio externo por pi

76
00:04:33,910 --> 00:04:36,540
equivalendo ao quadrado de quatro menos

77
00:04:36,540 --> 00:04:41,830
x ao quadrado mais 2x

78
00:04:41,830 --> 00:04:43,280
subtraindo de pi vezes o

79
00:04:43,280 --> 00:04:44,780
quadrado do raio interno.

80
00:04:44,780 --> 00:04:46,810
Fatoramos o pi, ficando com a expressão

81
00:04:46,810 --> 00:04:51,800
menos o quadrado de quatro menos x.

82
00:04:51,800 --> 00:04:57,650
Assim teremos a área da superfície ou

83
00:04:57,650 --> 00:04:59,280
da face de uma das anilhas.

84
00:04:59,280 --> 00:05:01,700
Para determinarmos o volume 
de uma das anilhas,

85
00:05:01,700 --> 00:05:07,620
basta multiplicar pela profundidade dx.

86
00:05:08,010 --> 00:05:10,800
E se quisermos calcular o volume de toda

87
00:05:10,800 --> 00:05:14,250
a figura, então basta somar todas as

88
00:05:14,250 --> 00:05:15,950
anilhas no intervalo de x desejado.

89
00:05:15,950 --> 00:05:16,830
Vamos lá.

90
00:05:16,830 --> 00:05:19,050
Vamos somar todas as anilhas do intervalo

91
00:05:19,050 --> 00:05:21,300
e tomar o limite tendendo a zero,

92
00:05:21,300 --> 00:05:23,490
mas primeiro precisamos cuidadosamente

93
00:05:23,490 --> 00:05:26,260
determinar o intervalo, que será toda a

94
00:05:26,260 --> 00:05:28,840
região entre os pontos de intersecção 
das curvas.

95
00:05:28,840 --> 00:05:30,620
Vamos conferir.

96
00:05:30,620 --> 00:05:32,613
Precisamos determinar os pontos

97
00:05:32,613 --> 00:05:36,070
de intersecção entre y igual a x e y

98
00:05:36,070 --> 00:05:39,960
igual a x ao quadrado menos 2x.

99
00:05:39,990 --> 00:05:41,630
Vou usar uma cor diferente agora.

100
00:05:41,630 --> 00:05:44,150
Vamos determinar quando x é igual a

101
00:05:44,150 --> 00:05:48,925
x ao quadrado menos 2x.

102
00:05:49,370 --> 00:05:51,830
Quando as duas funções se igualam?

103
00:05:51,830 --> 00:05:57,976
Subtraindo x dos dois lados da igualdade

104
00:05:57,976 --> 00:06:02,190
temos x ao quadrado menos 3x igual a zero.

105
00:06:02,190 --> 00:06:05,260
Fatorando um x do lado direito, ficaremos

106
00:06:05,260 --> 00:06:09,530
com o produto de x por x 
menos três igual a zero.

107
00:06:09,530 --> 00:06:12,310
Bem, se o produto é igual a zero, então

108
00:06:12,310 --> 00:06:14,370
pelo menos um dos fatores é igual a zero.

109
00:06:14,370 --> 00:06:18,380
Ou x é igual a zero, ou x menos três é.

110
00:06:18,380 --> 00:06:21,280
Assim, temos x é igual a zero, 
ou x é igual a três.

111
00:06:21,280 --> 00:06:23,870
Aqui temos o x igual a zero,

112
00:06:23,870 --> 00:06:25,380
e aqui o x igual a três,

113
00:06:25,380 --> 00:06:27,250
determinando assim o nosso intervalo.

114
00:06:27,250 --> 00:06:29,120
Iremos de x igual a zero até

115
00:06:29,120 --> 00:06:32,850
x igual a três para obter nosso volume.

116
00:06:32,850 --> 00:06:35,700
Em nosso próximo vídeo estimaremos
o valor dessa integral.

117
00:06:35,700 --> 00:06:38,000
Legendado por: Tatiana F. D'Addio
Revisado por: Pilar Dib