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00:00:00,000 --> 00:00:04,946
RKA3JV - Vamos examinar, neste vídeo, 
o teste da segunda derivada.

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00:00:04,946 --> 00:00:07,920
Quando derivamos uma função 
e igualamos a zero,

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00:00:07,920 --> 00:00:11,270
ela pode estar em um ponto 
de máximo neste ponto,

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00:00:11,270 --> 00:00:15,319
ela pode estar em um ponto 
de mínimo neste ponto

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00:00:15,319 --> 00:00:17,530
ou ela pode ser inconclusiva.

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00:00:17,530 --> 00:00:20,309
Vamos analisar através de um gráfico.

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00:00:20,309 --> 00:00:23,459
Aqui nós temos o eixo das ordenadas "y".

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00:00:23,459 --> 00:00:27,660
Aqui nós temos o eixo das abcissas "x".

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00:00:27,660 --> 00:00:30,020
E vamos pegar um ponto qualquer,

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00:00:30,020 --> 00:00:31,590
um ponto "C" qualquer.

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00:00:31,590 --> 00:00:36,330
Vamos traçar uma curva 
que tenha o ponto máximo

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00:00:36,330 --> 00:00:39,109
neste ponto que eu estou chamando de "C"

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00:00:39,109 --> 00:00:42,870
e outra curva que tenha o ponto mínimo

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00:00:42,870 --> 00:00:45,507
neste ponto, que estou chamando de "C".

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00:00:45,507 --> 00:00:49,910
Portanto, vamos colocar este ponto aqui

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00:00:49,910 --> 00:00:52,429
exatamente neste local

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00:00:52,429 --> 00:00:55,072
e este ponto aqui neste local.

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00:00:55,072 --> 00:00:59,911
Sabendo que neste ponto 
ele tem um ponto de máximo,

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00:01:00,601 --> 00:01:04,647
a derivada no ponto "C" da função,

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00:01:04,647 --> 00:01:06,022
vai ser zero.

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00:01:06,022 --> 00:01:09,539
Ela vai ter uma inclinação zero,

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00:01:09,539 --> 00:01:12,110
paralelo ao eixo das abcissas.

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00:01:12,110 --> 00:01:18,294
E como é que nós sabemos 
se o ponto é de máximo ou de mínimo?

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00:01:18,294 --> 00:01:21,940
Em primeiro lugar, essa função 
é uma função contínua,

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00:01:21,940 --> 00:01:24,660
já que ela tem uma derivada neste ponto.

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00:01:24,660 --> 00:01:27,639
Ela está crescendo e depois decrescendo.

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00:01:27,639 --> 00:01:33,270
Uma maneira de nós verificarmos sem 
uma matemática muito rebuscada

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00:01:33,270 --> 00:01:37,180
é tirarmos a segunda derivada 
da função no ponto "C".

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00:01:37,180 --> 00:01:41,130
E verificamos se ela é maior, 
menor ou igual a zero.

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00:01:41,130 --> 00:01:43,610
Se ela for menor do que zero,

31
00:01:43,610 --> 00:01:48,860
significa que a concavidade 
é voltada para baixo.

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00:01:50,040 --> 00:01:52,350
Se a concavidade é voltada para baixo,

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00:01:52,350 --> 00:01:55,560
este ponto é um ponto de máximo.

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00:01:55,560 --> 00:01:57,578
Neste outro ponto aqui

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00:01:57,578 --> 00:02:00,896
verificamos que a derivada no ponto "C"

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00:02:00,896 --> 00:02:02,658
também vai ser igual a zero,

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00:02:02,658 --> 00:02:07,437
ela vai ter uma inclinação 
paralela ao eixo das abcissas,

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00:02:07,437 --> 00:02:09,020
tangente à curva.

39
00:02:09,020 --> 00:02:11,933
Ela está decrescendo

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00:02:11,933 --> 00:02:14,160
e depois começa a crescer.

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00:02:14,160 --> 00:02:15,800
Aqui, é um ponto de mínimo.

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00:02:15,800 --> 00:02:18,090
Como é que podemos saber isso?

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00:02:18,090 --> 00:02:20,040
Pela segunda derivada.

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00:02:20,040 --> 00:02:26,429
Se a segunda derivada da função 
no ponto "C" for maior do que zero,

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00:02:26,429 --> 00:02:28,769
significa que esta concavidade

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00:02:28,769 --> 00:02:30,467
é voltada para cima

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00:02:30,467 --> 00:02:32,960
e este ponto é um ponto de mínimo.

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00:02:32,960 --> 00:02:36,560
Se a segunda derivada for igual a zero,

49
00:02:36,560 --> 00:02:39,026
ela é inconclusiva,

50
00:02:39,026 --> 00:02:42,447
significa que não podemos saber 
se é um ponto de máximo,

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00:02:42,447 --> 00:02:45,239
de mínimo ou até se ele não existe.

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00:02:45,239 --> 00:02:48,059
Vamos colocar um exemplo para verificar

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00:02:48,059 --> 00:02:49,910
o entendimento deste conceito.

54
00:02:49,910 --> 00:02:52,974
Vamos supor que uma determinada função "h"

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00:02:52,974 --> 00:02:56,300
no ponto 8 vale a 5.

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00:02:56,300 --> 00:03:01,920
Ou seja, ela tem as coordenadas 
"x = 8" e "y = 5".

57
00:03:01,920 --> 00:03:07,339
Vamos supor que a primeira derivada 
dela no ponto 8 seja igual a zero,

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00:03:07,339 --> 00:03:13,787
e a segunda derivada no ponto 8 
seja igual -4.

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00:03:13,787 --> 00:03:18,910
O que queremos saber é 
se este ponto é de máximo,

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00:03:18,910 --> 00:03:21,630
este ponto é de mínimo

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00:03:21,630 --> 00:03:25,820
ou ele é inconclusivo.

62
00:03:25,820 --> 00:03:30,009
Verificamos que temos 
a primeira derivada igual a zero.

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00:03:30,009 --> 00:03:34,173
Portanto, ela tem a inclinação zero.

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00:03:34,173 --> 00:03:37,100
Ou seja, se ela tiver um ponto de máximo

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00:03:37,100 --> 00:03:40,010
ou de mínimo será neste ponto,

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00:03:40,010 --> 00:03:43,331
e ela será uma função contínua 
neste ponto.

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00:03:43,331 --> 00:03:46,229
Mas, pelo último dado, verificamos

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00:03:46,229 --> 00:03:51,179
que a segunda derivada no ponto 8 
é menor do que zero.

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00:03:51,179 --> 00:03:55,852
Se ela é menor do que zero, 
nós estamos neste caso.

70
00:03:55,852 --> 00:03:58,630
Ou seja, a concavidade é para baixo

71
00:03:58,630 --> 00:04:01,730
e este valor é de máximo.