...
Ojala ya tienes un poco de intuicion sobre lo que un dobleintegral es
o como le hacemos para averiguar el volumen
debajo de una superficie.
Ahora hay que calcularlo, y creo que asi ya todo
se va a volver mucho mas concreto.
Vamos a decir que yo tengo la superficie, z, y es
una funcion de X y Y.
y es igual a XY quadrado
Es una superficie en el espacio tridimensional.
Y yo quiero saber el volumen entre esta superficie.
Y el plano XY
Y el dominio en el plano XY que me importa es X
mas de o igual a 0, y menos de o igual a 2.
y es mas de o igual a 0,
y menos de o igual a 1
Hay que ver como se mira para que
tengamos una buena visualizacion
lo tengo graficado aqui y podemos moverlo
Esto es z es igual a xy cuadrado
esto es la caja delimitadora, verdad? x va de 0 a
2; y va de 0 a 1.
literalmente queremos esto-- ya casi podemos ver,
el volumen-- bueno, no tanto
exactamente debe de ver lo como el volumen bajo de esta superficie
Entre esta superficie, la superficie superior, y el plano xy.
y yo lo voy a mover para que usted pueda tener un mejor
sentido de el volumen real.
Deje me girar.
deberia usar el raton para esto
Bueno, es este espacio, por debajo de aqui
Es como un refugio improvisado o algo..
Puedo girar lo un poco
lo que esta por debajo de esto, entre los dos superficies-
eso es el volumen.
Whoops, lo gire
hay lo tienes.
Eso es el volumen que nos importa.
Vamos a descubrir cómo hacerlo y vamos a tratar de lograr
un poco de intuición a medida que avancemos.
Voy a dibujar una versión no tan impresionante del gráfico,
pero creo que va a a servirnos por ahora.
dejame dibujar mis ejes
...
esto es mi eje X, este es mi eje Y, y este es mi eje Z.
...
x,y,z
x se va de 0 a 2
A que decir que eso es 2.
y se va de 0 a 1.
Entonces estamos hablando de el volumen arriba de este rectangulo
en el plano xy.
Y luego la superficie, voy a hacer mi mejor intento para dibujarlo
lo voy a dibujar en un diferente color.
Estoy mirando la foto.
En este fin se ve como algo asi.
...
Y luego tiene una linea recta.
Vamos a ver si puedo dibujar esta superficie hacia abajo asi.
Si you fuera bueno lo podria colorear
Se ve algo asi.
Si lo coloreara la superficie se veria
algo como eso.
y esto aqui es sobre esto.
Esto es la esquina inferior izquierda, casi se puede ver.
Dejame solo decir el amarillo es lo de arriba de la superficie.
Esto es lo de arriba de la superficie .
Y esto es lo de bajo de la superficie
lo que nos importa de esto es el volumen abajo de aqui.
Deja me enseñarte la superficie real.
Este volumen por abajo de aqui.
Creo que ya tienes la idea.
Entonces como hacemos eso?
Bueno, en el ultimo ejemplo dijimos: bueno, hay que escojer
un Y arbitrario y para esa Y, hay que descubrir
el area de bajo de la curva
Asi que si arreglamos la Y -- cuando en realidad hagas el problema
no tienes que pensarlo en detalle, pero yo
quiero darte la intuicion
Asi que si escogemos una Y arbitraria aqui
Entonces en esa Y, si ya fijamos la Y, entonces
la función de X y Y, esto lo puedes ver casi como una función
de solo X por esa dada Y
Y estamos averiguando el valor de esto
de la área debajo de la curva
...
Deberias verlo como una curva que va de arriba hacia abajo
por la Y dada. Asi que si sabemos Y podemos averiguar
(por ejemplo) si Y= 5, esta función se convertiría a Z = 25x
Y así seria fácil averiguar el valor
de la curva abajo
Así que haremos el valor debajo de la curva como una función de Y
Vamos a pretender que esto solo es un constante
Asi que hay que hacer eso.
Entonces, si tenemos una DX esa es nuestro cambio en la X
Y luego nuestra altura de cada rectángulo va a ser
una funcion---va a ser Z
La altura va a ser Z, que es una funcion de X y Y
Entonces podemos tomar el integral
Y la área de cada uno de estos va a ser nuestra función
XY al cuadrado-- Lo voy a hacer aquí porque para guardar espacio
XY al cuadrado por lo ancho, que es DX
Y si queremos el área de una rebanada de una Y dad, solo
integramos a lo largo de el eje X
Vamos a integrar desde X = 0
hasta X = 2
Desde X = 0 a 2
Bueno.
Pero ahora no solo queremos averiguar el área debajo de
la curva en una rebanada, una particular Y, queremos
averiguar el área entera de la curva.
Entonces lo que hacemos es decir : Bueno,
El área debajo de la curva, no la superficie--- debajo de esta curva
por una Y particular, es esta expresión
Bueno, que tal si le doy un poco de profundidad
Si multiplico esta área por DY entonces me daría un
poco de profundidad, verdad?
Tendríamos una rebanada en tercera dimensión
de el volumen que nos preocupa
Se que es difícil de imaginar
Déjame traer esto aquí
Entonces se tengo una rebanada aquí, hemos averiguado el área de
una rebanada y después la estoy multiplicando por DY para
darle un poco de profundidad
Así que multiplica lo por DY para darle profundidad
y después si queremos el volumen entero debajo de la curva
sumamos todos los DYs juntos, y tomamos la suma infinita de estos
infinitamente pequeños volúmenes
Y integraremos desde Y=0
a Y=1
Se que este gráfico es un poco difícil de entender, pero tu
puedes, si quieres, volver a ver el primer video
Ahí tengo una superficie mas fácil de entender
Ahora, como evaluamos esto?
Bueno, como dije, lo evalúas desde
el interior y vas hacia afuera
...
Es tomando una derivativa parcial en reversa
entonces estamos integrando aquí con respecto a X, entonces podemos
tratar a Y como un constante
Como si fuera el numero 5 o algo asi
Así que en realidad no cambia el integral
entonces cual es el anti derivativo de XY cuadrado
Bueno, el anti derivativo de XY cuadrado
--quiero estar consistente en mis colores
Bueno, el anti derivativo de X es
X cuadrado divido entre 2
Y después Y cuadrado es solo en constante verdad?
y así no tenemos que preocuparnos de +c porque
este es integral definido
Y vamos a evaluar eso en 2 y 0
y todavía tenemos el integral afuera
son respecto a Y
entonces cuando averigüemos eso, vamos a integrarlo
desde 0 a 1 con respecto a DY
Ahora, esto a que evalúa?
Hay que poner un 2 aqui
Y si pones un 2 ahí vas a obtener 2 cuadrado dividido por 2
...
Eso solo es 4 dividido entre 2
entonces es 2Y cuadrado
...
menos 0 cuadrado sobre 2 multiplicado por Y cuadrado
Bueno, eso solo va a ser 0
entonces es menos 0
No voy a escribir eso porque espero
que ya sepas como hacerlo
Solo evaluamos esto en los 2 puntos finales y
me falta espacio
entonces si evaluamos en 2Y cuadrado y ahora evaluamos
la integral exterior
0, 1 DY
Y esto es algo importante de realizar
cuando evaluamos este integral interior, recuerda
que es lo que estábamos haciendo?
Estábamos tratando de averiguar por una Y dada
el área de esta superficie
Bueno, no esta superficie, pero el área debajo de la superficie
de una Y dada
Para una Y dada, esta superficie se transforma en una curva
y estamos tratando de averiguar el área debajo de esa curva
en un sentido tradicional
Esto termino siendo una función de Y
Y eso tiene sentido porque dependiendo en que Y escogemos
vamos a tener una área diferente aquí
Obviamente, dependiendo en que Y escogemos, el area
como una pared hacia abajo, esa es el área que cambiara
entonces tenemos una funcion de Y, cuando evaluemos esto y
ahora solo integramos con respecto a Y, esto solo es simplemente
vanilla integración definida
Cual es el anti derivativo de 2Y cuadrado?
bueno, eso es igual a 2 por Y al tercero sobre 3
o 2/3Y al cubo
vamos a evaluar eso en 1 y 0, que
es igual a--déjame ver
1 al cubo por 2/3
eso es 2/3
menos 0 al cubo por 2/3
bueno, eso solo es 0
entonces igual a 2/3
si nuestras unidades fueran metros esto seria 2/3 metros
en cubos o metros cubicos
pero ahi esta
Asi es como evaluas un integral doble
No hay una nueva habilidad aqui
Solo tienes que saber como rastrear los variables
Tratarlos constantemente
Ellas necesitan ser tratados como constantes, y después
como variables de integración cuando es apropiado
De todos modos, te veré en el siguiente vídeo :)
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