... Ojala ya tienes un poco de intuicion sobre lo que un dobleintegral es o como le hacemos para averiguar el volumen debajo de una superficie. Ahora hay que calcularlo, y creo que asi ya todo se va a volver mucho mas concreto. Vamos a decir que yo tengo la superficie, z, y es una funcion de X y Y. y es igual a XY quadrado Es una superficie en el espacio tridimensional. Y yo quiero saber el volumen entre esta superficie. Y el plano XY Y el dominio en el plano XY que me importa es X mas de o igual a 0, y menos de o igual a 2. y es mas de o igual a 0, y menos de o igual a 1 Hay que ver como se mira para que tengamos una buena visualizacion lo tengo graficado aqui y podemos moverlo Esto es z es igual a xy cuadrado esto es la caja delimitadora, verdad? x va de 0 a 2; y va de 0 a 1. literalmente queremos esto-- ya casi podemos ver, el volumen-- bueno, no tanto exactamente debe de ver lo como el volumen bajo de esta superficie Entre esta superficie, la superficie superior, y el plano xy. y yo lo voy a mover para que usted pueda tener un mejor sentido de el volumen real. Deje me girar. deberia usar el raton para esto Bueno, es este espacio, por debajo de aqui Es como un refugio improvisado o algo.. Puedo girar lo un poco lo que esta por debajo de esto, entre los dos superficies- eso es el volumen. Whoops, lo gire hay lo tienes. Eso es el volumen que nos importa. Vamos a descubrir cómo hacerlo y vamos a tratar de lograr un poco de intuición a medida que avancemos. Voy a dibujar una versión no tan impresionante del gráfico, pero creo que va a a servirnos por ahora. dejame dibujar mis ejes ... esto es mi eje X, este es mi eje Y, y este es mi eje Z. ... x,y,z x se va de 0 a 2 A que decir que eso es 2. y se va de 0 a 1. Entonces estamos hablando de el volumen arriba de este rectangulo en el plano xy. Y luego la superficie, voy a hacer mi mejor intento para dibujarlo lo voy a dibujar en un diferente color. Estoy mirando la foto. En este fin se ve como algo asi. ... Y luego tiene una linea recta. Vamos a ver si puedo dibujar esta superficie hacia abajo asi. Si you fuera bueno lo podria colorear Se ve algo asi. Si lo coloreara la superficie se veria algo como eso. y esto aqui es sobre esto. Esto es la esquina inferior izquierda, casi se puede ver. Dejame solo decir el amarillo es lo de arriba de la superficie. Esto es lo de arriba de la superficie . Y esto es lo de bajo de la superficie lo que nos importa de esto es el volumen abajo de aqui. Deja me enseñarte la superficie real. Este volumen por abajo de aqui. Creo que ya tienes la idea. Entonces como hacemos eso? Bueno, en el ultimo ejemplo dijimos: bueno, hay que escojer un Y arbitrario y para esa Y, hay que descubrir el area de bajo de la curva Asi que si arreglamos la Y -- cuando en realidad hagas el problema no tienes que pensarlo en detalle, pero yo quiero darte la intuicion Asi que si escogemos una Y arbitraria aqui Entonces en esa Y, si ya fijamos la Y, entonces la función de X y Y, esto lo puedes ver casi como una función de solo X por esa dada Y Y estamos averiguando el valor de esto de la área debajo de la curva ... Deberias verlo como una curva que va de arriba hacia abajo por la Y dada. Asi que si sabemos Y podemos averiguar (por ejemplo) si Y= 5, esta función se convertiría a Z = 25x Y así seria fácil averiguar el valor de la curva abajo Así que haremos el valor debajo de la curva como una función de Y Vamos a pretender que esto solo es un constante Asi que hay que hacer eso. Entonces, si tenemos una DX esa es nuestro cambio en la X Y luego nuestra altura de cada rectángulo va a ser una funcion---va a ser Z La altura va a ser Z, que es una funcion de X y Y Entonces podemos tomar el integral Y la área de cada uno de estos va a ser nuestra función XY al cuadrado-- Lo voy a hacer aquí porque para guardar espacio XY al cuadrado por lo ancho, que es DX Y si queremos el área de una rebanada de una Y dad, solo integramos a lo largo de el eje X Vamos a integrar desde X = 0 hasta X = 2 Desde X = 0 a 2 Bueno. Pero ahora no solo queremos averiguar el área debajo de la curva en una rebanada, una particular Y, queremos averiguar el área entera de la curva. Entonces lo que hacemos es decir : Bueno, El área debajo de la curva, no la superficie--- debajo de esta curva por una Y particular, es esta expresión Bueno, que tal si le doy un poco de profundidad Si multiplico esta área por DY entonces me daría un poco de profundidad, verdad? Tendríamos una rebanada en tercera dimensión de el volumen que nos preocupa Se que es difícil de imaginar Déjame traer esto aquí Entonces se tengo una rebanada aquí, hemos averiguado el área de una rebanada y después la estoy multiplicando por DY para darle un poco de profundidad Así que multiplica lo por DY para darle profundidad y después si queremos el volumen entero debajo de la curva sumamos todos los DYs juntos, y tomamos la suma infinita de estos infinitamente pequeños volúmenes Y integraremos desde Y=0 a Y=1 Se que este gráfico es un poco difícil de entender, pero tu puedes, si quieres, volver a ver el primer video Ahí tengo una superficie mas fácil de entender Ahora, como evaluamos esto? Bueno, como dije, lo evalúas desde el interior y vas hacia afuera ... Es tomando una derivativa parcial en reversa entonces estamos integrando aquí con respecto a X, entonces podemos tratar a Y como un constante Como si fuera el numero 5 o algo asi Así que en realidad no cambia el integral entonces cual es el anti derivativo de XY cuadrado Bueno, el anti derivativo de XY cuadrado --quiero estar consistente en mis colores Bueno, el anti derivativo de X es X cuadrado divido entre 2 Y después Y cuadrado es solo en constante verdad? y así no tenemos que preocuparnos de +c porque este es integral definido Y vamos a evaluar eso en 2 y 0 y todavía tenemos el integral afuera son respecto a Y entonces cuando averigüemos eso, vamos a integrarlo desde 0 a 1 con respecto a DY Ahora, esto a que evalúa? Hay que poner un 2 aqui Y si pones un 2 ahí vas a obtener 2 cuadrado dividido por 2 ... Eso solo es 4 dividido entre 2 entonces es 2Y cuadrado ... menos 0 cuadrado sobre 2 multiplicado por Y cuadrado Bueno, eso solo va a ser 0 entonces es menos 0 No voy a escribir eso porque espero que ya sepas como hacerlo Solo evaluamos esto en los 2 puntos finales y me falta espacio entonces si evaluamos en 2Y cuadrado y ahora evaluamos la integral exterior 0, 1 DY Y esto es algo importante de realizar cuando evaluamos este integral interior, recuerda que es lo que estábamos haciendo? Estábamos tratando de averiguar por una Y dada el área de esta superficie Bueno, no esta superficie, pero el área debajo de la superficie de una Y dada Para una Y dada, esta superficie se transforma en una curva y estamos tratando de averiguar el área debajo de esa curva en un sentido tradicional Esto termino siendo una función de Y Y eso tiene sentido porque dependiendo en que Y escogemos vamos a tener una área diferente aquí Obviamente, dependiendo en que Y escogemos, el area como una pared hacia abajo, esa es el área que cambiara entonces tenemos una funcion de Y, cuando evaluemos esto y ahora solo integramos con respecto a Y, esto solo es simplemente vanilla integración definida Cual es el anti derivativo de 2Y cuadrado? bueno, eso es igual a 2 por Y al tercero sobre 3 o 2/3Y al cubo vamos a evaluar eso en 1 y 0, que es igual a--déjame ver 1 al cubo por 2/3 eso es 2/3 menos 0 al cubo por 2/3 bueno, eso solo es 0 entonces igual a 2/3 si nuestras unidades fueran metros esto seria 2/3 metros en cubos o metros cubicos pero ahi esta Asi es como evaluas un integral doble No hay una nueva habilidad aqui Solo tienes que saber como rastrear los variables Tratarlos constantemente Ellas necesitan ser tratados como constantes, y después como variables de integración cuando es apropiado De todos modos, te veré en el siguiente vídeo :) ...