0:00:00.000,0:00:04.849
RKA 3 - Vamos examinar neste vídeo o teste da segunda derivada.

0:00:04.849,0:00:06.210
Quando derivamos uma função e

0:00:06.210,0:00:07.980
igualamos a zero,

0:00:07.980,0:00:10.590
ela pode estar em um ponto de máximo neste ponto,

0:00:10.590,0:00:14.370
ela pode estar em um ponto de mínimo neste ponto

0:00:14.370,0:00:17.580
ou ela pode ser inconclusiva.

0:00:17.580,0:00:20.369
Vamos analisar através de um gráfico.

0:00:20.369,0:00:22.619
Aqui nós temos o eixo 10 ordenadas "y".

0:00:22.619,0:00:25.800
Aqui nós temos o eixo 10 abcissas 'x".

0:00:25.800,0:00:29.160
E vamos pegar um ponto qualquer,

0:00:29.160,0:00:31.890
um ponto "C" qualquer.

0:00:31.890,0:00:35.370
Vamos traçar uma curva que tenha o ponto

0:00:35.370,0:00:38.250
máximo neste ponto que eu estou chamando de "C"

0:00:38.250,0:00:41.910
e outra curva que tenha um ponto

0:00:41.910,0:00:44.940
mínimo neste ponto que estou chamando de "C".

0:00:44.940,0:00:48.870
Portanto, vamos colocar este ponto

0:00:48.870,0:00:52.949
aqui exatamente neste local e

0:00:52.949,0:00:56.670
este ponto aqui neste local.[br]Sabendo que neste

0:00:56.670,0:00:59.910
ponto ele tem um ponto de máximo,

0:00:59.910,0:01:04.470
a derivada no ponto "C" da função,

0:01:04.470,0:01:09.409
vai ser zero.[br]Ela vai ter uma inclinação zero,

0:01:09.409,0:01:12.510
paralelo ao eixo das abcissas.

0:01:12.510,0:01:18.361
E como é que nós sabemos se o ponto é de máximo ou de mínimo?

0:01:18.361,0:01:19.920
Em primeiro lugar, essa função é

0:01:19.920,0:01:22.710
uma função contínua,[br]já que ela tem uma

0:01:22.710,0:01:25.619
derivada neste ponto.[br]Ela está crescendo e

0:01:25.619,0:01:28.619
depois decrescendo.[br]Uma maneira de nós

0:01:28.619,0:01:32.030
verificarmos sem uma matemática muito rebuscada

0:01:32.030,0:01:35.430
é tirarmos a segunda derivada

0:01:35.430,0:01:38.460
da função no ponto "C".[br]E verificamos se

0:01:38.460,0:01:41.130
ela é maior, menor ou igual a zero.

0:01:41.130,0:01:44.490
Se ela for menor do que zero,

0:01:44.490,0:01:48.860
significa que a concavidade é voltada para baixo.

0:01:48.860,0:01:51.630
Se a concavidade é voltada para baixo,

0:01:51.630,0:01:55.439
este ponto é um ponto de máximo.

0:01:55.439,0:01:59.250
Neste outro ponto aqui verificamos que a

0:01:59.250,0:02:01.770
derivada no ponto "C" também vai ser

0:02:01.770,0:02:04.820
igual a zero, ela vai ter uma inclinação

0:02:04.820,0:02:08.160
paralela ao eixo das abcissas,

0:02:08.160,0:02:12.060
tangente à curva.[br]Ela está decrescendo e

0:02:12.060,0:02:14.310
depois começa a crescer.

0:02:14.310,0:02:15.910
Aqui, é um ponto de mínimo.

0:02:15.910,0:02:18.090
Como é que podemos saber isso?

0:02:18.090,0:02:20.670
Pela segunda derivada.

0:02:20.670,0:02:25.349
Se a segunda derivada da função no ponto "C" for maior

0:02:25.349,0:02:27.620
do que zero, significa que esta

0:02:27.620,0:02:31.019
concavidade é voltada para cima e este

0:02:31.019,0:02:33.810
ponto é um ponto de mínimo.

0:02:33.810,0:02:37.849
Se a segunda derivada for igual a zero ela é

0:02:37.849,0:02:40.680
inconclusiva, significa que não podemos

0:02:40.680,0:02:43.170
saber se é um ponto de máximo, de mínimo

0:02:43.170,0:02:45.239
ou até se ele não existe.

0:02:45.239,0:02:47.819
Vamos colocar um exemplo para verificar

0:02:47.819,0:02:49.980
o entendimento deste conceito.

0:02:49.980,0:02:52.739
Vamos supor que uma determinada função "h"

0:02:52.739,0:02:57.930
no ponto 8 vale a 5.[br]Ou seja, ela tem as

0:02:57.930,0:03:01.530
coordenadas x = 8 e y = 5.

0:03:01.530,0:03:04.890
Vamos supor que a primeira derivada

0:03:04.890,0:03:08.459
dela no ponto 8 seja igual a zero,

0:03:08.459,0:03:13.787
e a segunda derivada no ponto 8 seja igual -4.

0:03:13.787,0:03:16.530
O que queremos saber é se este

0:03:16.530,0:03:21.420
ponto é de máximo, este ponto é de mínimo

0:03:21.420,0:03:25.920
ou ele é inconclusivo.

0:03:25.920,0:03:28.709
Verificamos que temos a primeira

0:03:28.709,0:03:34.173
derivada igual a zero.[br]Portanto, ela tem a inclinação zero.

0:03:34.173,0:03:35.940
Ou seja, se ela tiver um

0:03:35.940,0:03:39.540
ponto de máximo ou de mínimo será neste ponto e

0:03:39.540,0:03:43.431
e ela será a função contínua neste ponto.

0:03:43.431,0:03:45.930
Mas, pelo último dado, verificamos que a

0:03:45.930,0:03:49.410
segunda derivada no ponto 8 é

0:03:49.410,0:03:51.269
menor do que zero.

0:03:51.269,0:03:55.630
Se ela é menor do que zero, nós estamos neste caso.

0:03:55.630,0:03:57.900
Ou seja, a concavidade é para

0:03:57.900,0:04:03.440
baixo e este valor é de máximo.