[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.68,0:00:02.98,Default,,0000,0000,0000,,Du hast nun hoffentlich ein Gespür dafür bekommen, was ein Doppelintegral
Dialogue: 0,0:00:02.98,0:00:06.92,Default,,0000,0000,0000,,ist oder wie wir vorgehen, wenn wir das Volumen unter einer Fläche
Dialogue: 0,0:00:06.92,0:00:07.49,Default,,0000,0000,0000,,berechnen wollen.
Dialogue: 0,0:00:07.49,0:00:09.91,Default,,0000,0000,0000,,Also, lass es uns gleich mal ausrechnen und ich denke, dann wird es
Dialogue: 0,0:00:09.91,0:00:10.91,Default,,0000,0000,0000,,konkreter.
Dialogue: 0,0:00:10.91,0:00:14.22,Default,,0000,0000,0000,,Nehmen wir an, wir haben eine Fläche z, und z ist
Dialogue: 0,0:00:14.22,0:00:15.53,Default,,0000,0000,0000,,eine Funktion von x und y.
Dialogue: 0,0:00:15.53,0:00:20.67,Default,,0000,0000,0000,,Und z ist gleich x mal y zum Quadrat.
Dialogue: 0,0:00:20.67,0:00:22.85,Default,,0000,0000,0000,,Es ist eine Fläche im dreidimensionalen Raum.
Dialogue: 0,0:00:22.85,0:00:26.02,Default,,0000,0000,0000,,Und ich will wissen, wie gross das Volumen zwischen dieser
Dialogue: 0,0:00:26.02,0:00:28.66,Default,,0000,0000,0000,,Fläche und der x-y-Ebene ist.
Dialogue: 0,0:00:28.66,0:00:33.32,Default,,0000,0000,0000,,Und das Gebiet in der x-y-Ebene, das mich interessiert, ist:
Dialogue: 0,0:00:33.32,0:00:38.38,Default,,0000,0000,0000,,x ist größer gleich 0 und kleiner gleich 2.
Dialogue: 0,0:00:38.38,0:00:42.45,Default,,0000,0000,0000,,Und y ist größer gleich 0 und kleiner
Dialogue: 0,0:00:42.45,0:00:43.74,Default,,0000,0000,0000,,gleich 1.
Dialogue: 0,0:00:43.74,0:00:45.37,Default,,0000,0000,0000,,Schauen wir mal wie das aussieht, damit wir eine
Dialogue: 0,0:00:45.37,0:00:47.96,Default,,0000,0000,0000,,gute Vorstellung davon haben.
Dialogue: 0,0:00:47.96,0:00:50.26,Default,,0000,0000,0000,,Ich habe es hier grafisch dargestellt und ich kann es rotieren.
Dialogue: 0,0:00:50.26,0:00:52.75,Default,,0000,0000,0000,,Das ist z gleich x mal y im Quadrat.
Dialogue: 0,0:00:52.75,0:00:56.24,Default,,0000,0000,0000,,Das ist der Definitionsbereich, stimmt's? x geht von 0 bis
Dialogue: 0,0:00:56.24,0:00:58.30,Default,,0000,0000,0000,,2; y geht von 0 bis 1.
Dialogue: 0,0:00:58.30,0:01:00.72,Default,,0000,0000,0000,,Wir wollen tatsächlich -- Man kann das fast als Volumen
Dialogue: 0,0:01:00.72,0:01:02.71,Default,,0000,0000,0000,,betrachten -- Also nicht fast.
Dialogue: 0,0:01:02.71,0:01:05.59,Default,,0000,0000,0000,,Exakt als Volumen unter der Fläche betrachten.
Dialogue: 0,0:01:05.59,0:01:08.53,Default,,0000,0000,0000,,Zwischen dieser Fläche, der oberen Fläche und der x-y-Ebene.
Dialogue: 0,0:01:08.53,0:01:11.58,Default,,0000,0000,0000,,Und ich rotiere es, damit du ein besseres Gefühl für
Dialogue: 0,0:01:11.58,0:01:14.21,Default,,0000,0000,0000,,das tatsächliche Volumen kriegst.
Dialogue: 0,0:01:14.21,0:01:16.25,Default,,0000,0000,0000,,Lass es mich rotieren.
Dialogue: 0,0:01:16.25,0:01:19.33,Default,,0000,0000,0000,,Ich sollte die Maus dafür verwenden.
Dialogue: 0,0:01:19.33,0:01:21.38,Default,,0000,0000,0000,,Also, es ist dieser Raum hier unterhalb.
Dialogue: 0,0:01:21.38,0:01:23.98,Default,,0000,0000,0000,,Es ist wie ein Behelfszelt oder so.
Dialogue: 0,0:01:23.98,0:01:27.06,Default,,0000,0000,0000,,Ich kann es noch ein bisschen rotieren.
Dialogue: 0,0:01:27.06,0:01:29.34,Default,,0000,0000,0000,,Was unter dieser -- zwischen diesen Flächen liegt,
Dialogue: 0,0:01:29.34,0:01:30.92,Default,,0000,0000,0000,,das ist das Volumen.
Dialogue: 0,0:01:30.92,0:01:32.55,Default,,0000,0000,0000,,Ups, ich hab es auf den Kopf gedreht.
Dialogue: 0,0:01:32.55,0:01:33.50,Default,,0000,0000,0000,,Na bitte.
Dialogue: 0,0:01:33.50,0:01:35.69,Default,,0000,0000,0000,,Also, das ist das Volumen, das uns interessiert.
Dialogue: 0,0:01:35.69,0:01:38.49,Default,,0000,0000,0000,,Lasst uns herausfinden wie es geht und wir versuchen auf dem Weg
Dialogue: 0,0:01:38.49,0:01:41.48,Default,,0000,0000,0000,,ein bisschen Intuition aufzubauen.
Dialogue: 0,0:01:41.48,0:01:44.85,Default,,0000,0000,0000,,Ich werde jetzt eine etwas weniger eindrückliche Version dieses Graphen
Dialogue: 0,0:01:44.85,0:01:49.03,Default,,0000,0000,0000,,zeichnen, aber ich denke es wird seinen Zweck vorerst erfüllen.
Dialogue: 0,0:01:49.03,0:01:50.18,Default,,0000,0000,0000,,Lass mich die Achsen zeichnen.
Dialogue: 0,0:01:52.71,0:02:01.03,Default,,0000,0000,0000,,Das ist meine x-Achse, das ist meine y-Achse und das ist meine z-Achse.
Dialogue: 0,0:02:04.55,0:02:08.81,Default,,0000,0000,0000,,x, y, z.
Dialogue: 0,0:02:08.81,0:02:10.87,Default,,0000,0000,0000,,x geht von 0 bis 2.
Dialogue: 0,0:02:10.87,0:02:12.30,Default,,0000,0000,0000,,Sagen wir das ist 2.
Dialogue: 0,0:02:12.30,0:02:16.16,Default,,0000,0000,0000,,y geht von 0 bis 1.
Dialogue: 0,0:02:16.16,0:02:20.80,Default,,0000,0000,0000,,Also, wir nehmen das Volumen oberhalb dieses Rechtecks
Dialogue: 0,0:02:20.80,0:02:23.57,Default,,0000,0000,0000,,in der x-y-Ebene.
Dialogue: 0,0:02:23.57,0:02:25.74,Default,,0000,0000,0000,,Und dann die Fläche, ich tu mein bestes, um sie zu zeichnen.
Dialogue: 0,0:02:25.74,0:02:27.66,Default,,0000,0000,0000,,Ich zeichne sie in einer anderen Farbe.
Dialogue: 0,0:02:27.66,0:02:30.68,Default,,0000,0000,0000,,Ich schaue auf das Bild.
Dialogue: 0,0:02:30.68,0:02:32.60,Default,,0000,0000,0000,,An diesem Ende sieht es ungefähr so aus.
Dialogue: 0,0:02:36.30,0:02:37.74,Default,,0000,0000,0000,,Und dann kommt eine gerade Linie.
Dialogue: 0,0:02:37.74,0:02:43.58,Default,,0000,0000,0000,,Mal schauen, ob ich zeichnen kann, wie diese Fläche da runter geht.
Dialogue: 0,0:02:43.58,0:02:47.18,Default,,0000,0000,0000,,Und wenn ich richtig gut bin, kann ich es schattieren.
Dialogue: 0,0:02:47.18,0:02:50.70,Default,,0000,0000,0000,,Es sieht ungefähr so aus.
Dialogue: 0,0:02:50.70,0:02:55.74,Default,,0000,0000,0000,,Wenn ich es schattiere, sieht die Fläche
Dialogue: 0,0:02:55.74,0:02:57.02,Default,,0000,0000,0000,,ungefähr so aus.
Dialogue: 0,0:02:57.02,0:02:59.78,Default,,0000,0000,0000,,Und das hier ist über dem.
Dialogue: 0,0:02:59.78,0:03:04.38,Default,,0000,0000,0000,,Das ist die untere linke Ecke, du kannst es fast sehen.
Dialogue: 0,0:03:04.38,0:03:08.70,Default,,0000,0000,0000,,Also, das Gelbe ist die Oberseite der Fläche.
Dialogue: 0,0:03:08.70,0:03:09.83,Default,,0000,0000,0000,,Dies ist die Oberseite der Fläche.
Dialogue: 0,0:03:09.83,0:03:11.83,Default,,0000,0000,0000,,Und dann ist das die Unterseite der Fläche.
Dialogue: 0,0:03:11.83,0:03:15.26,Default,,0000,0000,0000,,Also, wir interessieren uns für dieses Volumen darunter.
Dialogue: 0,0:03:15.26,0:03:17.84,Default,,0000,0000,0000,,Lass mich dir die richtige Fläche zeigen.
Dialogue: 0,0:03:17.84,0:03:20.28,Default,,0000,0000,0000,,Also, dieses Volumen hier unten.
Dialogue: 0,0:03:20.28,0:03:21.06,Default,,0000,0000,0000,,Ich denke, du hast es verstanden.
Dialogue: 0,0:03:21.06,0:03:22.56,Default,,0000,0000,0000,,Also, wie gehen wir vor?
Dialogue: 0,0:03:22.56,0:03:26.59,Default,,0000,0000,0000,,Nun, im letzten Beispiel haben wir gesagt, also, nehmen wir
Dialogue: 0,0:03:26.59,0:03:29.92,Default,,0000,0000,0000,,ein beliebiges y und für dieses y, lass uns die
Dialogue: 0,0:03:29.92,0:03:31.25,Default,,0000,0000,0000,,Fläche unter der Kurve herausfinden.
Dialogue: 0,0:03:31.25,0:03:36.28,Default,,0000,0000,0000,,Also wenn wir y festlegen -- Wenn man die Aufgabe löst,
Dialogue: 0,0:03:36.28,0:03:39.55,Default,,0000,0000,0000,,muss man nicht so genau darüber nachdenken, aber ich will
Dialogue: 0,0:03:39.55,0:03:40.41,Default,,0000,0000,0000,,dir ein Gespür dafür geben.
Dialogue: 0,0:03:40.41,0:03:43.81,Default,,0000,0000,0000,,Also wenn wir hier ein beliebiges y wählen.
Dialogue: 0,0:03:43.81,0:03:48.25,Default,,0000,0000,0000,,Bei diesem y, können wir es -- Wenn wir ein fixes y haben,
Dialogue: 0,0:03:48.25,0:03:51.48,Default,,0000,0000,0000,,können wir die Funktion von x und y fast als eine Funktion nur von x
Dialogue: 0,0:03:51.48,0:03:56.62,Default,,0000,0000,0000,,betrachten, für dieses gegebene y.
Dialogue: 0,0:03:56.62,0:04:02.61,Default,,0000,0000,0000,,Und so probieren wir herauszufinden, was der Betrag
Dialogue: 0,0:04:02.61,0:04:04.47,Default,,0000,0000,0000,,dieser Fläche unter dieser Kurve ist.
Dialogue: 0,0:04:08.43,0:04:11.82,Default,,0000,0000,0000,,Du solltest das als eine Art von hoch runter Kurve für ein bestimmtes y sehen.
Dialogue: 0,0:04:11.82,0:04:15.87,Default,,0000,0000,0000,,Wenn wir y kennen, können wir bestimmen -- zum Beispiel, wenn y
Dialogue: 0,0:04:15.87,0:04:20.20,Default,,0000,0000,0000,,5 ist, dann wird diese Funktion z gleich 25 mal x.
Dialogue: 0,0:04:20.20,0:04:22.57,Default,,0000,0000,0000,,Und dann ist es einfach die Fläche unter
Dialogue: 0,0:04:22.57,0:04:23.35,Default,,0000,0000,0000,,der Kurve zu bestimmen.
Dialogue: 0,0:04:23.35,0:04:26.07,Default,,0000,0000,0000,,Wir werden die Fläche unter der Kurve als Funktion von y darstellen.
Dialogue: 0,0:04:26.07,0:04:27.50,Default,,0000,0000,0000,,Wir tun so als wäre es nur eine Konstante.
Dialogue: 0,0:04:27.50,0:04:28.77,Default,,0000,0000,0000,,Also, los geht's.
Dialogue: 0,0:04:28.77,0:04:33.68,Default,,0000,0000,0000,,Wenn wir ein dx haben, dann ist das unsere Änderung in x.
Dialogue: 0,0:04:33.68,0:04:36.71,Default,,0000,0000,0000,,Und dann ist die Höhe aller unserer Rechtecke eine
Dialogue: 0,0:04:36.71,0:04:40.01,Default,,0000,0000,0000,,Funktion -- es ist z.
Dialogue: 0,0:04:40.01,0:04:42.66,Default,,0000,0000,0000,,Die Höhe z ist eine Funktion von x und y.
Dialogue: 0,0:04:42.66,0:04:45.19,Default,,0000,0000,0000,,Also können wir integrieren.
Dialogue: 0,0:04:45.19,0:04:50.02,Default,,0000,0000,0000,,Also, die Fläche von allen wird unsere Funktion x mal y im Quadrat.
Dialogue: 0,0:04:50.02,0:04:54.76,Default,,0000,0000,0000,,Ich mache es hier, weil mir der Platz ausgeht.
Dialogue: 0,0:04:54.76,0:04:59.02,Default,,0000,0000,0000,,x mal y im Quadrat mal die Breite, also dx.
Dialogue: 0,0:04:59.02,0:05:05.71,Default,,0000,0000,0000,,Und wenn wir die Fläche von so einer Scheibe wollen, für ein gegebenes y
Dialogue: 0,0:05:05.71,0:05:08.03,Default,,0000,0000,0000,,dann integrieren wir einfach entlang der x-Achse.
Dialogue: 0,0:05:08.03,0:05:10.10,Default,,0000,0000,0000,,Wir integrieren von x gleich 0 bis
Dialogue: 0,0:05:10.10,0:05:12.23,Default,,0000,0000,0000,,x gleich 2.
Dialogue: 0,0:05:12.23,0:05:15.21,Default,,0000,0000,0000,,Von x gleich 0 bis 2.
Dialogue: 0,0:05:15.21,0:05:16.79,Default,,0000,0000,0000,,Na schön.
Dialogue: 0,0:05:16.79,0:05:21.05,Default,,0000,0000,0000,,Jetzt wollen wir aber nicht nur wissen, wie groß die Fläche unter der
Dialogue: 0,0:05:21.05,0:05:23.60,Default,,0000,0000,0000,,Kurve für ein bestimmtes y ist, wir wollen
Dialogue: 0,0:05:23.60,0:05:25.83,Default,,0000,0000,0000,,die Fläche unter der ganzen Kurve berechnen.
Dialogue: 0,0:05:25.83,0:05:27.57,Default,,0000,0000,0000,,Also was wir machen ist folgendes
Dialogue: 0,0:05:27.57,0:05:33.37,Default,,0000,0000,0000,,Die Fläche unter der Kurve, nicht die Oberfläche -- unter dieser Kurve
Dialogue: 0,0:05:33.37,0:05:37.05,Default,,0000,0000,0000,,für ein bestimmtes y, ist dieser Ausdruck.
Dialogue: 0,0:05:37.05,0:05:40.55,Default,,0000,0000,0000,,Nun, was passiert, wenn wir ein bisschen Tiefe hinzufügen?
Dialogue: 0,0:05:40.55,0:05:45.54,Default,,0000,0000,0000,,Wenn ich diese Fläche mit dy multipliziere, kriegt es ein
Dialogue: 0,0:05:45.54,0:05:46.85,Default,,0000,0000,0000,,kleines bisschen Tiefe, stimmt's?
Dialogue: 0,0:05:46.85,0:05:50.14,Default,,0000,0000,0000,,Wir haben also sowas wie eine dreidimensionale Scheibe des
Dialogue: 0,0:05:50.14,0:05:51.24,Default,,0000,0000,0000,,Volumens, das uns interessiert.
Dialogue: 0,0:05:51.24,0:05:52.87,Default,,0000,0000,0000,,Es ist schwer vorzustellen, ich weiß.
Dialogue: 0,0:05:52.87,0:05:54.35,Default,,0000,0000,0000,,Ich hole das wieder her.
Dialogue: 0,0:05:54.35,0:05:58.56,Default,,0000,0000,0000,,Also, wenn ich hier eine Scheibe habe, wir haben gerade die Fläche
Dialogue: 0,0:05:58.56,0:06:01.40,Default,,0000,0000,0000,,einer Scheibe herausgefunden, und ich multipliziere sie mit dy, um ein
Dialogue: 0,0:06:01.40,0:06:04.20,Default,,0000,0000,0000,,bisschen Tiefe hinzuzufügen.
Dialogue: 0,0:06:04.20,0:06:08.00,Default,,0000,0000,0000,,Also, man multipliziert es mit dy, um ein bisschen Tiefe hinzuzufügen.
Dialogue: 0,0:06:08.00,0:06:11.55,Default,,0000,0000,0000,,Wenn wir dann das ganze Volumen unter der Kurve wollen, addieren wir
Dialogue: 0,0:06:11.55,0:06:14.07,Default,,0000,0000,0000,,alle diese dy's, nehmen nun die Summe aller dieser
Dialogue: 0,0:06:14.07,0:06:17.30,Default,,0000,0000,0000,,unendlich kleinen Volumen.
Dialogue: 0,0:06:17.30,0:06:21.45,Default,,0000,0000,0000,,Wir integrieren also von y gleich 0
Dialogue: 0,0:06:21.45,0:06:22.57,Default,,0000,0000,0000,,bis y gleich 1.
Dialogue: 0,0:06:22.57,0:06:24.29,Default,,0000,0000,0000,,Der Graph ist ein bisschen schwer zu verstehen, ich weiß, aber
Dialogue: 0,0:06:24.29,0:06:27.18,Default,,0000,0000,0000,,du möchtest vielleicht das erste Video nochmal anschauen.
Dialogue: 0,0:06:27.18,0:06:30.54,Default,,0000,0000,0000,,Ich hatte eine Fläche, die etwas einfacher zu verstehen ist.
Dialogue: 0,0:06:30.54,0:06:33.59,Default,,0000,0000,0000,,So, wie werten wir das jetzt aus?
Dialogue: 0,0:06:33.59,0:06:36.51,Default,,0000,0000,0000,,Nun, wie gesagt, man rechnet von
Dialogue: 0,0:06:36.51,0:06:37.50,Default,,0000,0000,0000,,innen nach außen.
Dialogue: 0,0:06:40.48,0:06:43.51,Default,,0000,0000,0000,,Es ist wie das Invertieren einer partiellen Ableitung.
Dialogue: 0,0:06:43.51,0:06:47.54,Default,,0000,0000,0000,,Also, wir integrieren hier in x, also können wir
Dialogue: 0,0:06:47.54,0:06:49.42,Default,,0000,0000,0000,,y als Konstante betrachten.
Dialogue: 0,0:06:49.42,0:06:51.67,Default,,0000,0000,0000,,So als wäre es die Zahl 5 oder sowas.
Dialogue: 0,0:06:51.67,0:06:53.62,Default,,0000,0000,0000,,Es hat keinen Einfluss auf das Integral.
Dialogue: 0,0:06:53.62,0:06:57.06,Default,,0000,0000,0000,,Also, was ist die Stammfunktion von x mal y im Quadrat?
Dialogue: 0,0:06:57.06,0:07:00.16,Default,,0000,0000,0000,,Nun, die Stammfunktion von x mal im Quadrat -- Ich will mit
Dialogue: 0,0:07:00.16,0:07:02.28,Default,,0000,0000,0000,,den Farben konsistent bleiben.
Dialogue: 0,0:07:02.28,0:07:05.72,Default,,0000,0000,0000,,Nun, die Stammfunktion von x ist x hoch 1/2 --
Dialogue: 0,0:07:05.72,0:07:09.08,Default,,0000,0000,0000,,Entschuldigung. x im Quadrat, geteilt durch 2.
Dialogue: 0,0:07:09.08,0:07:12.18,Default,,0000,0000,0000,,Und y im Quadrat ist nur eine Konstante, stimmt's?
Dialogue: 0,0:07:12.18,0:07:14.58,Default,,0000,0000,0000,,Und wir müssen uns nicht um plus c kümmern, weil
Dialogue: 0,0:07:14.58,0:07:15.96,Default,,0000,0000,0000,,es ja ein bestimmtes Integral ist.
Dialogue: 0,0:07:15.96,0:07:18.99,Default,,0000,0000,0000,,Und wir werten das aus bei 2 und 0.
Dialogue: 0,0:07:18.99,0:07:21.19,Default,,0000,0000,0000,,Und dann haben wir immer noch das äußere Integral
Dialogue: 0,0:07:21.19,0:07:22.65,Default,,0000,0000,0000,,nach y.
Dialogue: 0,0:07:22.65,0:07:25.19,Default,,0000,0000,0000,,Also, wenn wir das haben, integrieren wir es
Dialogue: 0,0:07:25.19,0:07:29.80,Default,,0000,0000,0000,,von 0 bis 1 nach dy.
Dialogue: 0,0:07:29.80,0:07:31.47,Default,,0000,0000,0000,,Nun, was gibt das?
Dialogue: 0,0:07:31.47,0:07:32.91,Default,,0000,0000,0000,,Wir setzen eine 2 hier ein.
Dialogue: 0,0:07:32.91,0:07:36.28,Default,,0000,0000,0000,,Wenn man dort 2 einsetzt, kriegt man 2 im Quadrat geteilt durch 2.
Dialogue: 0,0:07:39.23,0:07:41.74,Default,,0000,0000,0000,,Das ist einfach 4 durch 2.
Dialogue: 0,0:07:41.74,0:07:43.56,Default,,0000,0000,0000,,Also ist es 2 mal y im Quadrat.
Dialogue: 0,0:07:47.67,0:07:51.21,Default,,0000,0000,0000,,Minus 0 im Quadrat durch 2 mal y im Quadrat.
Dialogue: 0,0:07:51.21,0:07:52.08,Default,,0000,0000,0000,,Aber das ist einfach 0.
Dialogue: 0,0:07:52.08,0:07:52.95,Default,,0000,0000,0000,,Also minus 0.
Dialogue: 0,0:07:52.95,0:07:55.22,Default,,0000,0000,0000,,Ich schreibe es nicht hin, hoffentlich ist dir das schon
Dialogue: 0,0:07:55.22,0:07:56.19,Default,,0000,0000,0000,,in Fleisch und Blut übergegangen.
Dialogue: 0,0:07:56.19,0:07:58.51,Default,,0000,0000,0000,,Wir haben es einfach an diesen 2 Endpunkten ausgewertet
Dialogue: 0,0:07:58.51,0:08:00.66,Default,,0000,0000,0000,,und mir geht der Platz aus.
Dialogue: 0,0:08:00.66,0:08:03.71,Default,,0000,0000,0000,,Also, das gab 2 mal y im Quadrat und jetzt berechnen wir
Dialogue: 0,0:08:03.71,0:08:05.58,Default,,0000,0000,0000,,das äußere Integral.
Dialogue: 0,0:08:05.58,0:08:08.91,Default,,0000,0000,0000,,0, 1, dy.
Dialogue: 0,0:08:08.91,0:08:10.23,Default,,0000,0000,0000,,Und das ist wichtig zu verstehen.
Dialogue: 0,0:08:10.23,0:08:13.12,Default,,0000,0000,0000,,Als wir das innere Integral berechnet haben, kannst du dich
Dialogue: 0,0:08:13.12,0:08:13.82,Default,,0000,0000,0000,,erinnern, was wir gemacht haben?
Dialogue: 0,0:08:13.82,0:08:16.95,Default,,0000,0000,0000,,Wir haben versucht herauszufinden, was die Fläche dieser
Dialogue: 0,0:08:16.95,0:08:19.18,Default,,0000,0000,0000,,Oberfläche für ein bestimmtes y war.
Dialogue: 0,0:08:19.18,0:08:23.07,Default,,0000,0000,0000,,Nun, nicht dieser Oberfläche, der Flächeninhalt unter der Oberfläche
Dialogue: 0,0:08:23.07,0:08:24.38,Default,,0000,0000,0000,,für ein gegebenes y.
Dialogue: 0,0:08:24.38,0:08:27.19,Default,,0000,0000,0000,,Für ein gegebenes y wird die Oberfläche wie zu einer Kurve.
Dialogue: 0,0:08:27.19,0:08:30.11,Default,,0000,0000,0000,,Und wir haben versucht die Fläche unter dieser Kurve zu berechnen.
Dialogue: 0,0:08:30.11,0:08:33.54,Default,,0000,0000,0000,,im traditionellen Sinn.
Dialogue: 0,0:08:33.54,0:08:36.87,Default,,0000,0000,0000,,Diese Fläche war eine Funktion von y.
Dialogue: 0,0:08:36.87,0:08:40.50,Default,,0000,0000,0000,,Und das ist sinnvoll, weil abhängig vom y, das wir wählen,
Dialogue: 0,0:08:40.50,0:08:44.39,Default,,0000,0000,0000,,kriegen wir hier einen anderen Flächeninhalt.
Dialogue: 0,0:08:44.39,0:08:47.81,Default,,0000,0000,0000,,Offensichtlich ändert die Fläche -- wie eine Wand die senkrecht runtergeht --
Dialogue: 0,0:08:47.81,0:08:52.62,Default,,0000,0000,0000,,abhängig vom y-Wert, den wir wählen.
Dialogue: 0,0:08:52.62,0:08:55.76,Default,,0000,0000,0000,,Wir haben also eine Funktion von y erhalten und nun
Dialogue: 0,0:08:55.76,0:08:58.33,Default,,0000,0000,0000,,integrieren wir einfach nach y und das ist einfach ein
Dialogue: 0,0:08:58.33,0:09:00.81,Default,,0000,0000,0000,,bestimmtes Integral ohne Schnickschnack.
Dialogue: 0,0:09:00.81,0:09:03.35,Default,,0000,0000,0000,,Was ist die Stammfunktion von 2 mal y im Quadrat?
Dialogue: 0,0:09:03.35,0:09:08.14,Default,,0000,0000,0000,,Nun, das ist 2 mal y hoch 3, geteilt durch 3,
Dialogue: 0,0:09:08.14,0:09:11.51,Default,,0000,0000,0000,,oder 2/3 mal y hoch 3.
Dialogue: 0,0:09:11.51,0:09:14.74,Default,,0000,0000,0000,,Wir werten das bei 1 und bei 0 aus, das
Dialogue: 0,0:09:14.74,0:09:16.10,Default,,0000,0000,0000,,gibt -- mal sehen.
Dialogue: 0,0:09:16.10,0:09:17.48,Default,,0000,0000,0000,,1 hoch 3 mal 2/3.
Dialogue: 0,0:09:17.48,0:09:18.87,Default,,0000,0000,0000,,Das gibt 2/3.
Dialogue: 0,0:09:18.87,0:09:20.46,Default,,0000,0000,0000,,Minus 0 hoch 3 mal 2/3.
Dialogue: 0,0:09:20.46,0:09:21.58,Default,,0000,0000,0000,,Das ist einfach 0.
Dialogue: 0,0:09:21.58,0:09:25.27,Default,,0000,0000,0000,,Also gibt es 2/3.
Dialogue: 0,0:09:25.27,0:09:29.62,Default,,0000,0000,0000,,Wenn unsere Einheiten Meter wären, wären das 2/3
Dialogue: 0,0:09:29.62,0:09:31.23,Default,,0000,0000,0000,,Meter hoch 3 oder Kubikmeter.
Dialogue: 0,0:09:31.23,0:09:32.28,Default,,0000,0000,0000,,Na bitte.
Dialogue: 0,0:09:32.28,0:09:34.89,Default,,0000,0000,0000,,So berechnet man ein Doppelintegral.
Dialogue: 0,0:09:34.89,0:09:36.45,Default,,0000,0000,0000,,Da gibt's eigentlich keine neue Fähigkeit.
Dialogue: 0,0:09:36.45,0:09:38.65,Default,,0000,0000,0000,,Man muss einfach den Überblick über die Variablen behalten.
Dialogue: 0,0:09:38.65,0:09:39.76,Default,,0000,0000,0000,,Behandle sie als Konstanten,
Dialogue: 0,0:09:39.76,0:09:41.62,Default,,0000,0000,0000,,wenn sie als Konstanten behandelt werden müssen und behandle sie
Dialogue: 0,0:09:41.62,0:09:44.71,Default,,0000,0000,0000,,als Integrationsvariable, wenn es angebracht ist.
Dialogue: 0,0:09:44.71,0:09:49.09,Default,,0000,0000,0000,,Also, bis zum nächsten Video.