1
00:00:00,000 --> 00:00:00,620


2
00:00:00,620 --> 00:00:02,780
ตอนนี้ลองมาทำโจทย์ที่น่าสนใจกัน

3
00:00:02,780 --> 00:00:05,290
ผมมี y เท่ากับ x, และ y เท่ากับ x

4
00:00:05,290 --> 00:00:07,840
กำลังสองลบ 2x ตรงนี้

5
00:00:07,840 --> 00:00:09,530
และเราจะหมุนพื้นที่นี้

6
00:00:09,530 --> 00:00:11,020
ระหว่างฟังก์ชันสองตัว

7
00:00:11,020 --> 00:00:13,277
นั่นคือพื้นที่นี่ตรงนี้

8
00:00:13,277 --> 00:00:15,610
และเราจะไม่หมุนรอบแกน x

9
00:00:15,610 --> 00:00:19,360
แต่เราจะหมุนมันรอบเส้นแนวนอน y เท่ากับ 4

10
00:00:19,360 --> 00:00:21,454
เราจะหมุนมันรอบเส้นนี้

11
00:00:21,454 --> 00:00:23,870
ถ้าเราทำอย่างนั้น เราจะได้รูปทรงอย่างนี้

12
00:00:23,870 --> 00:00:26,550
ผมวาดมันล่วงหน้า ผมจะได้วาดอย่างสวยงาม

13
00:00:26,550 --> 00:00:30,210
อย่างที่คุณเห็น มันดูเหมือนแจกัน

14
00:00:30,210 --> 00:00:32,060
ที่มีรูตรงก้น

15
00:00:32,060 --> 00:00:34,520
และสิ่งที่เราจะทำคือหาปริมาตรโดย

16
00:00:34,520 --> 00:00:36,395
จะเรียกว่าวิธีแบบวงแหวนก็ได้

17
00:00:36,395 --> 00:00:37,800
เป็นการประยุกต์วิธีแบบจาน

18
00:00:37,800 --> 00:00:39,790
ลองสร้างวงแหวนกัน

19
00:00:39,790 --> 00:00:42,350
ลองดูที่ค่า x ค่าหนึ่ง

20
00:00:42,350 --> 00:00:45,520
สมมุติว่า x ตรงนี้

21
00:00:45,520 --> 00:00:47,750
สมมุติว่าเราอยู่ที่ x ตรงนี้

22
00:00:47,750 --> 00:00:48,370
และสิ่งที่เราจะทำคือเราจะ

23
00:00:48,370 --> 00:00:50,160
หมุนเขตนี้

24
00:00:50,160 --> 00:00:54,090
เราจะให้มันมีความหนา dx

25
00:00:54,090 --> 00:00:55,010
นั่นคือ dx

26
00:00:55,010 --> 00:00:57,120
เราจะหมุนอันนี้รอบเส้นตรง y

27
00:00:57,120 --> 00:00:57,840
เท่ากับ 4

28
00:00:57,840 --> 00:01:02,580
ถ้าคุณมองภาพมันตรงนี้ คุณจะได้ความหนา

29
00:01:02,580 --> 00:01:05,472
และเมื่อคุณหมุนมัน รัศมีใน

30
00:01:05,472 --> 00:01:07,680
จะเป็นรัศมีในของวงแหวน

31
00:01:07,680 --> 00:01:09,440
มันจะเป็นแบบนั้น

32
00:01:09,440 --> 00:01:12,210


33
00:01:12,210 --> 00:01:13,900
แล้วรัศมีนอกของวงแหวนเรา

34
00:01:13,900 --> 00:01:17,420
จะวนรอบ x กำลังสองลบ 2x

35
00:01:17,420 --> 00:01:21,780
มันจะเป็นแบบ --

36
00:01:21,780 --> 00:01:23,703
ผมพยายามวาดให้ดีที่สุดแล้ว -- มัน

37
00:01:23,703 --> 00:01:25,440
จะเป็นแบบนั้น

38
00:01:25,440 --> 00:01:27,950


39
00:01:27,950 --> 00:01:30,810
และแน่นอน วงแหวนของเราจะมีความหนา

40
00:01:30,810 --> 00:01:32,250
ขอผมวาดความหนานะ

41
00:01:32,250 --> 00:01:35,950
มันจะมีความหนา dx

42
00:01:35,950 --> 00:01:39,940
ผมพยายามวาดความหนาอย่างดีที่สุดแล้ว

43
00:01:39,940 --> 00:01:42,970
นี่คือความหนาของวงแหวน

44
00:01:42,970 --> 00:01:45,440
แล้วเพื่อให้หน้าของวงแหวน

45
00:01:45,440 --> 00:01:47,230
ชัดขึ้น ผมจะวาดด้วยสีเขียวนะ

46
00:01:47,230 --> 00:01:49,440
หน้าของวงแหวนจะ

47
00:01:49,440 --> 00:01:52,310
เป็นทั้งหมดนี้

48
00:01:52,310 --> 00:01:57,060
ทั้งหมดนี้จะเป็นหน้าของวงแหวน

49
00:01:57,060 --> 00:01:59,350
ถ้าเราหาปริมาตรของ

50
00:01:59,350 --> 00:02:01,210
วงแหวนหนึ่งวงสำหรับ x ใดๆ เราจะ

51
00:02:01,210 --> 00:02:03,240
ต้องบวกวงแหวนสำหรับค่า x

52
00:02:03,240 --> 00:02:05,919
ทั้งหมดในช่วงของเรานี้

53
00:02:05,919 --> 00:02:07,710
ลองดูว่าเราตั้งอินทิกรัล

54
00:02:07,710 --> 00:02:09,990
บางทีในวิดีโอหน้า เราจะ

55
00:02:09,990 --> 00:02:13,820
ทำต่อและหาค่าอินทิกรัลนี้

56
00:02:13,820 --> 00:02:15,964
ลองคิดถึงปริมาตรของวงแหวนกัน

57
00:02:15,964 --> 00:02:17,630
เวลาคิดถึงปริมาตรของวงแหวน

58
00:02:17,630 --> 00:02:19,580
เราก็แค่ต้องคิดถึงพื้นที่

59
00:02:19,580 --> 00:02:21,510
ของหน้าวงแหวน

60
00:02:21,510 --> 00:02:26,510
พื้นที่ของหน้า -- ใส่หน้า 
ในเครื่องหมายคำพูด --

61
00:02:26,510 --> 00:02:28,380
มันจะเท่ากับอะไร?

62
00:02:28,380 --> 00:02:30,670
มันจะเท่ากับพื้นที่ของวงแหวน --

63
00:02:30,670 --> 00:02:32,880
ถ้าไม่ใช่วงแหวน ถ้ามันเป็นแค่เหรียญ --

64
00:02:32,880 --> 00:02:35,441
แล้วลบพื้นที่ของส่วน

65
00:02:35,441 --> 00:02:36,440
ที่คุณตัดออก

66
00:02:36,440 --> 00:02:38,890
พื้นที่ของวงแหวนถ้าผมไม่ได้

67
00:02:38,890 --> 00:02:40,750
มีรูตรงกลาง จะเท่ากับ

68
00:02:40,750 --> 00:02:44,285
พายคูณรัศมีนอกกำลังสอง

69
00:02:44,285 --> 00:02:48,150


70
00:02:48,150 --> 00:02:51,090
มันจะเป็นพายคูณรัศมีนี้กำลังสอง

71
00:02:51,090 --> 00:02:52,950
ที่เราเรียกว่ารัศมีนอก

72
00:02:52,950 --> 00:02:55,320
และเนื่องจากมันเป็นวงแหวน เราต้องลบ

73
00:02:55,320 --> 00:02:57,030
พื้นที่วงกลมในนี้

74
00:02:57,030 --> 00:03:05,500
ลบพายคูณรัศมีในกำลังสอง

75
00:03:05,500 --> 00:03:07,000
เราก็แค่ต้องหา

76
00:03:07,000 --> 00:03:11,160
ว่ารัศมีนอกและรัศมีในคืออะไร

77
00:03:11,160 --> 00:03:12,710
ลองคิดกันดู

78
00:03:12,710 --> 00:03:19,971
รัศมีนอกจะเท่ากับอะไร?

79
00:03:19,971 --> 00:03:21,470
เรามองภาพมันตรงนี้ได้

80
00:03:21,470 --> 00:03:23,610
นี่คือรัศมีนอกของเรา ซึ่ง

81
00:03:23,610 --> 00:03:27,770
เท่ากับอันนั้นตรงนั้นด้วย

82
00:03:27,770 --> 00:03:29,720
นั่นคือระยะระหว่าง y เท่ากับ

83
00:03:29,720 --> 00:03:32,440
4 กับฟังก์ชันที่กำหนดค่าข้างนอก

84
00:03:32,440 --> 00:03:38,250


85
00:03:38,250 --> 00:03:40,520
นี่ก็คือ ความสูงนี่ตรงนี้

86
00:03:40,520 --> 00:03:45,280
จะเท่ากับ 4 ลบ x กำลังสองลบ 2x

87
00:03:45,280 --> 00:03:48,000
ผมแค่หาระยะหรือความสูง
ระหว่างฟังก์ชันสองตัวนี้

88
00:03:48,000 --> 00:03:48,900


89
00:03:48,900 --> 00:03:52,140
รัศมีนอกจึงเท่ากับ 4 ลบค่านี้

90
00:03:52,140 --> 00:03:55,100
ลบ x กำลังสองลบ 2x ซึ่งก็คือ 4

91
00:03:55,100 --> 00:03:58,520
ลบ x กำลังสองบวก 2x

92
00:03:58,520 --> 00:03:59,850
ทีนี้ รัศมีในเป็นเท่าใด?

93
00:03:59,850 --> 00:04:05,080


94
00:04:05,080 --> 00:04:06,830
มันจะเท่ากับอะไร?

95
00:04:06,830 --> 00:04:11,550
มันจะเท่ากับระยะนี้ระหว่าง y

96
00:04:11,550 --> 00:04:13,480
เท่ากับ 4 กับ y เท่ากับ x

97
00:04:13,480 --> 00:04:15,265
มันจึงเท่ากับ 4 ลบ x

98
00:04:15,265 --> 00:04:19,079


99
00:04:19,079 --> 00:04:22,810
ถ้าเราอยากหาพื้นที่ของหน้า

100
00:04:22,810 --> 00:04:27,090
วงแหวนอันหนึ่งสำหรับค่า x ใดๆ 
มันจะเท่ากับ --

101
00:04:27,090 --> 00:04:30,290
เราแยกพายนี้ออกมาได้ -- มัน

102
00:04:30,290 --> 00:04:34,680
จะเท่ากับพายคูณรัศมีนอกกำลังสอง

103
00:04:34,680 --> 00:04:36,540
ซึ่งก็คือทั้งหมดนี้กำลังสอง

104
00:04:36,540 --> 00:04:41,830
มันจึงเท่ากับ 4 ลบ x กำลังสอง 
บวก 2x กำลังสอง

105
00:04:41,830 --> 00:04:43,280
ลบพายคูณรัศมีใน --

106
00:04:43,280 --> 00:04:44,780
ถึงแม้เราจะแยกพายออกมา --

107
00:04:44,780 --> 00:04:46,810
ลบรัศมีในกำลังสอง

108
00:04:46,810 --> 00:04:51,800
ลบ 4 ลบ x กำลังสอง

109
00:04:51,800 --> 00:04:57,650
อันนี้จะให้พื้นที่ผิว

110
00:04:57,650 --> 00:04:59,280
หรือหน้าของวงแหวนหนึ่งอัน

111
00:04:59,280 --> 00:05:01,700
ถ้าเราต้องการปริมาตรของวงแหวนอันหนึ่ง

112
00:05:01,700 --> 00:05:05,040
เราก็แค่ต้องคูณมันด้วยความหนาคือ dx

113
00:05:05,040 --> 00:05:08,010


114
00:05:08,010 --> 00:05:10,800
แล้วถ้าเราหาปริมาตรของทั้งรูปนี้

115
00:05:10,800 --> 00:05:14,250
เราก็แค่ต้องบวกวงแหวนเหล่านี้

116
00:05:14,250 --> 00:05:15,950
สำหรับ x แต่ละตัว

117
00:05:15,950 --> 00:05:16,830
ลองทำกันดู

118
00:05:16,830 --> 00:05:19,050
เราจะบวกวงแหวนสำหรับ

119
00:05:19,050 --> 00:05:21,300
x แต่ละค่าแล้วหาลิมิตเมื่อมันเข้าใกล้ 0

120
00:05:21,300 --> 00:05:23,490
แต่เราต้องดูให้แน่ใจว่าช่วงของเราถูกต้อง

121
00:05:23,490 --> 00:05:26,260
พวกนี้คืออะไร -- เราสนใจเขตทั้งหมด

122
00:05:26,260 --> 00:05:28,840
ระหว่างจุดที่พวกมันตัดกัน

123
00:05:28,840 --> 00:05:30,620
ลองดูให้แน่ใจว่าเราได้ช่วงถูกต้อง

124
00:05:30,620 --> 00:05:32,203
เวลาหาช่วง เราแค่

125
00:05:32,203 --> 00:05:36,070
บอกว่า y เท่ากับ x ตัดกับ y เท่ากับ

126
00:05:36,070 --> 00:05:37,350
x กำลังสองลบ 2x ที่ไหน?

127
00:05:37,350 --> 00:05:39,990


128
00:05:39,990 --> 00:05:41,630
ขอผมใช้อีกสีนะ

129
00:05:41,630 --> 00:05:44,150
เราแค่ต้องคิดว่า

130
00:05:44,150 --> 00:05:46,245
x เท่ากับ x กำลังสองลบ 2x เมื่อไหร่

131
00:05:46,245 --> 00:05:49,370


132
00:05:49,370 --> 00:05:51,420
ฟังก์ชันสองตัวของเราเท่ากันเมื่อไหร่?

133
00:05:51,420 --> 00:05:53,030
ซึ่งเทียบเท่ากับ -- ถ้าเราแค่

134
00:05:53,030 --> 00:05:58,800
ลบ x จากทั้งสองข้าง เราจะได้

135
00:05:58,800 --> 00:06:02,190
x กำลังสองลบ 3x เท่ากับ 0 เมื่อไหร่

136
00:06:02,190 --> 00:06:05,260
เราแยก x ทางขวามือได้

137
00:06:05,260 --> 00:06:09,530
อันนี้จะเป็นค่าที่ x คูณ x ลบ 3 เท่ากับ 0

138
00:06:09,530 --> 00:06:12,310
ถ้าผลคูณเท่ากับ 0 อย่างน้อยหนึ่งในนี้

139
00:06:12,310 --> 00:06:13,350
ต้องเท่ากับ 0

140
00:06:13,350 --> 00:06:18,380
x จึงเท่ากับ 0 ได้ หรือ x ลบ 3 เท่ากับ 0 ได้

141
00:06:18,380 --> 00:06:21,280
x จึงเท่ากับ 0 หรือ x เท่ากับ 3

142
00:06:21,280 --> 00:06:24,010
นี่ก็คือ x เป็น 0 และค่านี่ตรงนี้

143
00:06:24,010 --> 00:06:25,850
คือ x เท่ากับ 3

144
00:06:25,850 --> 00:06:27,100
มันให้ช่วงนี้มา

145
00:06:27,100 --> 00:06:29,120
เราจะไปจาก x เท่ากับ 0

146
00:06:29,120 --> 00:06:32,850
ถึง x เท่ากับ 3 ได้ปริมาตรนี้

147
00:06:32,850 --> 00:06:35,000
ในวิดีโอหน้า เราจะ

148
00:06:35,000 --> 00:06:37,320
หาค่าอินทิกรัลนี้กัน