WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:04.849
RKA 3 - Vamos examinar neste vídeo o teste da segunda derivada.

00:00:04.849 --> 00:00:06.210
Quando derivamos uma função e

00:00:06.210 --> 00:00:07.980
igualamos a zero,

00:00:07.980 --> 00:00:10.590
ela pode estar em um ponto de máximo neste ponto,

00:00:10.590 --> 00:00:14.370
ela pode estar em um ponto de mínimo neste ponto

00:00:14.370 --> 00:00:17.580
ou ela pode ser inconclusiva.

00:00:17.580 --> 00:00:20.369
Vamos analisar através de um gráfico.

00:00:20.369 --> 00:00:22.619
Aqui nós temos o eixo 10 ordenadas "y".

00:00:22.619 --> 00:00:25.800
Aqui nós temos o eixo 10 abcissas 'x".

00:00:25.800 --> 00:00:29.160
E vamos pegar um ponto qualquer,

00:00:29.160 --> 00:00:31.890
um ponto "C" qualquer.

00:00:31.890 --> 00:00:35.370
Vamos traçar uma curva que tenha o ponto

00:00:35.370 --> 00:00:38.250
máximo neste ponto que eu estou chamando de "C"

00:00:38.250 --> 00:00:41.910
e outra curva que tenha um ponto

00:00:41.910 --> 00:00:44.940
mínimo neste ponto que estou chamando de "C".

00:00:44.940 --> 00:00:48.870
Portanto, vamos colocar este ponto

00:00:48.870 --> 00:00:52.949
aqui exatamente neste local e

00:00:52.949 --> 00:00:56.670
este ponto aqui neste local.
Sabendo que neste

00:00:56.670 --> 00:00:59.910
ponto ele tem um ponto de máximo,

00:00:59.910 --> 00:01:04.470
a derivada no ponto "C" da função,

00:01:04.470 --> 00:01:09.409
vai ser zero.
Ela vai ter uma inclinação zero,

00:01:09.409 --> 00:01:12.510
paralelo ao eixo das abcissas.

00:01:12.510 --> 00:01:18.361
E como é que nós sabemos se o ponto é de máximo ou de mínimo?

00:01:18.361 --> 00:01:19.920
Em primeiro lugar, essa função é

00:01:19.920 --> 00:01:22.710
uma função contínua,
já que ela tem uma

00:01:22.710 --> 00:01:25.619
derivada neste ponto.
Ela está crescendo e

00:01:25.619 --> 00:01:28.619
depois decrescendo.
Uma maneira de nós

00:01:28.619 --> 00:01:32.030
verificarmos sem uma matemática muito rebuscada

00:01:32.030 --> 00:01:35.430
é tirarmos a segunda derivada

00:01:35.430 --> 00:01:38.460
da função no ponto "C".
E verificamos se

00:01:38.460 --> 00:01:41.130
ela é maior, menor ou igual a zero.

00:01:41.130 --> 00:01:44.490
Se ela for menor do que zero,

00:01:44.490 --> 00:01:48.860
significa que a concavidade é voltada para baixo.

00:01:48.860 --> 00:01:51.630
Se a concavidade é voltada para baixo,

00:01:51.630 --> 00:01:55.439
este ponto é um ponto de máximo.

00:01:55.439 --> 00:01:59.250
Neste outro ponto aqui verificamos que a

00:01:59.250 --> 00:02:01.770
derivada no ponto "C" também vai ser

00:02:01.770 --> 00:02:04.820
igual a zero, ela vai ter uma inclinação

00:02:04.820 --> 00:02:08.160
paralela ao eixo das abcissas,

00:02:08.160 --> 00:02:12.060
tangente à curva.
Ela está decrescendo e

00:02:12.060 --> 00:02:14.310
depois começa a crescer.

00:02:14.310 --> 00:02:15.910
Aqui, é um ponto de mínimo.

00:02:15.910 --> 00:02:18.090
Como é que podemos saber isso?

00:02:18.090 --> 00:02:20.670
Pela segunda derivada.

00:02:20.670 --> 00:02:25.349
Se a segunda derivada da função no ponto "C" for maior

00:02:25.349 --> 00:02:27.620
do que zero, significa que esta

00:02:27.620 --> 00:02:31.019
concavidade é voltada para cima e este

00:02:31.019 --> 00:02:33.810
ponto é um ponto de mínimo.

00:02:33.810 --> 00:02:37.849
Se a segunda derivada for igual a zero ela é

00:02:37.849 --> 00:02:40.680
inconclusiva, significa que não podemos

00:02:40.680 --> 00:02:43.170
saber se é um ponto de máximo, de mínimo

00:02:43.170 --> 00:02:45.239
ou até se ele não existe.

00:02:45.239 --> 00:02:47.819
Vamos colocar um exemplo para verificar

00:02:47.819 --> 00:02:49.980
o entendimento deste conceito.

00:02:49.980 --> 00:02:52.739
Vamos supor que uma determinada função "h"

00:02:52.739 --> 00:02:57.930
no ponto 8 vale a 5.
Ou seja, ela tem as

00:02:57.930 --> 00:03:01.530
coordenadas x = 8 e y = 5.

00:03:01.530 --> 00:03:04.890
Vamos supor que a primeira derivada

00:03:04.890 --> 00:03:08.459
dela no ponto 8 seja igual a zero,

00:03:08.459 --> 00:03:13.787
e a segunda derivada no ponto 8 seja igual -4.

00:03:13.787 --> 00:03:16.530
O que queremos saber é se este

00:03:16.530 --> 00:03:21.420
ponto é de máximo, este ponto é de mínimo

00:03:21.420 --> 00:03:25.920
ou ele é inconclusivo.

00:03:25.920 --> 00:03:28.709
Verificamos que temos a primeira

00:03:28.709 --> 00:03:34.173
derivada igual a zero.
Portanto, ela tem a inclinação zero.

00:03:34.173 --> 00:03:35.940
Ou seja, se ela tiver um

00:03:35.940 --> 00:03:39.540
ponto de máximo ou de mínimo será neste ponto e

00:03:39.540 --> 00:03:43.431
e ela será a função contínua neste ponto.

00:03:43.431 --> 00:03:45.930
Mas, pelo último dado, verificamos que a

00:03:45.930 --> 00:03:49.410
segunda derivada no ponto 8 é

00:03:49.410 --> 00:03:51.269
menor do que zero.

00:03:51.269 --> 00:03:55.630
Se ela é menor do que zero, nós estamos neste caso.

00:03:55.630 --> 00:03:57.900
Ou seja, a concavidade é para

00:03:57.900 --> 00:04:03.440
baixo e este valor é de máximo.