RKA 3 - Vamos examinar neste vídeo o teste da segunda derivada.
Quando derivamos uma função e
igualamos a zero,
ela pode estar em um ponto de máximo neste ponto,
ela pode estar em um ponto de mínimo neste ponto
ou ela pode ser inconclusiva.
Vamos analisar através de um gráfico.
Aqui nós temos o eixo 10 ordenadas "y".
Aqui nós temos o eixo 10 abcissas 'x".
E vamos pegar um ponto qualquer,
um ponto "C" qualquer.
Vamos traçar uma curva que tenha o ponto
máximo neste ponto que eu estou chamando de "C"
e outra curva que tenha um ponto
mínimo neste ponto que estou chamando de "C".
Portanto, vamos colocar este ponto
aqui exatamente neste local e
este ponto aqui neste local. Sabendo que neste
ponto ele tem um ponto de máximo,
a derivada no ponto "C" da função,
vai ser zero. Ela vai ter uma inclinação zero,
paralelo ao eixo das abcissas.
E como é que nós sabemos se o ponto é de máximo ou de mínimo?
Em primeiro lugar, essa função é
uma função contínua, já que ela tem uma
derivada neste ponto. Ela está crescendo e
depois decrescendo. Uma maneira de nós
verificarmos sem uma matemática muito rebuscada
é tirarmos a segunda derivada
da função no ponto "C". E verificamos se
ela é maior, menor ou igual a zero.
Se ela for menor do que zero,
significa que a concavidade é voltada para baixo.
Se a concavidade é voltada para baixo,
este ponto é um ponto de máximo.
Neste outro ponto aqui verificamos que a
derivada no ponto "C" também vai ser
igual a zero, ela vai ter uma inclinação
paralela ao eixo das abcissas,
tangente à curva. Ela está decrescendo e
depois começa a crescer.
Aqui, é um ponto de mínimo.
Como é que podemos saber isso?
Pela segunda derivada.
Se a segunda derivada da função no ponto "C" for maior
do que zero, significa que esta
concavidade é voltada para cima e este
ponto é um ponto de mínimo.
Se a segunda derivada for igual a zero ela é
inconclusiva, significa que não podemos
saber se é um ponto de máximo, de mínimo
ou até se ele não existe.
Vamos colocar um exemplo para verificar
o entendimento deste conceito.
Vamos supor que uma determinada função "h"
no ponto 8 vale a 5. Ou seja, ela tem as
coordenadas x = 8 e y = 5.
Vamos supor que a primeira derivada
dela no ponto 8 seja igual a zero,
e a segunda derivada no ponto 8 seja igual -4.
O que queremos saber é se este
ponto é de máximo, este ponto é de mínimo
ou ele é inconclusivo.
Verificamos que temos a primeira
derivada igual a zero. Portanto, ela tem a inclinação zero.
Ou seja, se ela tiver um
ponto de máximo ou de mínimo será neste ponto e
e ela será a função contínua neste ponto.
Mas, pelo último dado, verificamos que a
segunda derivada no ponto 8 é
menor do que zero.
Se ela é menor do que zero, nós estamos neste caso.
Ou seja, a concavidade é para
baixo e este valor é de máximo.