ตอนนี้ลองมาทำโจทย์ที่น่าสนใจกัน

ผมมี y เท่ากับ x, และ y เท่ากับ x

กำลังสองลบ 2x ตรงนี้

และเราจะหมุนพื้นที่นี้

ระหว่างฟังก์ชันสองตัว

นั่นคือพื้นที่นี่ตรงนี้

และเราจะไม่หมุนรอบแกน x

แต่เราจะหมุนมันรอบเส้นแนวนอน y เท่ากับ 4

เราจะหมุนมันรอบเส้นนี้

ถ้าเราทำอย่างนั้น เราจะได้รูปทรงอย่างนี้

ผมวาดมันล่วงหน้า ผมจะได้วาดอย่างสวยงาม

อย่างที่คุณเห็น มันดูเหมือนแจกัน

ที่มีรูตรงก้น

และสิ่งที่เราจะทำคือหาปริมาตรโดย

จะเรียกว่าวิธีแบบวงแหวนก็ได้

เป็นการประยุกต์วิธีแบบจาน

ลองสร้างวงแหวนกัน

ลองดูที่ค่า x ค่าหนึ่ง

สมมุติว่า x ตรงนี้

สมมุติว่าเราอยู่ที่ x ตรงนี้

และสิ่งที่เราจะทำคือเราจะ

หมุนเขตนี้

เราจะให้มันมีความหนา dx

นั่นคือ dx

เราจะหมุนอันนี้รอบเส้นตรง y

เท่ากับ 4

ถ้าคุณมองภาพมันตรงนี้ คุณจะได้ความหนา

และเมื่อคุณหมุนมัน รัศมีใน

จะเป็นรัศมีในของวงแหวน

มันจะเป็นแบบนั้น

แล้วรัศมีนอกของวงแหวนเรา

จะวนรอบ x กำลังสองลบ 2x

มันจะเป็นแบบ --

ผมพยายามวาดให้ดีที่สุดแล้ว -- มัน

จะเป็นแบบนั้น

และแน่นอน วงแหวนของเราจะมีความหนา

ขอผมวาดความหนานะ

มันจะมีความหนา dx

ผมพยายามวาดความหนาอย่างดีที่สุดแล้ว

นี่คือความหนาของวงแหวน

แล้วเพื่อให้หน้าของวงแหวน

ชัดขึ้น ผมจะวาดด้วยสีเขียวนะ

หน้าของวงแหวนจะ

เป็นทั้งหมดนี้

ทั้งหมดนี้จะเป็นหน้าของวงแหวน

ถ้าเราหาปริมาตรของ

วงแหวนหนึ่งวงสำหรับ x ใดๆ เราจะ

ต้องบวกวงแหวนสำหรับค่า x

ทั้งหมดในช่วงของเรานี้

ลองดูว่าเราตั้งอินทิกรัล

บางทีในวิดีโอหน้า เราจะ

ทำต่อและหาค่าอินทิกรัลนี้

ลองคิดถึงปริมาตรของวงแหวนกัน

เวลาคิดถึงปริมาตรของวงแหวน

เราก็แค่ต้องคิดถึงพื้นที่

ของหน้าวงแหวน

พื้นที่ของหน้า -- ใส่หน้า 
ในเครื่องหมายคำพูด --

มันจะเท่ากับอะไร?

มันจะเท่ากับพื้นที่ของวงแหวน --

ถ้าไม่ใช่วงแหวน ถ้ามันเป็นแค่เหรียญ --

แล้วลบพื้นที่ของส่วน

ที่คุณตัดออก

พื้นที่ของวงแหวนถ้าผมไม่ได้

มีรูตรงกลาง จะเท่ากับ

พายคูณรัศมีนอกกำลังสอง

มันจะเป็นพายคูณรัศมีนี้กำลังสอง

ที่เราเรียกว่ารัศมีนอก

และเนื่องจากมันเป็นวงแหวน เราต้องลบ

พื้นที่วงกลมในนี้

ลบพายคูณรัศมีในกำลังสอง

เราก็แค่ต้องหา

ว่ารัศมีนอกและรัศมีในคืออะไร

ลองคิดกันดู

รัศมีนอกจะเท่ากับอะไร?

เรามองภาพมันตรงนี้ได้

นี่คือรัศมีนอกของเรา ซึ่ง

เท่ากับอันนั้นตรงนั้นด้วย

นั่นคือระยะระหว่าง y เท่ากับ

4 กับฟังก์ชันที่กำหนดค่าข้างนอก

นี่ก็คือ ความสูงนี่ตรงนี้

จะเท่ากับ 4 ลบ x กำลังสองลบ 2x

ผมแค่หาระยะหรือความสูง
ระหว่างฟังก์ชันสองตัวนี้

รัศมีนอกจึงเท่ากับ 4 ลบค่านี้

ลบ x กำลังสองลบ 2x ซึ่งก็คือ 4

ลบ x กำลังสองบวก 2x

ทีนี้ รัศมีในเป็นเท่าใด?

มันจะเท่ากับอะไร?

มันจะเท่ากับระยะนี้ระหว่าง y

เท่ากับ 4 กับ y เท่ากับ x

มันจึงเท่ากับ 4 ลบ x

ถ้าเราอยากหาพื้นที่ของหน้า

วงแหวนอันหนึ่งสำหรับค่า x ใดๆ 
มันจะเท่ากับ --

เราแยกพายนี้ออกมาได้ -- มัน

จะเท่ากับพายคูณรัศมีนอกกำลังสอง

ซึ่งก็คือทั้งหมดนี้กำลังสอง

มันจึงเท่ากับ 4 ลบ x กำลังสอง 
บวก 2x กำลังสอง

ลบพายคูณรัศมีใน --

ถึงแม้เราจะแยกพายออกมา --

ลบรัศมีในกำลังสอง

ลบ 4 ลบ x กำลังสอง

อันนี้จะให้พื้นที่ผิว

หรือหน้าของวงแหวนหนึ่งอัน

ถ้าเราต้องการปริมาตรของวงแหวนอันหนึ่ง

เราก็แค่ต้องคูณมันด้วยความหนาคือ dx

แล้วถ้าเราหาปริมาตรของทั้งรูปนี้

เราก็แค่ต้องบวกวงแหวนเหล่านี้

สำหรับ x แต่ละตัว

ลองทำกันดู

เราจะบวกวงแหวนสำหรับ

x แต่ละค่าแล้วหาลิมิตเมื่อมันเข้าใกล้ 0

แต่เราต้องดูให้แน่ใจว่าช่วงของเราถูกต้อง

พวกนี้คืออะไร -- เราสนใจเขตทั้งหมด

ระหว่างจุดที่พวกมันตัดกัน

ลองดูให้แน่ใจว่าเราได้ช่วงถูกต้อง

เวลาหาช่วง เราแค่

บอกว่า y เท่ากับ x ตัดกับ y เท่ากับ

x กำลังสองลบ 2x ที่ไหน?

ขอผมใช้อีกสีนะ

เราแค่ต้องคิดว่า

x เท่ากับ x กำลังสองลบ 2x เมื่อไหร่

ฟังก์ชันสองตัวของเราเท่ากันเมื่อไหร่?

ซึ่งเทียบเท่ากับ -- ถ้าเราแค่

ลบ x จากทั้งสองข้าง เราจะได้

x กำลังสองลบ 3x เท่ากับ 0 เมื่อไหร่

เราแยก x ทางขวามือได้

อันนี้จะเป็นค่าที่ x คูณ x ลบ 3 เท่ากับ 0

ถ้าผลคูณเท่ากับ 0 อย่างน้อยหนึ่งในนี้

ต้องเท่ากับ 0

x จึงเท่ากับ 0 ได้ หรือ x ลบ 3 เท่ากับ 0 ได้

x จึงเท่ากับ 0 หรือ x เท่ากับ 3

นี่ก็คือ x เป็น 0 และค่านี่ตรงนี้

คือ x เท่ากับ 3

มันให้ช่วงนี้มา

เราจะไปจาก x เท่ากับ 0

ถึง x เท่ากับ 3 ได้ปริมาตรนี้

ในวิดีโอหน้า เราจะ

หาค่าอินทิกรัลนี้กัน