0:00:00.680,0:00:02.980
Hopelijk voel je een beetje aan wat een dubbele

0:00:02.980,0:00:06.920
integraal is of hoe we het volume

0:00:06.920,0:00:07.490
onder een oppervlakte vinden.

0:00:07.490,0:00:09.910
Dus, laten we er eens écht gaan rekenen en dan denk ik dat het allemaal

0:00:09.910,0:00:10.910
wat conreter wordt.

0:00:10.910,0:00:14.220
Dus, zeggen we dat we de oppervlakte Z hebben en het is

0:00:14.220,0:00:15.530
een functie van x & y.

0:00:15.530,0:00:20.670
en dat is gelijk aan xy²

0:00:20.670,0:00:22.850
Het is een oppervlakte in een 3D ruimte.

0:00:22.850,0:00:26.020
En ik wil het volume weten tussen dit

0:00:26.020,0:00:28.660
oppervlak en het en het xy- vlak.

0:00:28.660,0:00:33.320
En het domein in het het xy-vlak waar het mij om gaat is

0:00:33.320,0:00:38.380
x is groter dan of gelijk aan 0, en kleiner dan of gelijk aan 2.

0:00:38.380,0:00:42.450
En y is groter dan of gelijk aan 0 en

0:00:42.450,0:00:43.740
kleiner dan of gelijk aan 1.

0:00:43.740,0:00:45.370
Laten we eens kijken hoe dat eruit ziet, zodat we er een

0:00:45.370,0:00:47.960
goed beeld bij hebben.

0:00:47.960,0:00:50.260
Dus ik heb het hier getekend en we kunnen dat roteren.

0:00:50.260,0:00:52.750
Dit is z is gelijk aan xy².

0:00:52.750,0:00:56.240
Dit zijn de begrensde ruimte, ok? x gaat van 0 tot 1;

0:00:56.240,0:00:58.300
y gaat van 0 to 1.

0:00:58.300,0:01:00.720
We willen letterlijk - je zou het bijna het

0:01:00.720,0:01:02.710
volume... - hoewel, niet bijna.

0:01:02.710,0:01:05.590
Exact zien als het volume onder dit oppervlak.

0:01:05.590,0:01:08.530
Tussen dit oppervlak, het bovenvlak, an het xy-vlak.

0:01:08.530,0:01:11.580
En ik draai hem rond zo dat je een beetje

0:01:11.580,0:01:14.210
een idee krijgt van het eigenlijke volume.

0:01:14.210,0:01:16.250
Laat ik hem eens roteren.

0:01:16.250,0:01:19.330
Ik zou de muis hiervoor moeten gebruiken.

0:01:19.330,0:01:21.380
Dus, het is de ruimte hieronder.

0:01:21.380,0:01:23.975
Het lijkt een geïmproviseerde tent, ofzo.

0:01:23.975,0:01:27.060
Ik zou hem iets kunnen roteren.

0:01:27.060,0:01:29.340
Wat er ook maar hieronder zit, tussen de twee vlakken --

0:01:29.340,0:01:30.920
dát is het volume.

0:01:30.920,0:01:32.550
Oeps, ik heb hem omgedraaid.

0:01:32.550,0:01:33.500
Hier is ie.

0:01:33.500,0:01:35.690
Dus dat is het volume waar het ons om gaat.

0:01:35.690,0:01:38.490
Laten we eens gaan uitvogelen en dan proberen we er

0:01:38.490,0:01:41.480
gaandeweg een beetje gevoel voor te krijgen.

0:01:41.480,0:01:44.850
Nou, ik ga een niet zo indrukwekkende versie tekenen van

0:01:44.850,0:01:49.026
die grafiek, maar ik denk dat het voor nu toereikend is.

0:01:49.026,0:01:50.185
Laat ik eens de assen tekenen.

0:01:52.710,0:02:01.030
Dat is mijn x-as, dat mijn y-as, en dat is mijn z-as.

0:02:04.552,0:02:08.814
x, y, z.

0:02:08.814,0:02:10.870
x gaat van 0 tot 2.

0:02:10.870,0:02:12.300
Laten we zeggen dat dit 2 is.

0:02:12.300,0:02:16.160
y gaat van 0 tot 1.

0:02:16.160,0:02:20.796
Dus nu nemen we het volume boven deze rechthoek

0:02:20.796,0:02:23.570
in het xy-vlak.

0:02:23.570,0:02:25.740
En dan het oppervlak. Ik doe mijn best om het te tekenen.

0:02:25.740,0:02:27.660
Ik zal het in een andere kleur tekenen.

0:02:27.660,0:02:30.680
Ik kijk naar het plaatje.

0:02:30.680,0:02:32.600
Van deze kant ziet het er ongeveer zó uit.

0:02:36.300,0:02:37.743
En het heeft een rechte lijn.

0:02:37.743,0:02:43.580
Laten we eens kijken of ik dit oppervlak kan tekenen als dat zo naar beneden gaat.

0:02:43.580,0:02:47.176
En als ik echt goed was, dan kon ik de schaduw tekenen.

0:02:47.176,0:02:50.695
Het ziet er ongeveer zo uit.

0:02:50.695,0:02:55.740
Als ik de schaduw teken ziet het er

0:02:55.740,0:02:57.020
ongeveer zo uit.

0:02:57.020,0:02:59.780
And dit is recht boven dit hier.

0:02:59.780,0:03:04.380
Dit is de linker onderkant en je kunt het bijna zien.

0:03:04.380,0:03:08.700
Dus, stel dat de bovenkant van het oppervlak geel is.

0:03:08.700,0:03:09.830
Dat is de bovenkant.

0:03:09.830,0:03:11.830
En dan is dit de onderkant.

0:03:11.830,0:03:15.260
Het gaat ons om het volume hieronder.

0:03:15.260,0:03:17.840
Laat me je het echte volume eens zien.

0:03:17.840,0:03:20.280
Dus, dit volume hieronder.

0:03:20.280,0:03:21.060
Ik denk dat je het idee wel snapt.

0:03:21.060,0:03:22.560
Zo, hoe doen we dat?

0:03:22.560,0:03:26.590
Nou, in het vorige voorbeeld, zeiden we, laten we een

0:03:26.590,0:03:29.920
arbitraire y nemen en voor die y uitvissen wat

0:03:29.920,0:03:31.250
de oppervlakte onder de kromme is.

0:03:31.250,0:03:36.280
Dus als we een y nemen -- als je de opgave zelf doet,

0:03:36.280,0:03:39.550
hoef je hierover niet zo gedetaileerd na te denken, maar ik wil dat je er

0:03:39.550,0:03:40.410
iets van gaat aanvoelen.

0:03:40.410,0:03:43.810
We nemen dus een willekeurige y hier.

0:03:43.810,0:03:48.250
Dus op die y -- zou je kunnen zeggen -- als we een vaste y hebben,

0:03:48.250,0:03:51.480
dan is de functie van x en y - je kunt het bijna als een functie van x en y zien.

0:03:51.480,0:03:56.620
Of sclechts x voor deze y

0:03:56.620,0:04:02.610
En zo zijn we min of meer de waarde van de

0:04:02.610,0:04:04.470
oppervlakte onder deze kromme aan het uitvogelen.

0:04:08.430,0:04:11.820
Je moet dit zien als een, soort van, op en neer kromme voor een gegeven y.

0:04:11.820,0:04:15.870
Dus als we een y weten, kunnen we erachter komen -- bijv. als

0:04:15.870,0:04:20.200
y = 5, wordt deze functie; z = 25x

0:04:20.200,0:04:22.570
En dan is het simpel om de waarde te vinden

0:04:22.570,0:04:23.350
van de kromme hieronder

0:04:23.350,0:04:26.070
Dus wij maken de waarde onder de kromme een functie van y.

0:04:26.070,0:04:27.500
Doen alsof het constant is.

0:04:27.500,0:04:28.770
Laten we dat doen.

0:04:28.770,0:04:33.680
Dus als we dx hebben, dat is onze verandering van x,

0:04:33.680,0:04:36.710
Dan is de hoogte van elke rechthoek

0:04:36.710,0:04:40.010
functie -- het wordt z.

0:04:40.010,0:04:42.660
De hoogte is z, als functie van x en y.

0:04:42.660,0:04:45.190
Nu kunnen we de integraal nemen.

0:04:45.190,0:04:50.020
Dus, de oppervlakte van elk van deze wordt onze functie,

0:04:50.020,0:04:54.760
xy² -- ik doe het even hier vanwege ruimtetekort.

0:04:54.760,0:04:59.015
xy² keer de breedte, dat is dx

0:04:59.015,0:05:05.710
En als we de oppervlakte van dit plakje willen weten voor een zekere y, dan

0:05:05.710,0:05:08.030
integreren we gewoon langs de x-as

0:05:08.030,0:05:10.095
we gaan integreren van x = 0

0:05:10.095,0:05:12.230
tot x = 2.

0:05:12.230,0:05:15.210
Van x = 0 tot 2

0:05:15.210,0:05:16.790
Prima.

0:05:16.790,0:05:21.050
Wel, we willen niet alleen maar de oppervlakte vinden onder

0:05:21.050,0:05:23.600
de kromme bij één plakje, voor één y-waarde, we willen

0:05:23.600,0:05:25.830
de hele ruimte onder de kromme weten.

0:05:25.830,0:05:27.570
Dus wat we doen is - zo van - OK, best.

0:05:27.570,0:05:33.370
De ruimte onder de kromme, niet het oppervlak -- onder deze kromme

0:05:33.370,0:05:37.050
voor een zekere y, dat is deze vergelijking.

0:05:37.050,0:05:40.550
Wat als ik er wat meer inhoud aan geef?

0:05:40.550,0:05:45.540
Als ik dit oppervlak vermenigvuldig met dy, dan moet met dat

0:05:45.540,0:05:46.850
een beetje inhoud, toch?

0:05:46.850,0:05:50.140
We hebben een soort van 3d-plak

0:05:50.140,0:05:51.240
van het volume waar het ons om gaat.

0:05:51.240,0:05:52.870
Ik weet dat het lastig voor te stellen is.

0:05:52.870,0:05:54.350
Brengen we deze hier.

0:05:54.350,0:05:58.560
Ik had dus een plak hier. We hebben de oppervlakte van die

0:05:58.560,0:06:01.400
plak gevonden en nu vermenigvuldig ik dat met dy om er

0:06:01.400,0:06:04.200
inhoud aan te geven.

0:06:04.200,0:06:08.000
Dus door te vermenigvuldigen met dy geef ik er inhoud aan.

0:06:08.000,0:06:11.550
En als we dan het hele volume onder de curve willen, tellen

0:06:11.550,0:06:14.070
we alle dy's bij elkaar op, en nemen de oneindige som van deze

0:06:14.070,0:06:17.300
oneindig kleine volumes.

0:06:17.300,0:06:21.450
Met andere woorden, we integreren van y = 0

0:06:21.450,0:06:22.570
tot y = 1.

0:06:22.570,0:06:24.290
Ik snap dat deze grafiek een beetje moeilijk te begrijpen is, maar je

0:06:24.290,0:06:27.180
kan altijd de eerste video nog een keer bekijken.

0:06:27.180,0:06:30.540
Daar had ik een iets eenvoudiger te begrijpen oppervlak.

0:06:30.540,0:06:33.590
Dus, hoe gaan we dit uitwerken nu?

0:06:33.590,0:06:36.510
Nou, zoals we zeiden, je werkt uit vanaf

0:06:36.510,0:06:37.500
de binnenkant en werkt naar buiten.

0:06:40.480,0:06:43.510
Net als een partiele afgeleide, maar dan andersom.

0:06:43.510,0:06:47.540
Hier integreren we over x, dus we kunnen

0:06:47.540,0:06:49.420
y als een constante behandelen.

0:06:49.420,0:06:51.670
Net alsof het een getal is, 5 ofzo.

0:06:51.670,0:06:53.620
Het heeft geen invloed op de integraal.

0:06:53.620,0:06:57.060
Wat is dan nu de integraal van xy²?

0:06:57.060,0:07:00.160
Welnu, de integraal van xy², -- laat ik eerst

0:07:00.160,0:07:02.280
zorgen dat ik met de kleuren consistent blijf.

0:07:02.280,0:07:05.720
De integraal van x is dus, x tot de macht een half,..

0:07:05.720,0:07:09.080
sorry, x² delen door 2.

0:07:09.080,0:07:12.180
En y² is dan gewoon een constante, toch?

0:07:12.180,0:07:14.580
En we hoeven geen rekening te houden met 'plus C', omdat

0:07:14.580,0:07:15.960
dit een bepaalde integraal is.

0:07:15.960,0:07:18.990
En dat werken we uit op 2, en op 0.

0:07:18.990,0:07:21.190
Dan hebben we nog steeds de buitenste integraal

0:07:21.190,0:07:22.650
welke y betrekt.