WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.620


00:00:00.620 --> 00:00:02.780
ตอนนี้ลองมาทำโจทย์ที่น่าสนใจกัน

00:00:02.780 --> 00:00:05.290
ผมมี y เท่ากับ x, และ y เท่ากับ x

00:00:05.290 --> 00:00:07.840
กำลังสองลบ 2x ตรงนี้

00:00:07.840 --> 00:00:09.530
และเราจะหมุนพื้นที่นี้

00:00:09.530 --> 00:00:11.020
ระหว่างฟังก์ชันสองตัว

00:00:11.020 --> 00:00:13.277
นั่นคือพื้นที่นี่ตรงนี้

00:00:13.277 --> 00:00:15.610
และเราจะไม่หมุนรอบแกน x

00:00:15.610 --> 00:00:19.360
แต่เราจะหมุนมันรอบเส้นแนวนอน y เท่ากับ 4

00:00:19.360 --> 00:00:21.454
เราจะหมุนมันรอบเส้นนี้

00:00:21.454 --> 00:00:23.870
ถ้าเราทำอย่างนั้น เราจะได้รูปทรงอย่างนี้

00:00:23.870 --> 00:00:26.550
ผมวาดมันล่วงหน้า ผมจะได้วาดอย่างสวยงาม

00:00:26.550 --> 00:00:30.210
อย่างที่คุณเห็น มันดูเหมือนแจกัน

00:00:30.210 --> 00:00:32.060
ที่มีรูตรงก้น

00:00:32.060 --> 00:00:34.520
และสิ่งที่เราจะทำคือหาปริมาตรโดย

00:00:34.520 --> 00:00:36.395
จะเรียกว่าวิธีแบบวงแหวนก็ได้

00:00:36.395 --> 00:00:37.800
เป็นการประยุกต์วิธีแบบจาน

00:00:37.800 --> 00:00:39.790
ลองสร้างวงแหวนกัน

00:00:39.790 --> 00:00:42.350
ลองดูที่ค่า x ค่าหนึ่ง

00:00:42.350 --> 00:00:45.520
สมมุติว่า x ตรงนี้

00:00:45.520 --> 00:00:47.750
สมมุติว่าเราอยู่ที่ x ตรงนี้

00:00:47.750 --> 00:00:48.370
และสิ่งที่เราจะทำคือเราจะ

00:00:48.370 --> 00:00:50.160
หมุนเขตนี้

00:00:50.160 --> 00:00:54.090
เราจะให้มันมีความหนา dx

00:00:54.090 --> 00:00:55.010
นั่นคือ dx

00:00:55.010 --> 00:00:57.120
เราจะหมุนอันนี้รอบเส้นตรง y

00:00:57.120 --> 00:00:57.840
เท่ากับ 4

00:00:57.840 --> 00:01:02.580
ถ้าคุณมองภาพมันตรงนี้ คุณจะได้ความหนา

00:01:02.580 --> 00:01:05.472
และเมื่อคุณหมุนมัน รัศมีใน

00:01:05.472 --> 00:01:07.680
จะเป็นรัศมีในของวงแหวน

00:01:07.680 --> 00:01:09.440
มันจะเป็นแบบนั้น

00:01:09.440 --> 00:01:12.210


00:01:12.210 --> 00:01:13.900
แล้วรัศมีนอกของวงแหวนเรา

00:01:13.900 --> 00:01:17.420
จะวนรอบ x กำลังสองลบ 2x

00:01:17.420 --> 00:01:21.780
มันจะเป็นแบบ --

00:01:21.780 --> 00:01:23.703
ผมพยายามวาดให้ดีที่สุดแล้ว -- มัน

00:01:23.703 --> 00:01:25.440
จะเป็นแบบนั้น

00:01:25.440 --> 00:01:27.950


00:01:27.950 --> 00:01:30.810
และแน่นอน วงแหวนของเราจะมีความหนา

00:01:30.810 --> 00:01:32.250
ขอผมวาดความหนานะ

00:01:32.250 --> 00:01:35.950
มันจะมีความหนา dx

00:01:35.950 --> 00:01:39.940
ผมพยายามวาดความหนาอย่างดีที่สุดแล้ว

00:01:39.940 --> 00:01:42.970
นี่คือความหนาของวงแหวน

00:01:42.970 --> 00:01:45.440
แล้วเพื่อให้หน้าของวงแหวน

00:01:45.440 --> 00:01:47.230
ชัดขึ้น ผมจะวาดด้วยสีเขียวนะ

00:01:47.230 --> 00:01:49.440
หน้าของวงแหวนจะ

00:01:49.440 --> 00:01:52.310
เป็นทั้งหมดนี้

00:01:52.310 --> 00:01:57.060
ทั้งหมดนี้จะเป็นหน้าของวงแหวน

00:01:57.060 --> 00:01:59.350
ถ้าเราหาปริมาตรของ

00:01:59.350 --> 00:02:01.210
วงแหวนหนึ่งวงสำหรับ x ใดๆ เราจะ

00:02:01.210 --> 00:02:03.240
ต้องบวกวงแหวนสำหรับค่า x

00:02:03.240 --> 00:02:05.919
ทั้งหมดในช่วงของเรานี้

00:02:05.919 --> 00:02:07.710
ลองดูว่าเราตั้งอินทิกรัล

00:02:07.710 --> 00:02:09.990
บางทีในวิดีโอหน้า เราจะ

00:02:09.990 --> 00:02:13.820
ทำต่อและหาค่าอินทิกรัลนี้

00:02:13.820 --> 00:02:15.964
ลองคิดถึงปริมาตรของวงแหวนกัน

00:02:15.964 --> 00:02:17.630
เวลาคิดถึงปริมาตรของวงแหวน

00:02:17.630 --> 00:02:19.580
เราก็แค่ต้องคิดถึงพื้นที่

00:02:19.580 --> 00:02:21.510
ของหน้าวงแหวน

00:02:21.510 --> 00:02:26.510
พื้นที่ของหน้า -- ใส่หน้า 
ในเครื่องหมายคำพูด --

00:02:26.510 --> 00:02:28.380
มันจะเท่ากับอะไร?

00:02:28.380 --> 00:02:30.670
มันจะเท่ากับพื้นที่ของวงแหวน --

00:02:30.670 --> 00:02:32.880
ถ้าไม่ใช่วงแหวน ถ้ามันเป็นแค่เหรียญ --

00:02:32.880 --> 00:02:35.441
แล้วลบพื้นที่ของส่วน

00:02:35.441 --> 00:02:36.440
ที่คุณตัดออก

00:02:36.440 --> 00:02:38.890
พื้นที่ของวงแหวนถ้าผมไม่ได้

00:02:38.890 --> 00:02:40.750
มีรูตรงกลาง จะเท่ากับ

00:02:40.750 --> 00:02:44.285
พายคูณรัศมีนอกกำลังสอง

00:02:44.285 --> 00:02:48.150


00:02:48.150 --> 00:02:51.090
มันจะเป็นพายคูณรัศมีนี้กำลังสอง

00:02:51.090 --> 00:02:52.950
ที่เราเรียกว่ารัศมีนอก

00:02:52.950 --> 00:02:55.320
และเนื่องจากมันเป็นวงแหวน เราต้องลบ

00:02:55.320 --> 00:02:57.030
พื้นที่วงกลมในนี้

00:02:57.030 --> 00:03:05.500
ลบพายคูณรัศมีในกำลังสอง

00:03:05.500 --> 00:03:07.000
เราก็แค่ต้องหา

00:03:07.000 --> 00:03:11.160
ว่ารัศมีนอกและรัศมีในคืออะไร

00:03:11.160 --> 00:03:12.710
ลองคิดกันดู

00:03:12.710 --> 00:03:19.971
รัศมีนอกจะเท่ากับอะไร?

00:03:19.971 --> 00:03:21.470
เรามองภาพมันตรงนี้ได้

00:03:21.470 --> 00:03:23.610
นี่คือรัศมีนอกของเรา ซึ่ง

00:03:23.610 --> 00:03:27.770
เท่ากับอันนั้นตรงนั้นด้วย

00:03:27.770 --> 00:03:29.720
นั่นคือระยะระหว่าง y เท่ากับ

00:03:29.720 --> 00:03:32.440
4 กับฟังก์ชันที่กำหนดค่าข้างนอก

00:03:32.440 --> 00:03:38.250


00:03:38.250 --> 00:03:40.520
นี่ก็คือ ความสูงนี่ตรงนี้

00:03:40.520 --> 00:03:45.280
จะเท่ากับ 4 ลบ x กำลังสองลบ 2x

00:03:45.280 --> 00:03:48.000
ผมแค่หาระยะหรือความสูง
ระหว่างฟังก์ชันสองตัวนี้

00:03:48.000 --> 00:03:48.900


00:03:48.900 --> 00:03:52.140
รัศมีนอกจึงเท่ากับ 4 ลบค่านี้

00:03:52.140 --> 00:03:55.100
ลบ x กำลังสองลบ 2x ซึ่งก็คือ 4

00:03:55.100 --> 00:03:58.520
ลบ x กำลังสองบวก 2x

00:03:58.520 --> 00:03:59.850
ทีนี้ รัศมีในเป็นเท่าใด?

00:03:59.850 --> 00:04:05.080


00:04:05.080 --> 00:04:06.830
มันจะเท่ากับอะไร?

00:04:06.830 --> 00:04:11.550
มันจะเท่ากับระยะนี้ระหว่าง y

00:04:11.550 --> 00:04:13.480
เท่ากับ 4 กับ y เท่ากับ x

00:04:13.480 --> 00:04:15.265
มันจึงเท่ากับ 4 ลบ x

00:04:15.265 --> 00:04:19.079


00:04:19.079 --> 00:04:22.810
ถ้าเราอยากหาพื้นที่ของหน้า

00:04:22.810 --> 00:04:27.090
วงแหวนอันหนึ่งสำหรับค่า x ใดๆ 
มันจะเท่ากับ --

00:04:27.090 --> 00:04:30.290
เราแยกพายนี้ออกมาได้ -- มัน

00:04:30.290 --> 00:04:34.680
จะเท่ากับพายคูณรัศมีนอกกำลังสอง

00:04:34.680 --> 00:04:36.540
ซึ่งก็คือทั้งหมดนี้กำลังสอง

00:04:36.540 --> 00:04:41.830
มันจึงเท่ากับ 4 ลบ x กำลังสอง 
บวก 2x กำลังสอง

00:04:41.830 --> 00:04:43.280
ลบพายคูณรัศมีใน --

00:04:43.280 --> 00:04:44.780
ถึงแม้เราจะแยกพายออกมา --

00:04:44.780 --> 00:04:46.810
ลบรัศมีในกำลังสอง

00:04:46.810 --> 00:04:51.800
ลบ 4 ลบ x กำลังสอง

00:04:51.800 --> 00:04:57.650
อันนี้จะให้พื้นที่ผิว

00:04:57.650 --> 00:04:59.280
หรือหน้าของวงแหวนหนึ่งอัน

00:04:59.280 --> 00:05:01.700
ถ้าเราต้องการปริมาตรของวงแหวนอันหนึ่ง

00:05:01.700 --> 00:05:05.040
เราก็แค่ต้องคูณมันด้วยความหนาคือ dx

00:05:05.040 --> 00:05:08.010


00:05:08.010 --> 00:05:10.800
แล้วถ้าเราหาปริมาตรของทั้งรูปนี้

00:05:10.800 --> 00:05:14.250
เราก็แค่ต้องบวกวงแหวนเหล่านี้

00:05:14.250 --> 00:05:15.950
สำหรับ x แต่ละตัว

00:05:15.950 --> 00:05:16.830
ลองทำกันดู

00:05:16.830 --> 00:05:19.050
เราจะบวกวงแหวนสำหรับ

00:05:19.050 --> 00:05:21.300
x แต่ละค่าแล้วหาลิมิตเมื่อมันเข้าใกล้ 0

00:05:21.300 --> 00:05:23.490
แต่เราต้องดูให้แน่ใจว่าช่วงของเราถูกต้อง

00:05:23.490 --> 00:05:26.260
พวกนี้คืออะไร -- เราสนใจเขตทั้งหมด

00:05:26.260 --> 00:05:28.840
ระหว่างจุดที่พวกมันตัดกัน

00:05:28.840 --> 00:05:30.620
ลองดูให้แน่ใจว่าเราได้ช่วงถูกต้อง

00:05:30.620 --> 00:05:32.203
เวลาหาช่วง เราแค่

00:05:32.203 --> 00:05:36.070
บอกว่า y เท่ากับ x ตัดกับ y เท่ากับ

00:05:36.070 --> 00:05:37.350
x กำลังสองลบ 2x ที่ไหน?

00:05:37.350 --> 00:05:39.990


00:05:39.990 --> 00:05:41.630
ขอผมใช้อีกสีนะ

00:05:41.630 --> 00:05:44.150
เราแค่ต้องคิดว่า

00:05:44.150 --> 00:05:46.245
x เท่ากับ x กำลังสองลบ 2x เมื่อไหร่

00:05:46.245 --> 00:05:49.370


00:05:49.370 --> 00:05:51.420
ฟังก์ชันสองตัวของเราเท่ากันเมื่อไหร่?

00:05:51.420 --> 00:05:53.030
ซึ่งเทียบเท่ากับ -- ถ้าเราแค่

00:05:53.030 --> 00:05:58.800
ลบ x จากทั้งสองข้าง เราจะได้

00:05:58.800 --> 00:06:02.190
x กำลังสองลบ 3x เท่ากับ 0 เมื่อไหร่

00:06:02.190 --> 00:06:05.260
เราแยก x ทางขวามือได้

00:06:05.260 --> 00:06:09.530
อันนี้จะเป็นค่าที่ x คูณ x ลบ 3 เท่ากับ 0

00:06:09.530 --> 00:06:12.310
ถ้าผลคูณเท่ากับ 0 อย่างน้อยหนึ่งในนี้

00:06:12.310 --> 00:06:13.350
ต้องเท่ากับ 0

00:06:13.350 --> 00:06:18.380
x จึงเท่ากับ 0 ได้ หรือ x ลบ 3 เท่ากับ 0 ได้

00:06:18.380 --> 00:06:21.280
x จึงเท่ากับ 0 หรือ x เท่ากับ 3

00:06:21.280 --> 00:06:24.010
นี่ก็คือ x เป็น 0 และค่านี่ตรงนี้

00:06:24.010 --> 00:06:25.850
คือ x เท่ากับ 3

00:06:25.850 --> 00:06:27.100
มันให้ช่วงนี้มา

00:06:27.100 --> 00:06:29.120
เราจะไปจาก x เท่ากับ 0

00:06:29.120 --> 00:06:32.850
ถึง x เท่ากับ 3 ได้ปริมาตรนี้

00:06:32.850 --> 00:06:35.000
ในวิดีโอหน้า เราจะ

00:06:35.000 --> 00:06:37.320
หาค่าอินทิกรัลนี้กัน