WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.680
...

00:00:00.680 --> 00:00:02.980
Ojala ya tienes un poco de intuicion sobre lo que un dobleintegral es

00:00:02.980 --> 00:00:06.920
o como le hacemos para averiguar el volumen

00:00:06.920 --> 00:00:07.490
debajo de una superficie.

00:00:07.490 --> 00:00:09.910
Ahora hay que calcularlo, y creo que asi ya todo

00:00:09.910 --> 00:00:10.910
se va a volver mucho mas concreto.

00:00:10.910 --> 00:00:14.220
Vamos a decir que yo tengo la superficie, z, y es

00:00:14.220 --> 00:00:15.530
una funcion de X y Y.

00:00:15.530 --> 00:00:20.670
y es igual a XY quadrado

00:00:20.670 --> 00:00:22.850
Es una superficie en el espacio tridimensional.

00:00:22.850 --> 00:00:26.020
Y yo quiero saber el volumen entre esta superficie.

00:00:26.020 --> 00:00:28.660
Y el plano XY

00:00:28.660 --> 00:00:33.320
Y el dominio en el plano XY que me importa es X

00:00:33.320 --> 00:00:38.380
mas de o igual a 0, y menos de o igual a 2.

00:00:38.380 --> 00:00:42.450
y es mas de o igual a 0,

00:00:42.450 --> 00:00:43.740
y menos de o igual a 1

00:00:43.740 --> 00:00:45.370
Hay que ver como se mira para que

00:00:45.370 --> 00:00:47.960
tengamos una buena visualizacion

00:00:47.960 --> 00:00:50.260
lo tengo graficado aqui y podemos moverlo

00:00:50.260 --> 00:00:52.750
Esto es z es igual a xy cuadrado

00:00:52.750 --> 00:00:56.240
esto es la caja delimitadora, verdad? x va de 0 a

00:00:56.240 --> 00:00:58.300
2; y va de 0 a 1.

00:00:58.300 --> 00:01:00.720
literalmente queremos esto-- ya casi podemos ver,

00:01:00.720 --> 00:01:02.710
el volumen-- bueno, no tanto

00:01:02.710 --> 00:01:05.590
exactamente debe de ver lo como el volumen bajo de esta superficie

00:01:05.590 --> 00:01:08.530
Entre esta superficie, la superficie superior, y el plano xy.

00:01:08.530 --> 00:01:11.580
y yo lo voy a mover para que usted pueda tener un mejor

00:01:11.580 --> 00:01:14.210
sentido de el volumen real.

00:01:14.210 --> 00:01:16.250
Deje me girar.

00:01:16.250 --> 00:01:19.330
deberia usar el raton para esto

00:01:19.330 --> 00:01:21.380
Bueno, es este espacio, por debajo de aqui

00:01:21.380 --> 00:01:23.975
Es como un refugio improvisado o algo..

00:01:23.975 --> 00:01:27.060
Puedo girar lo un poco

00:01:27.060 --> 00:01:29.340
lo que esta por debajo de esto, entre los dos superficies-

00:01:29.340 --> 00:01:30.920
eso es el volumen.

00:01:30.920 --> 00:01:32.550
Whoops, lo gire

00:01:32.550 --> 00:01:33.500
hay lo tienes.

00:01:33.500 --> 00:01:35.690
Eso es el volumen que nos importa.

00:01:35.690 --> 00:01:38.490
Vamos a descubrir cómo hacerlo y vamos a tratar de lograr

00:01:38.490 --> 00:01:41.480
un poco de intuición a medida que avancemos.

00:01:41.480 --> 00:01:44.850
Voy a dibujar una versión no tan impresionante del gráfico,

00:01:44.850 --> 00:01:49.026
pero creo que va a a servirnos por ahora.

00:01:49.026 --> 00:01:50.185
dejame dibujar mis ejes

00:01:50.185 --> 00:01:52.710
...

00:01:52.710 --> 00:02:01.030
esto es mi eje X, este es mi eje Y, y este es mi eje Z.

00:02:01.030 --> 00:02:04.552
...

00:02:04.552 --> 00:02:08.814
x,y,z

00:02:08.814 --> 00:02:10.870
x se va de 0 a 2

00:02:10.870 --> 00:02:12.300
A que decir que eso es 2.

00:02:12.300 --> 00:02:16.160
y se va de 0 a 1.

00:02:16.160 --> 00:02:20.796
Entonces estamos hablando de el volumen arriba de este rectangulo

00:02:20.796 --> 00:02:23.570
en el plano xy.

00:02:23.570 --> 00:02:25.740
Y luego la superficie, voy a hacer mi mejor intento para dibujarlo

00:02:25.740 --> 00:02:27.660
lo voy a dibujar en un diferente color.

00:02:27.660 --> 00:02:30.680
Estoy mirando la foto.

00:02:30.680 --> 00:02:32.600
En este fin se ve como algo asi.

00:02:32.600 --> 00:02:36.300
...

00:02:36.300 --> 00:02:37.743
Y luego tiene una linea recta.

00:02:37.743 --> 00:02:43.580
Vamos a ver si puedo dibujar esta superficie hacia abajo asi.

00:02:43.580 --> 00:02:47.176
Si you fuera bueno lo podria colorear

00:02:47.176 --> 00:02:50.695
Se ve algo asi.

00:02:50.695 --> 00:02:55.740
Si lo coloreara la superficie se veria

00:02:55.740 --> 00:02:57.020
algo como eso.

00:02:57.020 --> 00:02:59.780
y esto aqui es sobre esto.

00:02:59.780 --> 00:03:04.380
Esto es la esquina inferior izquierda, casi se puede ver.

00:03:04.380 --> 00:03:08.700
Dejame solo decir el amarillo es lo de arriba de la superficie.

00:03:08.700 --> 00:03:09.830
Esto es lo de arriba de la superficie .

00:03:09.830 --> 00:03:11.830
Y esto es lo de bajo de la superficie

00:03:11.830 --> 00:03:15.260
lo que nos importa de esto es el volumen abajo de aqui.

00:03:15.260 --> 00:03:17.840
Deja me enseñarte la superficie real.

00:03:17.840 --> 00:03:20.280
Este volumen por abajo de aqui.

00:03:20.280 --> 00:03:21.060
Creo que ya tienes la idea.

00:03:21.060 --> 00:03:22.560
Entonces como hacemos eso?

00:03:22.560 --> 00:03:26.590
Bueno, en el ultimo ejemplo dijimos: bueno, hay que escojer

00:03:26.590 --> 00:03:29.920
un Y arbitrario y para esa Y, hay que descubrir

00:03:29.920 --> 00:03:31.250
el area de bajo de la curva

00:03:31.250 --> 00:03:36.280
Asi que si arreglamos la Y -- cuando en realidad hagas el problema

00:03:36.280 --> 00:03:39.550
no tienes que pensarlo en detalle, pero yo

00:03:39.550 --> 00:03:40.410
quiero darte la intuicion

00:03:40.410 --> 00:03:43.810
Asi que si escogemos una Y arbitraria aqui

00:03:43.810 --> 00:03:48.250
Entonces en esa Y, si ya fijamos la Y, entonces

00:03:48.250 --> 00:03:51.480
la función de X y Y, esto lo puedes ver casi como una función

00:03:51.480 --> 00:03:56.620
de solo X por esa dada Y

00:03:56.620 --> 00:04:02.610
Y estamos averiguando el valor de esto

00:04:02.610 --> 00:04:04.470
de la área debajo de la curva

00:04:04.470 --> 00:04:08.430
...

00:04:08.430 --> 00:04:11.820
Deberias verlo como una curva que va de arriba hacia abajo

00:04:11.820 --> 00:04:15.870
por la Y dada. Asi que si sabemos Y podemos averiguar

00:04:15.870 --> 00:04:20.200
(por ejemplo) si Y= 5, esta función se convertiría a Z = 25x

00:04:20.200 --> 00:04:22.570
Y así seria fácil averiguar el valor

00:04:22.570 --> 00:04:23.350
de la curva abajo

00:04:23.350 --> 00:04:26.070
Así que haremos el valor debajo de la curva como una función de Y

00:04:26.070 --> 00:04:27.500
Vamos a pretender que esto solo es un constante

00:04:27.500 --> 00:04:28.770
Asi que hay que hacer eso.

00:04:28.770 --> 00:04:33.680
Entonces, si tenemos una DX esa es nuestro cambio en la X

00:04:33.680 --> 00:04:36.710
Y luego nuestra altura de cada rectángulo va a ser

00:04:36.710 --> 00:04:40.010
una funcion---va a ser Z

00:04:40.010 --> 00:04:42.660
La altura va a ser Z, que es una funcion de X y Y

00:04:42.660 --> 00:04:45.190
Entonces podemos tomar el integral

00:04:45.190 --> 00:04:50.020
Y la área de cada uno de estos va a ser nuestra función

00:04:50.020 --> 00:04:54.760
XY al cuadrado-- Lo voy a hacer aquí porque para guardar espacio

00:04:54.760 --> 00:04:59.015
XY al cuadrado por lo ancho, que es DX

00:04:59.015 --> 00:05:05.710
Y si queremos el área de una rebanada de una Y dad, solo

00:05:05.710 --> 00:05:08.030
integramos a lo largo de el eje X

00:05:08.030 --> 00:05:10.095
Vamos a integrar desde X = 0

00:05:10.095 --> 00:05:12.230
hasta X = 2

00:05:12.230 --> 00:05:15.210
Desde X = 0 a 2

00:05:15.210 --> 00:05:16.790
Bueno.

00:05:16.790 --> 00:05:21.050
Pero ahora no solo queremos averiguar el área debajo de

00:05:21.050 --> 00:05:23.600
la curva en una rebanada, una particular Y, queremos

00:05:23.600 --> 00:05:25.830
averiguar el área entera de la curva.

00:05:25.830 --> 00:05:27.570
Entonces lo que hacemos es decir : Bueno,

00:05:27.570 --> 00:05:33.370
El área debajo de la curva, no la superficie--- debajo de esta curva

00:05:33.370 --> 00:05:37.050
por una Y particular, es esta expresión

00:05:37.050 --> 00:05:40.550
Bueno, que tal si le doy un poco de profundidad

00:05:40.550 --> 00:05:45.540
Si multiplico esta área por DY entonces me daría un

00:05:45.540 --> 00:05:46.850
poco de profundidad, verdad?

00:05:46.850 --> 00:05:50.140
Tendríamos una rebanada en tercera dimensión

00:05:50.140 --> 00:05:51.240
de el volumen que nos preocupa

00:05:51.240 --> 00:05:52.870
Se que es difícil de imaginar

00:05:52.870 --> 00:05:54.350
Déjame traer esto aquí

00:05:54.350 --> 00:05:58.560
Entonces se tengo una rebanada aquí, hemos averiguado el área de

00:05:58.560 --> 00:06:01.400
una rebanada y después la estoy multiplicando por DY para

00:06:01.400 --> 00:06:04.200
darle un poco de profundidad

00:06:04.200 --> 00:06:08.000
Así que multiplica lo por DY para darle profundidad

00:06:08.000 --> 00:06:11.550
y después si queremos el volumen entero debajo de la curva

00:06:11.550 --> 00:06:14.070
sumamos todos los DYs juntos, y tomamos la suma infinita de estos

00:06:14.070 --> 00:06:17.300
infinitamente pequeños volúmenes

00:06:17.300 --> 00:06:21.450
Y integraremos desde Y=0

00:06:21.450 --> 00:06:22.570
a Y=1

00:06:22.570 --> 00:06:24.290
Se que este gráfico es un poco difícil de entender, pero tu

00:06:24.290 --> 00:06:27.180
puedes, si quieres, volver a ver el primer video

00:06:27.180 --> 00:06:30.540
Ahí tengo una superficie mas fácil de entender

00:06:30.540 --> 00:06:33.590
Ahora, como evaluamos esto?

00:06:33.590 --> 00:06:36.510
Bueno, como dije, lo evalúas desde

00:06:36.510 --> 00:06:37.500
el interior y vas hacia afuera

00:06:37.500 --> 00:06:40.480
...

00:06:40.480 --> 00:06:43.510
Es tomando una derivativa parcial en reversa

00:06:43.510 --> 00:06:47.540
entonces estamos integrando aquí con respecto a X, entonces podemos

00:06:47.540 --> 00:06:49.420
tratar a Y como un constante

00:06:49.420 --> 00:06:51.670
Como si fuera el numero 5 o algo asi

00:06:51.670 --> 00:06:53.620
Así que en realidad no cambia el integral

00:06:53.620 --> 00:06:57.060
entonces cual es el anti derivativo de XY cuadrado

00:06:57.060 --> 00:07:00.160
Bueno, el anti derivativo de XY cuadrado

00:07:00.160 --> 00:07:02.280
--quiero estar consistente en mis colores

00:07:02.280 --> 00:07:05.720
Bueno, el anti derivativo de X es

00:07:05.720 --> 00:07:09.080
X cuadrado divido entre 2

00:07:09.080 --> 00:07:12.180
Y después Y cuadrado es solo en constante verdad?

00:07:12.180 --> 00:07:14.580
y así no tenemos que preocuparnos de +c porque

00:07:14.580 --> 00:07:15.960
este es integral definido

00:07:15.960 --> 00:07:18.990
Y vamos a evaluar eso en 2 y 0

00:07:18.990 --> 00:07:21.190
y todavía tenemos el integral afuera

00:07:21.190 --> 00:07:22.650
son respecto a Y

00:07:22.650 --> 00:07:25.190
entonces cuando averigüemos eso, vamos a integrarlo

00:07:25.190 --> 00:07:29.800
desde 0 a 1 con respecto a DY

00:07:29.800 --> 00:07:31.470
Ahora, esto a que evalúa?

00:07:31.470 --> 00:07:32.912
Hay que poner un 2 aqui

00:07:32.912 --> 00:07:36.276
Y si pones un 2 ahí vas a obtener 2 cuadrado dividido por 2

00:07:36.276 --> 00:07:39.230
...

00:07:39.230 --> 00:07:41.740
Eso solo es 4 dividido entre 2

00:07:41.740 --> 00:07:43.565
entonces es 2Y cuadrado

00:07:43.565 --> 00:07:47.670
...

00:07:47.670 --> 00:07:51.210
menos 0 cuadrado sobre 2 multiplicado por Y cuadrado

00:07:51.210 --> 00:07:52.080
Bueno, eso solo va a ser 0

00:07:52.080 --> 00:07:52.950
entonces es menos 0

00:07:52.950 --> 00:07:55.220
No voy a escribir eso porque espero

00:07:55.220 --> 00:07:56.190
que ya sepas como hacerlo

00:07:56.190 --> 00:07:58.510
Solo evaluamos esto en los 2 puntos finales y

00:07:58.510 --> 00:08:00.660
me falta espacio

00:08:00.660 --> 00:08:03.710
entonces si evaluamos en 2Y cuadrado y ahora evaluamos

00:08:03.710 --> 00:08:05.580
la integral exterior

00:08:05.580 --> 00:08:08.910
0, 1 DY

00:08:08.910 --> 00:08:10.230
Y esto es algo importante de realizar

00:08:10.230 --> 00:08:13.120
cuando evaluamos este integral interior, recuerda

00:08:13.120 --> 00:08:13.820
que es lo que estábamos haciendo?

00:08:13.820 --> 00:08:16.950
Estábamos tratando de averiguar por una Y dada

00:08:16.950 --> 00:08:19.180
el área de esta superficie

00:08:19.180 --> 00:08:23.070
Bueno, no esta superficie, pero el área debajo de la superficie

00:08:23.070 --> 00:08:24.380
de una Y dada

00:08:24.380 --> 00:08:27.190
Para una Y dada, esta superficie se transforma en una curva

00:08:27.190 --> 00:08:30.110
y estamos tratando de averiguar el área debajo de esa curva

00:08:30.110 --> 00:08:33.540
en un sentido tradicional

00:08:33.540 --> 00:08:36.870
Esto termino siendo una función de Y

00:08:36.870 --> 00:08:40.500
Y eso tiene sentido porque dependiendo en que Y escogemos

00:08:40.500 --> 00:08:44.390
vamos a tener una área diferente aquí

00:08:44.390 --> 00:08:47.810
Obviamente, dependiendo en que Y escogemos, el area

00:08:47.810 --> 00:08:52.620
como una pared hacia abajo, esa es el área que cambiara

00:08:52.620 --> 00:08:55.760
entonces tenemos una funcion de Y, cuando evaluemos esto y

00:08:55.760 --> 00:08:58.330
ahora solo integramos con respecto a Y, esto solo es simplemente

00:08:58.330 --> 00:09:00.810
vanilla integración definida

00:09:00.810 --> 00:09:03.350
Cual es el anti derivativo de 2Y cuadrado?

00:09:03.350 --> 00:09:08.140
bueno, eso es igual a 2 por Y al tercero sobre 3

00:09:08.140 --> 00:09:11.510
o 2/3Y al cubo

00:09:11.510 --> 00:09:14.740
vamos a evaluar eso en 1 y 0, que

00:09:14.740 --> 00:09:16.100
es igual a--déjame ver

00:09:16.100 --> 00:09:17.480
1 al cubo por 2/3

00:09:17.480 --> 00:09:18.870
eso es 2/3

00:09:18.870 --> 00:09:20.460
menos 0 al cubo por 2/3

00:09:20.460 --> 00:09:21.580
bueno, eso solo es 0

00:09:21.580 --> 00:09:25.270
entonces igual a 2/3

00:09:25.270 --> 00:09:29.620
si nuestras unidades fueran metros esto seria 2/3 metros

00:09:29.620 --> 00:09:31.230
en cubos o metros cubicos

00:09:31.230 --> 00:09:32.280
pero ahi esta

00:09:32.280 --> 00:09:34.890
Asi es como evaluas un integral doble

00:09:34.890 --> 00:09:36.450
No hay una nueva habilidad aqui

00:09:36.450 --> 00:09:38.650
Solo tienes que saber como rastrear los variables

00:09:38.650 --> 00:09:39.760
Tratarlos constantemente

00:09:39.760 --> 00:09:41.620
Ellas necesitan ser tratados como constantes, y después

00:09:41.620 --> 00:09:44.710
como variables de integración cuando es apropiado

00:09:44.710 --> 00:09:49.090
De todos modos, te veré en el siguiente vídeo :)

00:09:49.090 --> 00:09:49.900
...