WEBVTT

00:00:00.480 --> 00:00:03.330
Vamos resolver um problema interessante.

00:00:03.330 --> 00:00:05.000
Temos as curvas y igual a x e

00:00:05.000 --> 00:00:07.840
y igual a x ao quadrado menos 2x

00:00:07.840 --> 00:00:09.530
E vamos rotacionar a região

00:00:09.530 --> 00:00:11.020
interna a essas duas funções,

00:00:11.020 --> 00:00:13.277
que destaco agora.

00:00:13.277 --> 00:00:15.610
Mas não vamos girar em torno do eixo x,

00:00:15.610 --> 00:00:18.850
e sim em torno da linha horizontal 
y igual a quatro,

00:00:18.850 --> 00:00:21.084
como mostra o desenho.

00:00:21.084 --> 00:00:23.870
Após a rotação, teremos uma figura 
parecida com esta,

00:00:23.870 --> 00:00:26.550
que foi desenhada previamente.

00:00:26.550 --> 00:00:30.210
Ela se parece com um vaso

00:00:30.210 --> 00:00:32.060
com um buraco no fundo.

00:00:32.060 --> 00:00:34.520
Vamos usar o que podemos chamar de

00:00:34.520 --> 00:00:36.395
método da anilha, que é uma variação

00:00:36.395 --> 00:00:37.800
do método do disco.

00:00:37.800 --> 00:00:39.790
Começamos construindo a anilha,

00:00:39.790 --> 00:00:42.350
tomando um ponto x qualquer,

00:00:42.350 --> 00:00:45.520
como este, por exemplo.

00:00:45.520 --> 00:00:47.750
E supondo que estamos sobre esta posição,

00:00:47.750 --> 00:00:50.100
vamos rotacionar esta região.

00:00:50.160 --> 00:00:54.090
Introduzindo uma profundidade dx,

00:00:54.160 --> 00:00:57.840
e girando em torno da linha y igual a 4.

00:00:57.840 --> 00:01:02.580
Note que há uma profundidade aqui.

00:01:02.580 --> 00:01:05.471
Ao efetuarmos a rotação, o raio interno

00:01:05.471 --> 00:01:07.680
será equivalente ao raio interno da anilha

00:01:07.680 --> 00:01:12.130
e ficará parecido com isto aqui.

00:01:12.210 --> 00:01:13.900
Já o raio externo da anilha vai contornar

00:01:13.900 --> 00:01:17.420
a curva x ao quadrado menos 2x.

00:01:17.420 --> 00:01:21.780
Com muito esforço, podemos imaginar

00:01:21.780 --> 00:01:26.713
que o resultado será parecido com este.

00:01:27.950 --> 00:01:29.380
Certamente nossa anilha terá

00:01:29.380 --> 00:01:35.570
alguma profundidade, representada por dx.

00:01:35.970 --> 00:01:42.570
Esta é a melhor representação
que consigo fazer

00:01:42.970 --> 00:01:47.750
Destacaremos a face da anilha em verde

00:01:47.970 --> 00:01:56.830
e a face da anilha será tudo isso aqui.

00:01:57.060 --> 00:02:00.030
Se pudermos descobrir o volume 
de uma anilha como essa,

00:02:00.030 --> 00:02:02.630
para um certo valor de x,
então podemos somar todas as

00:02:02.630 --> 00:02:05.919
anilhas contidas em um intervalo.

00:02:05.919 --> 00:02:08.050
Vamos tentar escrever a integral

00:02:08.050 --> 00:02:13.070
para estimar seu valor no próximo vídeo.

00:02:13.820 --> 00:02:15.964
Voltando para o volume da anilha,

00:02:15.964 --> 00:02:17.630
para descrever esse volume

00:02:17.630 --> 00:02:21.320
devemos tomar a área da face da anilha.

00:02:21.510 --> 00:02:27.210
E qual será a área da face da anilha?

00:02:27.320 --> 00:02:32.700
Para calcular a área - considerando que
a anilha pode ser aproximada a uma cunha -

00:02:32.880 --> 00:02:36.381
subtraindo a área da região excluída.

00:02:36.440 --> 00:02:38.890
Se a anilha não possuísse um buraco

00:02:38.890 --> 00:02:40.750
em seu centro, então a área seria

00:02:40.750 --> 00:02:50.835
pi vezes o raio externo ao quadrado.

00:02:51.180 --> 00:02:55.090
mas já que a anilha possui um buraco,

00:02:55.090 --> 00:02:57.030
vamos subtrair a área do círculo interno

00:02:57.030 --> 00:03:05.500
que será pi vezes o raio 
interno ao quadrado.

00:03:05.500 --> 00:03:07.000
Precisamos agora determinar

00:03:07.000 --> 00:03:10.750
o valor dos raios internos e externos.

00:03:10.750 --> 00:03:13.561
Pensando um pouco

00:03:13.561 --> 00:03:17.570
podemos observar aqui no desenho,

00:03:17.570 --> 00:03:23.610
onde temos o raio externo, que é igual

00:03:23.610 --> 00:03:27.770
a este elemento, que é a distância

00:03:27.770 --> 00:03:29.720
entre a linha y igual a quatro e a função

00:03:29.720 --> 00:03:35.410
que define a região externa da anilha.

00:03:35.590 --> 00:03:41.780
A altura destacada será calculada por

00:03:41.780 --> 00:03:45.280
quatro menos x ao quadrado menos 2x,

00:03:45.280 --> 00:03:48.570
ou a distância entre as duas funções.

00:03:48.900 --> 00:03:52.140
Assim, o raio externo será quatro menos

00:03:52.140 --> 00:03:55.100
x ao quadrado menos 2x, ou

00:03:55.100 --> 00:03:58.540
quatro menos x ao quadrado mais 2x.

00:03:58.540 --> 00:04:05.080
E quanto ao raio interno?

00:04:05.080 --> 00:04:06.830
Quanto valerá?

00:04:06.830 --> 00:04:11.550
Bem, o raio interno será a distância entre

00:04:11.550 --> 00:04:13.480
y igual a quatro e y igual a x, ou seja,

00:04:13.480 --> 00:04:18.285
quatro menos x.

00:04:19.079 --> 00:04:21.990
Assim, se quisermos determinar a área da

00:04:21.990 --> 00:04:27.090
face de uma dessas anilhas teremos que

00:04:27.090 --> 00:04:33.750
multiplicar o quadrado do 
raio externo por pi

00:04:33.910 --> 00:04:36.540
equivalendo ao quadrado de quatro menos

00:04:36.540 --> 00:04:41.830
x ao quadrado mais 2x

00:04:41.830 --> 00:04:43.280
subtraindo de pi vezes o

00:04:43.280 --> 00:04:44.780
quadrado do raio interno.

00:04:44.780 --> 00:04:46.810
Fatoramos o pi, ficando com a expressão

00:04:46.810 --> 00:04:51.800
menos o quadrado de quatro menos x.

00:04:51.800 --> 00:04:57.650
Assim teremos a área da superfície ou

00:04:57.650 --> 00:04:59.280
da face de uma das anilhas.

00:04:59.280 --> 00:05:01.700
Para determinarmos o volume 
de uma das anilhas,

00:05:01.700 --> 00:05:07.620
basta multiplicar pela profundidade dx.

00:05:08.010 --> 00:05:10.800
E se quisermos calcular o volume de toda

00:05:10.800 --> 00:05:14.250
a figura, então basta somar todas as

00:05:14.250 --> 00:05:15.950
anilhas no intervalo de x desejado.

00:05:15.950 --> 00:05:16.830
Vamos lá.

00:05:16.830 --> 00:05:19.050
Vamos somar todas as anilhas do intervalo

00:05:19.050 --> 00:05:21.300
e tomar o limite tendendo a zero,

00:05:21.300 --> 00:05:23.490
mas primeiro precisamos cuidadosamente

00:05:23.490 --> 00:05:26.260
determinar o intervalo, que será toda a

00:05:26.260 --> 00:05:28.840
região entre os pontos de intersecção 
das curvas.

00:05:28.840 --> 00:05:30.620
Vamos conferir.

00:05:30.620 --> 00:05:32.613
Precisamos determinar os pontos

00:05:32.613 --> 00:05:36.070
de intersecção entre y igual a x e y

00:05:36.070 --> 00:05:39.960
igual a x ao quadrado menos 2x.

00:05:39.990 --> 00:05:41.630
Vou usar uma cor diferente agora.

00:05:41.630 --> 00:05:44.150
Vamos determinar quando x é igual a

00:05:44.150 --> 00:05:48.925
x ao quadrado menos 2x.

00:05:49.370 --> 00:05:51.830
Quando as duas funções se igualam?

00:05:51.830 --> 00:05:57.976
Subtraindo x dos dois lados da igualdade

00:05:57.976 --> 00:06:02.190
temos x ao quadrado menos 3x igual a zero.

00:06:02.190 --> 00:06:05.260
Fatorando um x do lado direito, ficaremos

00:06:05.260 --> 00:06:09.530
com o produto de x por x 
menos três igual a zero.

00:06:09.530 --> 00:06:12.310
Bem, se o produto é igual a zero, então

00:06:12.310 --> 00:06:14.370
pelo menos um dos fatores é igual a zero.

00:06:14.370 --> 00:06:18.380
Ou x é igual a zero, ou x menos três é.

00:06:18.380 --> 00:06:21.280
Assim, temos x é igual a zero, 
ou x é igual a três.

00:06:21.280 --> 00:06:23.870
Aqui temos o x igual a zero,

00:06:23.870 --> 00:06:25.380
e aqui o x igual a três,

00:06:25.380 --> 00:06:27.250
determinando assim o nosso intervalo.

00:06:27.250 --> 00:06:29.120
Iremos de x igual a zero até

00:06:29.120 --> 00:06:32.850
x igual a três para obter nosso volume.

00:06:32.850 --> 00:06:35.700
Em nosso próximo vídeo estimaremos
o valor dessa integral.

00:06:35.700 --> 00:06:38.000
Legendado por: Tatiana F. D'Addio
Revisado por: Pilar Dib