Bây giờ, hãy làm một bài toán thú vị.
Mình có y = x,
và y = x bình trừ 2x ở ngay đây.
Và mình sẽ xoay phần
nằm giữa 2 hàm số.
Là phần này đây.
Mình sẽ không xoay quanh trục hoành,
mà mình sẽ xoay nó quanh đường ngang của y = 4.
Mình đang xoay nó quanh đây.
Nếu ta làm như vậy, ta sẽ có 1 hình dạng như thế này.
Mình đã vẽ nó ngay đây rồi.
Và bạn thấy đó, nó nhìn giống như cái lọ
với 1 cái lỗ ở dưới.
Ta sẽ giải nó bằng cách sử dụng
phương pháp mặt cắt.
Nó là một dạng khác của phương pháp đĩa.
Hãy vẽ mặt cắt nhé.
Hãy cho một giá trị x.
Mình có x ngay đây.
0:00:47.750,0:00:48.760 Và điều Mình sẽ làm là
xoay phần này.
Mình sẽ cho nó chiều cao, dx.
Đó là dx.
Mình sẽ xoay nó quanh đường thẳng
y = 4.
Nếu bạn hình dung 1 chút, bạn sẽ có chiều cao.
Và khi bạn xoay nó, bán kính trong
sẽ nhìn giống như bán kính trong của mặt cắt.
Nó sẽ trông như thế này.
Và bán kính ngoài của mặt cắt
sẽ được định hình quanh x bình trừ 2 x.
Vậy, nó sẽ trông như thế này.
Mình sẽ cố gắng vẽ nó đẹp nhất.
Đây rồi.
như thế này đây
Và đương nhiên, mặt cắt của mình sẽ có chiều cao.
Mình sẽ vẽ nó.
Chiều cao, dx
Mình đang cố gắng hết sức để vẽ chiều cao
của mặt cắt.
Để bề mặt của mặt cắt rõ hơn một chút,
mình sẽ vẽ nó bằng màu xanh lá.
Vậy, bề mặt của mặt cắt sẽ là
tất cả những phần này.
Nó sẽ là bề mặt của mặt cắt.
Vậy, nếu ta có thể tìm thể tích của một
trong những mặt cắt với giá trị x cho sẵn, ta chỉ cần
cộng hết chúng
cho mọi x trong khoảng ta có.
Hãy cùng thử viết tích phân nhé,
trong video kế tiếp, ta sẽ
giải tiếp và sau đó xét đến tích phân nhé.
Hãy nghĩ về thể tích của mặt cắt.
Để nghĩ về nó,
ta chỉ cần nghĩ về diện tích
bề mặt của mặt cắt.
Vậy diện tích "bề mặt", đặt "bề mặt" trong dấu ngoặc,
sẽ bằng gì?
Nó sẽ là diện tích của mặt cắt--
hoặc bạn có thể nghĩ nó là đồng xu --
và trừ đi phần diện tích mà bạn
đang cắt ra.
Vậy, diện tích của mặt cắt nếu nó không có
lỗ ở giữa sẽ bằng
pi nhân bình phương bán kính ngoài.
Nó sẽ chỉ là pi nhân bán kính bình phương,
mà mình gọi nó là bán kính ngoài.
Bởi vì nó là mặt cắt, mình cần trừ đi
diện tích của hình tròn bên trong.
Vậy trừ pi nhân bình phương bán kính trong.
Mình chỉ cần tìm ra
bán kính ngoài và bán kính trong là gì, hay mình gọi nó là các bán kính.
Hãy nghĩ về nó.
Vậy, bán kính ngoài sẽ bằng gì?
Mình có thể hình dung một chút.
Đây là bán kính ngoài, nó sẽ bằng
với cái này ngay đây.
Vậy nó là khoảng cách giữa y = 4
và hàm số xác định phần bên ngoài.
Một lần nữa, khoảng cách giữa y = 4
và hàm số xác định tại bên ngoài.
Cái này rất quan trọng, chiều cao ngay đây,
sẽ bằng 4 trừ x bình trừ 2x.
Mình chỉ đang tìm khoảng cách hoặc là chiều cao giữa 2 hàm số.
Vậy, bán kính ngoài sẽ bằng 4 trừ cái này,
trừ x bình trừ 2x, là bằng
4 trừ x bình cộng 2x.
Bây giờ, bán kính trong thì sao?
bán kính trong
Nó sẽ bằng gì?
Nó sẽ chỉ là khoảng cách giữa y = 4
và y = x.
Nó sẽ chỉ là 4 trừ x.
4 trừ x
Vậy, nếu ta muốn tìm diện tích bề mặt của một
trong các mặt cắt của 1 giá trị x cho sẵn, nó sẽ là,
và ta có thể lấy pi ra làm nhân tử chung,
nó sẽ bằng pi nhân bình phương bán kính ngoài,
nghĩa là bằng tất cả những cái này bình phương.
Vậy, nó sẽ bằng 4 trừ x bình cộng 2x, tất cả bình
trừ pi nhân bán kính trong,
mặc dù ta đã rút pi ra, nên
trừ bình phương bán kính trong.
Vậy, trừ 4 trừ x, tất cả bình.
Do đó, cái này sẽ cho mình diện tích bề mặt
của một trong các mặt cắt.
Nếu mình muốn tìm thể tích của nó,
mình chỉ cần nhân với chiều cao, dx.
nhân dx
Và nếu mình thật sự muốn tìm thể tích của toàn bộ
hình khối, mình chỉ cần cộng tất cả mặt cắt
cho từng giá trị x.
Hãy làm nó nhé.
Vậy, mình sẽ cộng tất cả mặt cắt cho từng
x và lấy giới hạn khi chúng tiến tới 0.
Nhưng mình phải chắc chắn rằng khoảng của mình chính xác.
Vậy điều mình quan tâm là toàn bộ vùng
giữa các điểm mà chúng giao nhau là gì?
Hãy chắc chắn là mình tìm được khoảng này nhé!
Vậy, để tìm ra khoảng, mình cần biết
khi nào y = x giao với y =
x bình trừ 2x?
Để mình làm bằng màu khác.
Mình chỉ cần tìm khi nào thì
x = x bình trừ 2x.
Khi nào thì 2 hàm số bằng nhau?
Cái này sẽ tương đương với , nếu mình
trừ x cả 2 vế, mình có
x bình trừ 3x = 0.
Mình có thể lấy x ra làm nhân tử chung ở bên phải.
Nó sẽ bằng với x nhân x trừ 3 = 0.
Tích của nó bằng 0, nghĩa là ít nhất 1 trong 2 cái này
phải bằng 0.
Vậy x có thể bằng 0, hoặc x trừ 3 bằng 0.
Suy ra, x bằng 0 hoặc x bằng 3.
Vậy đây là x = 0, và bên đây
là x = 3.
Vậy, mình đã tìm ra khoảng.
Mình sẽ đi từ x = 0
đến x = 3 để tìm thể tích.
Trong video kế tiếp, mình sẽ
xét tích phân này nhé.