WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:04.946
RKA3JV - Vamos examinar, neste vídeo, 
o teste da segunda derivada.

00:00:04.946 --> 00:00:07.920
Quando derivamos uma função 
e igualamos a zero,

00:00:07.920 --> 00:00:11.270
ela pode estar em um ponto 
de máximo neste ponto,

00:00:11.270 --> 00:00:15.319
ela pode estar em um ponto 
de mínimo neste ponto

00:00:15.319 --> 00:00:17.530
ou ela pode ser inconclusiva.

00:00:17.530 --> 00:00:20.309
Vamos analisar através de um gráfico.

00:00:20.309 --> 00:00:23.459
Aqui nós temos o eixo das ordenadas "y".

00:00:23.459 --> 00:00:27.660
Aqui nós temos o eixo das abcissas "x".

00:00:27.660 --> 00:00:30.020
E vamos pegar um ponto qualquer,

00:00:30.020 --> 00:00:31.590
um ponto "C" qualquer.

00:00:31.590 --> 00:00:36.330
Vamos traçar uma curva 
que tenha o ponto máximo

00:00:36.330 --> 00:00:39.109
neste ponto que eu estou chamando de "C"

00:00:39.109 --> 00:00:42.870
e outra curva que tenha o ponto mínimo

00:00:42.870 --> 00:00:45.507
neste ponto, que estou chamando de "C".

00:00:45.507 --> 00:00:49.910
Portanto, vamos colocar este ponto aqui

00:00:49.910 --> 00:00:52.429
exatamente neste local

00:00:52.429 --> 00:00:55.072
e este ponto aqui neste local.

00:00:55.072 --> 00:00:59.911
Sabendo que neste ponto 
ele tem um ponto de máximo,

00:01:00.601 --> 00:01:04.647
a derivada no ponto "C" da função,

00:01:04.647 --> 00:01:06.022
vai ser zero.

00:01:06.022 --> 00:01:09.539
Ela vai ter uma inclinação zero,

00:01:09.539 --> 00:01:12.110
paralelo ao eixo das abcissas.

00:01:12.110 --> 00:01:18.294
E como é que nós sabemos 
se o ponto é de máximo ou de mínimo?

00:01:18.294 --> 00:01:21.940
Em primeiro lugar, essa função 
é uma função contínua,

00:01:21.940 --> 00:01:24.660
já que ela tem uma derivada neste ponto.

00:01:24.660 --> 00:01:27.639
Ela está crescendo e depois decrescendo.

00:01:27.639 --> 00:01:33.270
Uma maneira de nós verificarmos sem 
uma matemática muito rebuscada

00:01:33.270 --> 00:01:37.180
é tirarmos a segunda derivada 
da função no ponto "C".

00:01:37.180 --> 00:01:41.130
E verificamos se ela é maior, 
menor ou igual a zero.

00:01:41.130 --> 00:01:43.610
Se ela for menor do que zero,

00:01:43.610 --> 00:01:48.860
significa que a concavidade 
é voltada para baixo.

00:01:50.040 --> 00:01:52.350
Se a concavidade é voltada para baixo,

00:01:52.350 --> 00:01:55.560
este ponto é um ponto de máximo.

00:01:55.560 --> 00:01:57.578
Neste outro ponto aqui

00:01:57.578 --> 00:02:00.896
verificamos que a derivada no ponto "C"

00:02:00.896 --> 00:02:02.658
também vai ser igual a zero,

00:02:02.658 --> 00:02:07.437
ela vai ter uma inclinação 
paralela ao eixo das abcissas,

00:02:07.437 --> 00:02:09.020
tangente à curva.

00:02:09.020 --> 00:02:11.933
Ela está decrescendo

00:02:11.933 --> 00:02:14.160
e depois começa a crescer.

00:02:14.160 --> 00:02:15.800
Aqui, é um ponto de mínimo.

00:02:15.800 --> 00:02:18.090
Como é que podemos saber isso?

00:02:18.090 --> 00:02:20.040
Pela segunda derivada.

00:02:20.040 --> 00:02:26.429
Se a segunda derivada da função 
no ponto "C" for maior do que zero,

00:02:26.429 --> 00:02:28.769
significa que esta concavidade

00:02:28.769 --> 00:02:30.467
é voltada para cima

00:02:30.467 --> 00:02:32.960
e este ponto é um ponto de mínimo.

00:02:32.960 --> 00:02:36.560
Se a segunda derivada for igual a zero,

00:02:36.560 --> 00:02:39.026
ela é inconclusiva,

00:02:39.026 --> 00:02:42.447
significa que não podemos saber 
se é um ponto de máximo,

00:02:42.447 --> 00:02:45.239
de mínimo ou até se ele não existe.

00:02:45.239 --> 00:02:48.059
Vamos colocar um exemplo para verificar

00:02:48.059 --> 00:02:49.910
o entendimento deste conceito.

00:02:49.910 --> 00:02:52.974
Vamos supor que uma determinada função "h"

00:02:52.974 --> 00:02:56.300
no ponto 8 vale a 5.

00:02:56.300 --> 00:03:01.920
Ou seja, ela tem as coordenadas 
"x = 8" e "y = 5".

00:03:01.920 --> 00:03:07.339
Vamos supor que a primeira derivada 
dela no ponto 8 seja igual a zero,

00:03:07.339 --> 00:03:13.787
e a segunda derivada no ponto 8 
seja igual -4.

00:03:13.787 --> 00:03:18.910
O que queremos saber é 
se este ponto é de máximo,

00:03:18.910 --> 00:03:21.630
este ponto é de mínimo

00:03:21.630 --> 00:03:25.820
ou ele é inconclusivo.

00:03:25.820 --> 00:03:30.009
Verificamos que temos 
a primeira derivada igual a zero.

00:03:30.009 --> 00:03:34.173
Portanto, ela tem a inclinação zero.

00:03:34.173 --> 00:03:37.100
Ou seja, se ela tiver um ponto de máximo

00:03:37.100 --> 00:03:40.010
ou de mínimo será neste ponto,

00:03:40.010 --> 00:03:43.331
e ela será uma função contínua 
neste ponto.

00:03:43.331 --> 00:03:46.229
Mas, pelo último dado, verificamos

00:03:46.229 --> 00:03:51.179
que a segunda derivada no ponto 8 
é menor do que zero.

00:03:51.179 --> 00:03:55.852
Se ela é menor do que zero, 
nós estamos neste caso.

00:03:55.852 --> 00:03:58.630
Ou seja, a concavidade é para baixo

00:03:58.630 --> 00:04:01.730
e este valor é de máximo.