0:00:00.000,0:00:00.620


0:00:00.620,0:00:02.780
ตอนนี้ลองมาทำโจทย์ที่น่าสนใจกัน

0:00:02.780,0:00:05.290
ผมมี y เท่ากับ x, และ y เท่ากับ x

0:00:05.290,0:00:07.840
กำลังสองลบ 2x ตรงนี้

0:00:07.840,0:00:09.530
และเราจะหมุนพื้นที่นี้

0:00:09.530,0:00:11.020
ระหว่างฟังก์ชันสองตัว

0:00:11.020,0:00:13.277
นั่นคือพื้นที่นี่ตรงนี้

0:00:13.277,0:00:15.610
และเราจะไม่หมุนรอบแกน x

0:00:15.610,0:00:19.360
แต่เราจะหมุนมันรอบเส้นแนวนอน y เท่ากับ 4

0:00:19.360,0:00:21.454
เราจะหมุนมันรอบเส้นนี้

0:00:21.454,0:00:23.870
ถ้าเราทำอย่างนั้น เราจะได้รูปทรงอย่างนี้

0:00:23.870,0:00:26.550
ผมวาดมันล่วงหน้า ผมจะได้วาดอย่างสวยงาม

0:00:26.550,0:00:30.210
อย่างที่คุณเห็น มันดูเหมือนแจกัน

0:00:30.210,0:00:32.060
ที่มีรูตรงก้น

0:00:32.060,0:00:34.520
และสิ่งที่เราจะทำคือหาปริมาตรโดย

0:00:34.520,0:00:36.395
จะเรียกว่าวิธีแบบวงแหวนก็ได้

0:00:36.395,0:00:37.800
เป็นการประยุกต์วิธีแบบจาน

0:00:37.800,0:00:39.790
ลองสร้างวงแหวนกัน

0:00:39.790,0:00:42.350
ลองดูที่ค่า x ค่าหนึ่ง

0:00:42.350,0:00:45.520
สมมุติว่า x ตรงนี้

0:00:45.520,0:00:47.750
สมมุติว่าเราอยู่ที่ x ตรงนี้

0:00:47.750,0:00:48.370
และสิ่งที่เราจะทำคือเราจะ

0:00:48.370,0:00:50.160
หมุนเขตนี้

0:00:50.160,0:00:54.090
เราจะให้มันมีความหนา dx

0:00:54.090,0:00:55.010
นั่นคือ dx

0:00:55.010,0:00:57.120
เราจะหมุนอันนี้รอบเส้นตรง y

0:00:57.120,0:00:57.840
เท่ากับ 4

0:00:57.840,0:01:02.580
ถ้าคุณมองภาพมันตรงนี้ คุณจะได้ความหนา

0:01:02.580,0:01:05.472
และเมื่อคุณหมุนมัน รัศมีใน

0:01:05.472,0:01:07.680
จะเป็นรัศมีในของวงแหวน

0:01:07.680,0:01:09.440
มันจะเป็นแบบนั้น

0:01:09.440,0:01:12.210


0:01:12.210,0:01:13.900
แล้วรัศมีนอกของวงแหวนเรา

0:01:13.900,0:01:17.420
จะวนรอบ x กำลังสองลบ 2x

0:01:17.420,0:01:21.780
มันจะเป็นแบบ --

0:01:21.780,0:01:23.703
ผมพยายามวาดให้ดีที่สุดแล้ว -- มัน

0:01:23.703,0:01:25.440
จะเป็นแบบนั้น

0:01:25.440,0:01:27.950


0:01:27.950,0:01:30.810
และแน่นอน วงแหวนของเราจะมีความหนา

0:01:30.810,0:01:32.250
ขอผมวาดความหนานะ

0:01:32.250,0:01:35.950
มันจะมีความหนา dx

0:01:35.950,0:01:39.940
ผมพยายามวาดความหนาอย่างดีที่สุดแล้ว

0:01:39.940,0:01:42.970
นี่คือความหนาของวงแหวน

0:01:42.970,0:01:45.440
แล้วเพื่อให้หน้าของวงแหวน

0:01:45.440,0:01:47.230
ชัดขึ้น ผมจะวาดด้วยสีเขียวนะ

0:01:47.230,0:01:49.440
หน้าของวงแหวนจะ

0:01:49.440,0:01:52.310
เป็นทั้งหมดนี้

0:01:52.310,0:01:57.060
ทั้งหมดนี้จะเป็นหน้าของวงแหวน

0:01:57.060,0:01:59.350
ถ้าเราหาปริมาตรของ

0:01:59.350,0:02:01.210
วงแหวนหนึ่งวงสำหรับ x ใดๆ เราจะ

0:02:01.210,0:02:03.240
ต้องบวกวงแหวนสำหรับค่า x

0:02:03.240,0:02:05.919
ทั้งหมดในช่วงของเรานี้

0:02:05.919,0:02:07.710
ลองดูว่าเราตั้งอินทิกรัล

0:02:07.710,0:02:09.990
บางทีในวิดีโอหน้า เราจะ

0:02:09.990,0:02:13.820
ทำต่อและหาค่าอินทิกรัลนี้

0:02:13.820,0:02:15.964
ลองคิดถึงปริมาตรของวงแหวนกัน

0:02:15.964,0:02:17.630
เวลาคิดถึงปริมาตรของวงแหวน

0:02:17.630,0:02:19.580
เราก็แค่ต้องคิดถึงพื้นที่

0:02:19.580,0:02:21.510
ของหน้าวงแหวน

0:02:21.510,0:02:26.510
พื้นที่ของหน้า -- ใส่หน้า [br]ในเครื่องหมายคำพูด --

0:02:26.510,0:02:28.380
มันจะเท่ากับอะไร?

0:02:28.380,0:02:30.670
มันจะเท่ากับพื้นที่ของวงแหวน --

0:02:30.670,0:02:32.880
ถ้าไม่ใช่วงแหวน ถ้ามันเป็นแค่เหรียญ --

0:02:32.880,0:02:35.441
แล้วลบพื้นที่ของส่วน

0:02:35.441,0:02:36.440
ที่คุณตัดออก

0:02:36.440,0:02:38.890
พื้นที่ของวงแหวนถ้าผมไม่ได้

0:02:38.890,0:02:40.750
มีรูตรงกลาง จะเท่ากับ

0:02:40.750,0:02:44.285
พายคูณรัศมีนอกกำลังสอง

0:02:44.285,0:02:48.150


0:02:48.150,0:02:51.090
มันจะเป็นพายคูณรัศมีนี้กำลังสอง

0:02:51.090,0:02:52.950
ที่เราเรียกว่ารัศมีนอก

0:02:52.950,0:02:55.320
และเนื่องจากมันเป็นวงแหวน เราต้องลบ

0:02:55.320,0:02:57.030
พื้นที่วงกลมในนี้

0:02:57.030,0:03:05.500
ลบพายคูณรัศมีในกำลังสอง

0:03:05.500,0:03:07.000
เราก็แค่ต้องหา

0:03:07.000,0:03:11.160
ว่ารัศมีนอกและรัศมีในคืออะไร

0:03:11.160,0:03:12.710
ลองคิดกันดู

0:03:12.710,0:03:19.971
รัศมีนอกจะเท่ากับอะไร?

0:03:19.971,0:03:21.470
เรามองภาพมันตรงนี้ได้

0:03:21.470,0:03:23.610
นี่คือรัศมีนอกของเรา ซึ่ง

0:03:23.610,0:03:27.770
เท่ากับอันนั้นตรงนั้นด้วย

0:03:27.770,0:03:29.720
นั่นคือระยะระหว่าง y เท่ากับ

0:03:29.720,0:03:32.440
4 กับฟังก์ชันที่กำหนดค่าข้างนอก

0:03:32.440,0:03:38.250


0:03:38.250,0:03:40.520
นี่ก็คือ ความสูงนี่ตรงนี้

0:03:40.520,0:03:45.280
จะเท่ากับ 4 ลบ x กำลังสองลบ 2x

0:03:45.280,0:03:48.000
ผมแค่หาระยะหรือความสูง[br]ระหว่างฟังก์ชันสองตัวนี้

0:03:48.000,0:03:48.900


0:03:48.900,0:03:52.140
รัศมีนอกจึงเท่ากับ 4 ลบค่านี้

0:03:52.140,0:03:55.100
ลบ x กำลังสองลบ 2x ซึ่งก็คือ 4

0:03:55.100,0:03:58.520
ลบ x กำลังสองบวก 2x

0:03:58.520,0:03:59.850
ทีนี้ รัศมีในเป็นเท่าใด?

0:03:59.850,0:04:05.080


0:04:05.080,0:04:06.830
มันจะเท่ากับอะไร?

0:04:06.830,0:04:11.550
มันจะเท่ากับระยะนี้ระหว่าง y

0:04:11.550,0:04:13.480
เท่ากับ 4 กับ y เท่ากับ x

0:04:13.480,0:04:15.265
มันจึงเท่ากับ 4 ลบ x

0:04:15.265,0:04:19.079


0:04:19.079,0:04:22.810
ถ้าเราอยากหาพื้นที่ของหน้า

0:04:22.810,0:04:27.090
วงแหวนอันหนึ่งสำหรับค่า x ใดๆ [br]มันจะเท่ากับ --

0:04:27.090,0:04:30.290
เราแยกพายนี้ออกมาได้ -- มัน

0:04:30.290,0:04:34.680
จะเท่ากับพายคูณรัศมีนอกกำลังสอง

0:04:34.680,0:04:36.540
ซึ่งก็คือทั้งหมดนี้กำลังสอง

0:04:36.540,0:04:41.830
มันจึงเท่ากับ 4 ลบ x กำลังสอง [br]บวก 2x กำลังสอง

0:04:41.830,0:04:43.280
ลบพายคูณรัศมีใน --

0:04:43.280,0:04:44.780
ถึงแม้เราจะแยกพายออกมา --

0:04:44.780,0:04:46.810
ลบรัศมีในกำลังสอง

0:04:46.810,0:04:51.800
ลบ 4 ลบ x กำลังสอง

0:04:51.800,0:04:57.650
อันนี้จะให้พื้นที่ผิว

0:04:57.650,0:04:59.280
หรือหน้าของวงแหวนหนึ่งอัน

0:04:59.280,0:05:01.700
ถ้าเราต้องการปริมาตรของวงแหวนอันหนึ่ง

0:05:01.700,0:05:05.040
เราก็แค่ต้องคูณมันด้วยความหนาคือ dx

0:05:05.040,0:05:08.010


0:05:08.010,0:05:10.800
แล้วถ้าเราหาปริมาตรของทั้งรูปนี้

0:05:10.800,0:05:14.250
เราก็แค่ต้องบวกวงแหวนเหล่านี้

0:05:14.250,0:05:15.950
สำหรับ x แต่ละตัว

0:05:15.950,0:05:16.830
ลองทำกันดู

0:05:16.830,0:05:19.050
เราจะบวกวงแหวนสำหรับ

0:05:19.050,0:05:21.300
x แต่ละค่าแล้วหาลิมิตเมื่อมันเข้าใกล้ 0

0:05:21.300,0:05:23.490
แต่เราต้องดูให้แน่ใจว่าช่วงของเราถูกต้อง

0:05:23.490,0:05:26.260
พวกนี้คืออะไร -- เราสนใจเขตทั้งหมด

0:05:26.260,0:05:28.840
ระหว่างจุดที่พวกมันตัดกัน

0:05:28.840,0:05:30.620
ลองดูให้แน่ใจว่าเราได้ช่วงถูกต้อง

0:05:30.620,0:05:32.203
เวลาหาช่วง เราแค่

0:05:32.203,0:05:36.070
บอกว่า y เท่ากับ x ตัดกับ y เท่ากับ

0:05:36.070,0:05:37.350
x กำลังสองลบ 2x ที่ไหน?

0:05:37.350,0:05:39.990


0:05:39.990,0:05:41.630
ขอผมใช้อีกสีนะ

0:05:41.630,0:05:44.150
เราแค่ต้องคิดว่า

0:05:44.150,0:05:46.245
x เท่ากับ x กำลังสองลบ 2x เมื่อไหร่

0:05:46.245,0:05:49.370


0:05:49.370,0:05:51.420
ฟังก์ชันสองตัวของเราเท่ากันเมื่อไหร่?

0:05:51.420,0:05:53.030
ซึ่งเทียบเท่ากับ -- ถ้าเราแค่

0:05:53.030,0:05:58.800
ลบ x จากทั้งสองข้าง เราจะได้

0:05:58.800,0:06:02.190
x กำลังสองลบ 3x เท่ากับ 0 เมื่อไหร่

0:06:02.190,0:06:05.260
เราแยก x ทางขวามือได้

0:06:05.260,0:06:09.530
อันนี้จะเป็นค่าที่ x คูณ x ลบ 3 เท่ากับ 0

0:06:09.530,0:06:12.310
ถ้าผลคูณเท่ากับ 0 อย่างน้อยหนึ่งในนี้

0:06:12.310,0:06:13.350
ต้องเท่ากับ 0

0:06:13.350,0:06:18.380
x จึงเท่ากับ 0 ได้ หรือ x ลบ 3 เท่ากับ 0 ได้

0:06:18.380,0:06:21.280
x จึงเท่ากับ 0 หรือ x เท่ากับ 3

0:06:21.280,0:06:24.010
นี่ก็คือ x เป็น 0 และค่านี่ตรงนี้

0:06:24.010,0:06:25.850
คือ x เท่ากับ 3

0:06:25.850,0:06:27.100
มันให้ช่วงนี้มา

0:06:27.100,0:06:29.120
เราจะไปจาก x เท่ากับ 0

0:06:29.120,0:06:32.850
ถึง x เท่ากับ 3 ได้ปริมาตรนี้

0:06:32.850,0:06:35.000
ในวิดีโอหน้า เราจะ

0:06:35.000,0:06:37.320
หาค่าอินทิกรัลนี้กัน