WEBVTT 00:00:00.680 --> 00:00:02.980 Du hast nun hoffentlich ein Gespür dafür bekommen, was ein Doppelintegral 00:00:02.980 --> 00:00:06.920 ist oder wie wir vorgehen, wenn wir das Volumen unter einer Fläche 00:00:06.920 --> 00:00:07.490 berechnen wollen. 00:00:07.490 --> 00:00:09.910 Also, lass es uns gleich mal ausrechnen und ich denke, dann wird es 00:00:09.910 --> 00:00:10.910 konkreter. 00:00:10.910 --> 00:00:14.220 Nehmen wir an, wir haben eine Fläche z, und z ist 00:00:14.220 --> 00:00:15.530 eine Funktion von x und y. 00:00:15.530 --> 00:00:20.670 Und z ist gleich x mal y zum Quadrat. 00:00:20.670 --> 00:00:22.850 Es ist eine Fläche im dreidimensionalen Raum. 00:00:22.850 --> 00:00:26.020 Und ich will wissen, wie gross das Volumen zwischen dieser 00:00:26.020 --> 00:00:28.660 Fläche und der x-y-Ebene ist. 00:00:28.660 --> 00:00:33.320 Und das Gebiet in der x-y-Ebene, das mich interessiert, ist: 00:00:33.320 --> 00:00:38.380 x ist größer gleich 0 und kleiner gleich 2. 00:00:38.380 --> 00:00:42.450 Und y ist größer gleich 0 und kleiner 00:00:42.450 --> 00:00:43.740 gleich 1. 00:00:43.740 --> 00:00:45.370 Schauen wir mal wie das aussieht, damit wir eine 00:00:45.370 --> 00:00:47.960 gute Vorstellung davon haben. 00:00:47.960 --> 00:00:50.260 Ich habe es hier grafisch dargestellt und ich kann es rotieren. 00:00:50.260 --> 00:00:52.750 Das ist z gleich x mal y im Quadrat. 00:00:52.750 --> 00:00:56.240 Das ist der Definitionsbereich, stimmt's? x geht von 0 bis 00:00:56.240 --> 00:00:58.300 2; y geht von 0 bis 1. 00:00:58.300 --> 00:01:00.720 Wir wollen tatsächlich -- Man kann das fast als Volumen 00:01:00.720 --> 00:01:02.710 betrachten -- Also nicht fast. 00:01:02.710 --> 00:01:05.590 Exakt als Volumen unter der Fläche betrachten. 00:01:05.590 --> 00:01:08.530 Zwischen dieser Fläche, der oberen Fläche und der x-y-Ebene. 00:01:08.530 --> 00:01:11.580 Und ich rotiere es, damit du ein besseres Gefühl für 00:01:11.580 --> 00:01:14.210 das tatsächliche Volumen kriegst. 00:01:14.210 --> 00:01:16.250 Lass es mich rotieren. 00:01:16.250 --> 00:01:19.330 Ich sollte die Maus dafür verwenden. 00:01:19.330 --> 00:01:21.380 Also, es ist dieser Raum hier unterhalb. 00:01:21.380 --> 00:01:23.975 Es ist wie ein Behelfszelt oder so. 00:01:23.975 --> 00:01:27.060 Ich kann es noch ein bisschen rotieren. 00:01:27.060 --> 00:01:29.340 Was unter dieser -- zwischen diesen Flächen liegt, 00:01:29.340 --> 00:01:30.920 das ist das Volumen. 00:01:30.920 --> 00:01:32.550 Ups, ich hab es auf den Kopf gedreht. 00:01:32.550 --> 00:01:33.500 Na bitte. 00:01:33.500 --> 00:01:35.690 Also, das ist das Volumen, das uns interessiert. 00:01:35.690 --> 00:01:38.490 Lasst uns herausfinden wie es geht und wir versuchen auf dem Weg 00:01:38.490 --> 00:01:41.480 ein bisschen Intuition aufzubauen. 00:01:41.480 --> 00:01:44.850 Ich werde jetzt eine etwas weniger eindrückliche Version dieses Graphen 00:01:44.850 --> 00:01:49.026 zeichnen, aber ich denke es wird seinen Zweck vorerst erfüllen. 00:01:49.026 --> 00:01:50.185 Lass mich die Achsen zeichnen. 00:01:52.710 --> 00:02:01.030 Das ist meine x-Achse, das ist meine y-Achse und das ist meine z-Achse. 00:02:04.552 --> 00:02:08.814 x, y, z. 00:02:08.814 --> 00:02:10.870 x geht von 0 bis 2. 00:02:10.870 --> 00:02:12.300 Sagen wir das ist 2. 00:02:12.300 --> 00:02:16.160 y geht von 0 bis 1. 00:02:16.160 --> 00:02:20.796 Also, wir nehmen das Volumen oberhalb dieses Rechtecks 00:02:20.796 --> 00:02:23.570 in der x-y-Ebene. 00:02:23.570 --> 00:02:25.740 Und dann die Fläche, ich tu mein bestes, um sie zu zeichnen. 00:02:25.740 --> 00:02:27.660 Ich zeichne sie in einer anderen Farbe. 00:02:27.660 --> 00:02:30.680 Ich schaue auf das Bild. 00:02:30.680 --> 00:02:32.600 An diesem Ende sieht es ungefähr so aus. 00:02:36.300 --> 00:02:37.743 Und dann kommt eine gerade Linie. 00:02:37.743 --> 00:02:43.580 Mal schauen, ob ich zeichnen kann, wie diese Fläche da runter geht. 00:02:43.580 --> 00:02:47.176 Und wenn ich richtig gut bin, kann ich es schattieren. 00:02:47.176 --> 00:02:50.695 Es sieht ungefähr so aus. 00:02:50.695 --> 00:02:55.740 Wenn ich es schattiere, sieht die Fläche 00:02:55.740 --> 00:02:57.020 ungefähr so aus. 00:02:57.020 --> 00:02:59.780 Und das hier ist über dem. 00:02:59.780 --> 00:03:04.380 Das ist die untere linke Ecke, du kannst es fast sehen. 00:03:04.380 --> 00:03:08.700 Also, das Gelbe ist die Oberseite der Fläche. 00:03:08.700 --> 00:03:09.830 Dies ist die Oberseite der Fläche. 00:03:09.830 --> 00:03:11.830 Und dann ist das die Unterseite der Fläche. 00:03:11.830 --> 00:03:15.260 Also, wir interessieren uns für dieses Volumen darunter. 00:03:15.260 --> 00:03:17.840 Lass mich dir die richtige Fläche zeigen. 00:03:17.840 --> 00:03:20.280 Also, dieses Volumen hier unten. 00:03:20.280 --> 00:03:21.060 Ich denke, du hast es verstanden. 00:03:21.060 --> 00:03:22.560 Also, wie gehen wir vor? 00:03:22.560 --> 00:03:26.590 Nun, im letzten Beispiel haben wir gesagt, also, nehmen wir 00:03:26.590 --> 00:03:29.920 ein beliebiges y und für dieses y, lass uns die 00:03:29.920 --> 00:03:31.250 Fläche unter der Kurve herausfinden. 00:03:31.250 --> 00:03:36.280 Also wenn wir y festlegen -- Wenn man die Aufgabe löst, 00:03:36.280 --> 00:03:39.550 muss man nicht so genau darüber nachdenken, aber ich will 00:03:39.550 --> 00:03:40.410 dir ein Gespür dafür geben. 00:03:40.410 --> 00:03:43.810 Also wenn wir hier ein beliebiges y wählen. 00:03:43.810 --> 00:03:48.250 Bei diesem y, können wir es -- Wenn wir ein fixes y haben, 00:03:48.250 --> 00:03:51.480 können wir die Funktion von x und y fast als eine Funktion nur von x 00:03:51.480 --> 00:03:56.620 betrachten, für dieses gegebene y. 00:03:56.620 --> 00:04:02.610 Und so probieren wir herauszufinden, was der Betrag 00:04:02.610 --> 00:04:04.470 dieser Fläche unter dieser Kurve ist. 00:04:08.430 --> 00:04:11.820 Du solltest das als eine Art von hoch runter Kurve für ein bestimmtes y sehen. 00:04:11.820 --> 00:04:15.870 Wenn wir y kennen, können wir bestimmen -- zum Beispiel, wenn y 00:04:15.870 --> 00:04:20.200 5 ist, dann wird diese Funktion z gleich 25 mal x. 00:04:20.200 --> 00:04:22.570 Und dann ist es einfach die Fläche unter 00:04:22.570 --> 00:04:23.350 der Kurve zu bestimmen. 00:04:23.350 --> 00:04:26.070 Wir werden die Fläche unter der Kurve als Funktion von y darstellen. 00:04:26.070 --> 00:04:27.500 Wir tun so als wäre es nur eine Konstante. 00:04:27.500 --> 00:04:28.770 Also, los geht's. 00:04:28.770 --> 00:04:33.680 Wenn wir ein dx haben, dann ist das unsere Änderung in x. 00:04:33.680 --> 00:04:36.710 Und dann ist die Höhe aller unserer Rechtecke eine 00:04:36.710 --> 00:04:40.010 Funktion -- es ist z. 00:04:40.010 --> 00:04:42.660 Die Höhe z ist eine Funktion von x und y. 00:04:42.660 --> 00:04:45.190 Also können wir integrieren. 00:04:45.190 --> 00:04:50.020 Also, die Fläche von allen wird unsere Funktion x mal y im Quadrat. 00:04:50.020 --> 00:04:54.760 Ich mache es hier, weil mir der Platz ausgeht. 00:04:54.760 --> 00:04:59.015 x mal y im Quadrat mal die Breite, also dx. 00:04:59.015 --> 00:05:05.710 Und wenn wir die Fläche von so einer Scheibe wollen, für ein gegebenes y 00:05:05.710 --> 00:05:08.030 dann integrieren wir einfach entlang der x-Achse. 00:05:08.030 --> 00:05:10.095 Wir integrieren von x gleich 0 bis 00:05:10.095 --> 00:05:12.230 x gleich 2. 00:05:12.230 --> 00:05:15.210 Von x gleich 0 bis 2. 00:05:15.210 --> 00:05:16.790 Na schön. 00:05:16.790 --> 00:05:21.050 Jetzt wollen wir aber nicht nur wissen, wie groß die Fläche unter der 00:05:21.050 --> 00:05:23.600 Kurve für ein bestimmtes y ist, wir wollen 00:05:23.600 --> 00:05:25.830 die Fläche unter der ganzen Kurve berechnen. 00:05:25.830 --> 00:05:27.570 Also was wir machen ist folgendes 00:05:27.570 --> 00:05:33.370 Die Fläche unter der Kurve, nicht die Oberfläche -- unter dieser Kurve 00:05:33.370 --> 00:05:37.050 für ein bestimmtes y, ist dieser Ausdruck. 00:05:37.050 --> 00:05:40.550 Nun, was passiert, wenn wir ein bisschen Tiefe hinzufügen? 00:05:40.550 --> 00:05:45.540 Wenn ich diese Fläche mit dy multipliziere, kriegt es ein 00:05:45.540 --> 00:05:46.850 kleines bisschen Tiefe, stimmt's? 00:05:46.850 --> 00:05:50.140 Wir haben also sowas wie eine dreidimensionale Scheibe des 00:05:50.140 --> 00:05:51.240 Volumens, das uns interessiert. 00:05:51.240 --> 00:05:52.870 Es ist schwer vorzustellen, ich weiß. 00:05:52.870 --> 00:05:54.350 Ich hole das wieder her. 00:05:54.350 --> 00:05:58.560 Also, wenn ich hier eine Scheibe habe, wir haben gerade die Fläche 00:05:58.560 --> 00:06:01.400 einer Scheibe herausgefunden, und ich multipliziere sie mit dy, um ein 00:06:01.400 --> 00:06:04.200 bisschen Tiefe hinzuzufügen. 00:06:04.200 --> 00:06:08.000 Also, man multipliziert es mit dy, um ein bisschen Tiefe hinzuzufügen. 00:06:08.000 --> 00:06:11.550 Wenn wir dann das ganze Volumen unter der Kurve wollen, addieren wir 00:06:11.550 --> 00:06:14.070 alle diese dy's, nehmen nun die Summe aller dieser 00:06:14.070 --> 00:06:17.300 unendlich kleinen Volumen. 00:06:17.300 --> 00:06:21.450 Wir integrieren also von y gleich 0 00:06:21.450 --> 00:06:22.570 bis y gleich 1. 00:06:22.570 --> 00:06:24.290 Der Graph ist ein bisschen schwer zu verstehen, ich weiß, aber 00:06:24.290 --> 00:06:27.180 du möchtest vielleicht das erste Video nochmal anschauen. 00:06:27.180 --> 00:06:30.540 Ich hatte eine Fläche, die etwas einfacher zu verstehen ist. 00:06:30.540 --> 00:06:33.590 So, wie werten wir das jetzt aus? 00:06:33.590 --> 00:06:36.510 Nun, wie gesagt, man rechnet von 00:06:36.510 --> 00:06:37.500 innen nach außen. 00:06:40.480 --> 00:06:43.510 Es ist wie das Invertieren einer partiellen Ableitung. 00:06:43.510 --> 00:06:47.540 Also, wir integrieren hier in x, also können wir 00:06:47.540 --> 00:06:49.420 y als Konstante betrachten. 00:06:49.420 --> 00:06:51.670 So als wäre es die Zahl 5 oder sowas. 00:06:51.670 --> 00:06:53.620 Es hat keinen Einfluss auf das Integral. 00:06:53.620 --> 00:06:57.060 Also, was ist die Stammfunktion von x mal y im Quadrat? 00:06:57.060 --> 00:07:00.160 Nun, die Stammfunktion von x mal im Quadrat -- Ich will mit 00:07:00.160 --> 00:07:02.280 den Farben konsistent bleiben. 00:07:02.280 --> 00:07:05.720 Nun, die Stammfunktion von x ist x hoch 1/2 -- 00:07:05.720 --> 00:07:09.080 Entschuldigung. x im Quadrat, geteilt durch 2. 00:07:09.080 --> 00:07:12.180 Und y im Quadrat ist nur eine Konstante, stimmt's? 00:07:12.180 --> 00:07:14.580 Und wir müssen uns nicht um plus c kümmern, weil 00:07:14.580 --> 00:07:15.960 es ja ein bestimmtes Integral ist. 00:07:15.960 --> 00:07:18.990 Und wir werten das aus bei 2 und 0. 00:07:18.990 --> 00:07:21.190 Und dann haben wir immer noch das äußere Integral 00:07:21.190 --> 00:07:22.650 nach y. 00:07:22.650 --> 00:07:25.190 Also, wenn wir das haben, integrieren wir es 00:07:25.190 --> 00:07:29.800 von 0 bis 1 nach dy. 00:07:29.800 --> 00:07:31.470 Nun, was gibt das? 00:07:31.470 --> 00:07:32.912 Wir setzen eine 2 hier ein. 00:07:32.912 --> 00:07:36.276 Wenn man dort 2 einsetzt, kriegt man 2 im Quadrat geteilt durch 2. 00:07:39.230 --> 00:07:41.740 Das ist einfach 4 durch 2. 00:07:41.740 --> 00:07:43.565 Also ist es 2 mal y im Quadrat. 00:07:47.670 --> 00:07:51.210 Minus 0 im Quadrat durch 2 mal y im Quadrat. 00:07:51.210 --> 00:07:52.080 Aber das ist einfach 0. 00:07:52.080 --> 00:07:52.950 Also minus 0. 00:07:52.950 --> 00:07:55.220 Ich schreibe es nicht hin, hoffentlich ist dir das schon 00:07:55.220 --> 00:07:56.190 in Fleisch und Blut übergegangen. 00:07:56.190 --> 00:07:58.510 Wir haben es einfach an diesen 2 Endpunkten ausgewertet 00:07:58.510 --> 00:08:00.660 und mir geht der Platz aus. 00:08:00.660 --> 00:08:03.710 Also, das gab 2 mal y im Quadrat und jetzt berechnen wir 00:08:03.710 --> 00:08:05.580 das äußere Integral. 00:08:05.580 --> 00:08:08.910 0, 1, dy. 00:08:08.910 --> 00:08:10.230 Und das ist wichtig zu verstehen. 00:08:10.230 --> 00:08:13.120 Als wir das innere Integral berechnet haben, kannst du dich 00:08:13.120 --> 00:08:13.820 erinnern, was wir gemacht haben? 00:08:13.820 --> 00:08:16.950 Wir haben versucht herauszufinden, was die Fläche dieser 00:08:16.950 --> 00:08:19.180 Oberfläche für ein bestimmtes y war. 00:08:19.180 --> 00:08:23.070 Nun, nicht dieser Oberfläche, der Flächeninhalt unter der Oberfläche 00:08:23.070 --> 00:08:24.380 für ein gegebenes y. 00:08:24.380 --> 00:08:27.190 Für ein gegebenes y wird die Oberfläche wie zu einer Kurve. 00:08:27.190 --> 00:08:30.110 Und wir haben versucht die Fläche unter dieser Kurve zu berechnen. 00:08:30.110 --> 00:08:33.540 im traditionellen Sinn. 00:08:33.540 --> 00:08:36.870 Diese Fläche war eine Funktion von y. 00:08:36.870 --> 00:08:40.500 Und das ist sinnvoll, weil abhängig vom y, das wir wählen, 00:08:40.500 --> 00:08:44.390 kriegen wir hier einen anderen Flächeninhalt. 00:08:44.390 --> 00:08:47.810 Offensichtlich ändert die Fläche -- wie eine Wand die senkrecht runtergeht -- 00:08:47.810 --> 00:08:52.620 abhängig vom y-Wert, den wir wählen. 00:08:52.620 --> 00:08:55.760 Wir haben also eine Funktion von y erhalten und nun 00:08:55.760 --> 00:08:58.330 integrieren wir einfach nach y und das ist einfach ein 00:08:58.330 --> 00:09:00.810 bestimmtes Integral ohne Schnickschnack. 00:09:00.810 --> 00:09:03.350 Was ist die Stammfunktion von 2 mal y im Quadrat? 00:09:03.350 --> 00:09:08.140 Nun, das ist 2 mal y hoch 3, geteilt durch 3, 00:09:08.140 --> 00:09:11.510 oder 2/3 mal y hoch 3. 00:09:11.510 --> 00:09:14.740 Wir werten das bei 1 und bei 0 aus, das 00:09:14.740 --> 00:09:16.100 gibt -- mal sehen. 00:09:16.100 --> 00:09:17.480 1 hoch 3 mal 2/3. 00:09:17.480 --> 00:09:18.870 Das gibt 2/3. 00:09:18.870 --> 00:09:20.460 Minus 0 hoch 3 mal 2/3. 00:09:20.460 --> 00:09:21.580 Das ist einfach 0. 00:09:21.580 --> 00:09:25.270 Also gibt es 2/3. 00:09:25.270 --> 00:09:29.620 Wenn unsere Einheiten Meter wären, wären das 2/3 00:09:29.620 --> 00:09:31.230 Meter hoch 3 oder Kubikmeter. 00:09:31.230 --> 00:09:32.280 Na bitte. 00:09:32.280 --> 00:09:34.890 So berechnet man ein Doppelintegral. 00:09:34.890 --> 00:09:36.450 Da gibt's eigentlich keine neue Fähigkeit. 00:09:36.450 --> 00:09:38.650 Man muss einfach den Überblick über die Variablen behalten. 00:09:38.650 --> 00:09:39.760 Behandle sie als Konstanten, 00:09:39.760 --> 00:09:41.620 wenn sie als Konstanten behandelt werden müssen und behandle sie 00:09:41.620 --> 00:09:44.710 als Integrationsvariable, wenn es angebracht ist. 00:09:44.710 --> 00:09:49.090 Also, bis zum nächsten Video.