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00:00:00,000 --> 00:00:04,849
RKA 3 - Vamos examinar neste vídeo o teste da segunda derivada.

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00:00:04,849 --> 00:00:06,210
Quando derivamos uma função e

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00:00:06,210 --> 00:00:07,980
igualamos a zero,

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00:00:07,980 --> 00:00:10,590
ela pode estar em um ponto de máximo neste ponto,

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00:00:10,590 --> 00:00:14,370
ela pode estar em um ponto de mínimo neste ponto

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00:00:14,370 --> 00:00:17,580
ou ela pode ser inconclusiva.

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00:00:17,580 --> 00:00:20,369
Vamos analisar através de um gráfico.

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00:00:20,369 --> 00:00:22,619
Aqui nós temos o eixo 10 ordenadas "y".

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00:00:22,619 --> 00:00:25,800
Aqui nós temos o eixo 10 abcissas 'x".

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00:00:25,800 --> 00:00:29,160
E vamos pegar um ponto qualquer,

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00:00:29,160 --> 00:00:31,890
um ponto "C" qualquer.

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00:00:31,890 --> 00:00:35,370
Vamos traçar uma curva que tenha o ponto

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00:00:35,370 --> 00:00:38,250
máximo neste ponto que eu estou chamando de "C"

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00:00:38,250 --> 00:00:41,910
e outra curva que tenha um ponto

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00:00:41,910 --> 00:00:44,940
mínimo neste ponto que estou chamando de "C".

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00:00:44,940 --> 00:00:48,870
Portanto, vamos colocar este ponto

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00:00:48,870 --> 00:00:52,949
aqui exatamente neste local e

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00:00:52,949 --> 00:00:56,670
este ponto aqui neste local.
Sabendo que neste

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00:00:56,670 --> 00:00:59,910
ponto ele tem um ponto de máximo,

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00:00:59,910 --> 00:01:04,470
a derivada no ponto "C" da função,

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00:01:04,470 --> 00:01:09,409
vai ser zero.
Ela vai ter uma inclinação zero,

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00:01:09,409 --> 00:01:12,510
paralelo ao eixo das abcissas.

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00:01:12,510 --> 00:01:18,361
E como é que nós sabemos se o ponto é de máximo ou de mínimo?

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00:01:18,361 --> 00:01:19,920
Em primeiro lugar, essa função é

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00:01:19,920 --> 00:01:22,710
uma função contínua,
já que ela tem uma

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00:01:22,710 --> 00:01:25,619
derivada neste ponto.
Ela está crescendo e

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00:01:25,619 --> 00:01:28,619
depois decrescendo.
Uma maneira de nós

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00:01:28,619 --> 00:01:32,030
verificarmos sem uma matemática muito rebuscada

29
00:01:32,030 --> 00:01:35,430
é tirarmos a segunda derivada

30
00:01:35,430 --> 00:01:38,460
da função no ponto "C".
E verificamos se

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00:01:38,460 --> 00:01:41,130
ela é maior, menor ou igual a zero.

32
00:01:41,130 --> 00:01:44,490
Se ela for menor do que zero,

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00:01:44,490 --> 00:01:48,860
significa que a concavidade é voltada para baixo.

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00:01:48,860 --> 00:01:51,630
Se a concavidade é voltada para baixo,

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00:01:51,630 --> 00:01:55,439
este ponto é um ponto de máximo.

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00:01:55,439 --> 00:01:59,250
Neste outro ponto aqui verificamos que a

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00:01:59,250 --> 00:02:01,770
derivada no ponto "C" também vai ser

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00:02:01,770 --> 00:02:04,820
igual a zero, ela vai ter uma inclinação

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00:02:04,820 --> 00:02:08,160
paralela ao eixo das abcissas,

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00:02:08,160 --> 00:02:12,060
tangente à curva.
Ela está decrescendo e

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00:02:12,060 --> 00:02:14,310
depois começa a crescer.

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00:02:14,310 --> 00:02:15,910
Aqui, é um ponto de mínimo.

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00:02:15,910 --> 00:02:18,090
Como é que podemos saber isso?

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00:02:18,090 --> 00:02:20,670
Pela segunda derivada.

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00:02:20,670 --> 00:02:25,349
Se a segunda derivada da função no ponto "C" for maior

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00:02:25,349 --> 00:02:27,620
do que zero, significa que esta

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00:02:27,620 --> 00:02:31,019
concavidade é voltada para cima e este

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00:02:31,019 --> 00:02:33,810
ponto é um ponto de mínimo.

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00:02:33,810 --> 00:02:37,849
Se a segunda derivada for igual a zero ela é

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00:02:37,849 --> 00:02:40,680
inconclusiva, significa que não podemos

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00:02:40,680 --> 00:02:43,170
saber se é um ponto de máximo, de mínimo

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00:02:43,170 --> 00:02:45,239
ou até se ele não existe.

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00:02:45,239 --> 00:02:47,819
Vamos colocar um exemplo para verificar

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00:02:47,819 --> 00:02:49,980
o entendimento deste conceito.

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00:02:49,980 --> 00:02:52,739
Vamos supor que uma determinada função "h"

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00:02:52,739 --> 00:02:57,930
no ponto 8 vale a 5.
Ou seja, ela tem as

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00:02:57,930 --> 00:03:01,530
coordenadas x = 8 e y = 5.

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00:03:01,530 --> 00:03:04,890
Vamos supor que a primeira derivada

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00:03:04,890 --> 00:03:08,459
dela no ponto 8 seja igual a zero,

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00:03:08,459 --> 00:03:13,787
e a segunda derivada no ponto 8 seja igual -4.

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00:03:13,787 --> 00:03:16,530
O que queremos saber é se este

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00:03:16,530 --> 00:03:21,420
ponto é de máximo, este ponto é de mínimo

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00:03:21,420 --> 00:03:25,920
ou ele é inconclusivo.

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00:03:25,920 --> 00:03:28,709
Verificamos que temos a primeira

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00:03:28,709 --> 00:03:34,173
derivada igual a zero.
Portanto, ela tem a inclinação zero.

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00:03:34,173 --> 00:03:35,940
Ou seja, se ela tiver um

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00:03:35,940 --> 00:03:39,540
ponto de máximo ou de mínimo será neste ponto e

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00:03:39,540 --> 00:03:43,431
e ela será a função contínua neste ponto.

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00:03:43,431 --> 00:03:45,930
Mas, pelo último dado, verificamos que a

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00:03:45,930 --> 00:03:49,410
segunda derivada no ponto 8 é

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00:03:49,410 --> 00:03:51,269
menor do que zero.

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00:03:51,269 --> 00:03:55,630
Se ela é menor do que zero, nós estamos neste caso.

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00:03:55,630 --> 00:03:57,900
Ou seja, a concavidade é para

74
00:03:57,900 --> 00:04:03,440
baixo e este valor é de máximo.