Hopelijk voel je een beetje aan wat een dubbele
integraal is of hoe we het volume
onder een oppervlakte vinden.
Dus, laten we er eens écht gaan rekenen en dan denk ik dat het allemaal
wat conreter wordt.
Dus, zeggen we dat we de oppervlakte Z hebben en het is
een functie van x & y.
en dat is gelijk aan xy²
Het is een oppervlakte in een 3D ruimte.
En ik wil het volume weten tussen dit
oppervlak en het en het xy- vlak.
En het domein in het het xy-vlak waar het mij om gaat is
x is groter dan of gelijk aan 0, en kleiner dan of gelijk aan 2.
En y is groter dan of gelijk aan 0 en
kleiner dan of gelijk aan 1.
Laten we eens kijken hoe dat eruit ziet, zodat we er een
goed beeld bij hebben.
Dus ik heb het hier getekend en we kunnen dat roteren.
Dit is z is gelijk aan xy².
Dit zijn de begrensde ruimte, ok? x gaat van 0 tot 1;
y gaat van 0 to 1.
We willen letterlijk - je zou het bijna het
volume... - hoewel, niet bijna.
Exact zien als het volume onder dit oppervlak.
Tussen dit oppervlak, het bovenvlak, an het xy-vlak.
En ik draai hem rond zo dat je een beetje
een idee krijgt van het eigenlijke volume.
Laat ik hem eens roteren.
Ik zou de muis hiervoor moeten gebruiken.
Dus, het is de ruimte hieronder.
Het lijkt een geïmproviseerde tent, ofzo.
Ik zou hem iets kunnen roteren.
Wat er ook maar hieronder zit, tussen de twee vlakken --
dát is het volume.
Oeps, ik heb hem omgedraaid.
Hier is ie.
Dus dat is het volume waar het ons om gaat.
Laten we eens gaan uitvogelen en dan proberen we er
gaandeweg een beetje gevoel voor te krijgen.
Nou, ik ga een niet zo indrukwekkende versie tekenen van
die grafiek, maar ik denk dat het voor nu toereikend is.
Laat ik eens de assen tekenen.
Dat is mijn x-as, dat mijn y-as, en dat is mijn z-as.
x, y, z.
x gaat van 0 tot 2.
Laten we zeggen dat dit 2 is.
y gaat van 0 tot 1.
Dus nu nemen we het volume boven deze rechthoek
in het xy-vlak.
En dan het oppervlak. Ik doe mijn best om het te tekenen.
Ik zal het in een andere kleur tekenen.
Ik kijk naar het plaatje.
Van deze kant ziet het er ongeveer zó uit.
En het heeft een rechte lijn.
Laten we eens kijken of ik dit oppervlak kan tekenen als dat zo naar beneden gaat.
En als ik echt goed was, dan kon ik de schaduw tekenen.
Het ziet er ongeveer zo uit.
Als ik de schaduw teken ziet het er
ongeveer zo uit.
And dit is recht boven dit hier.
Dit is de linker onderkant en je kunt het bijna zien.
Dus, stel dat de bovenkant van het oppervlak geel is.
Dat is de bovenkant.
En dan is dit de onderkant.
Het gaat ons om het volume hieronder.
Laat me je het echte volume eens zien.
Dus, dit volume hieronder.
Ik denk dat je het idee wel snapt.
Zo, hoe doen we dat?
Nou, in het vorige voorbeeld, zeiden we, laten we een
arbitraire y nemen en voor die y uitvissen wat
de oppervlakte onder de kromme is.
Dus als we een y nemen -- als je de opgave zelf doet,
hoef je hierover niet zo gedetaileerd na te denken, maar ik wil dat je er
iets van gaat aanvoelen.
We nemen dus een willekeurige y hier.
Dus op die y -- zou je kunnen zeggen -- als we een vaste y hebben,
dan is de functie van x en y - je kunt het bijna als een functie van x en y zien.
Of sclechts x voor deze y
En zo zijn we min of meer de waarde van de
oppervlakte onder deze kromme aan het uitvogelen.
Je moet dit zien als een, soort van, op en neer kromme voor een gegeven y.
Dus als we een y weten, kunnen we erachter komen -- bijv. als
y = 5, wordt deze functie; z = 25x
En dan is het simpel om de waarde te vinden
van de kromme hieronder
Dus wij maken de waarde onder de kromme een functie van y.
Doen alsof het constant is.
Laten we dat doen.
Dus als we dx hebben, dat is onze verandering van x,
Dan is de hoogte van elke rechthoek
functie -- het wordt z.
De hoogte is z, als functie van x en y.
Nu kunnen we de integraal nemen.
Dus, de oppervlakte van elk van deze wordt onze functie,
xy² -- ik doe het even hier vanwege ruimtetekort.
xy² keer de breedte, dat is dx
En als we de oppervlakte van dit plakje willen weten voor een zekere y, dan
integreren we gewoon langs de x-as
we gaan integreren van x = 0
tot x = 2.
Van x = 0 tot 2
Prima.
Wel, we willen niet alleen maar de oppervlakte vinden onder
de kromme bij één plakje, voor één y-waarde, we willen
de hele ruimte onder de kromme weten.
Dus wat we doen is - zo van - OK, best.
De ruimte onder de kromme, niet het oppervlak -- onder deze kromme
voor een zekere y, dat is deze vergelijking.
Wat als ik er wat meer inhoud aan geef?
Als ik dit oppervlak vermenigvuldig met dy, dan moet met dat
een beetje inhoud, toch?
We hebben een soort van 3d-plak
van het volume waar het ons om gaat.
Ik weet dat het lastig voor te stellen is.
Brengen we deze hier.
Ik had dus een plak hier. We hebben de oppervlakte van die
plak gevonden en nu vermenigvuldig ik dat met dy om er
inhoud aan te geven.
Dus door te vermenigvuldigen met dy geef ik er inhoud aan.
En als we dan het hele volume onder de curve willen, tellen
we alle dy's bij elkaar op, en nemen de oneindige som van deze
oneindig kleine volumes.
Met andere woorden, we integreren van y = 0
tot y = 1.
Ik snap dat deze grafiek een beetje moeilijk te begrijpen is, maar je
kan altijd de eerste video nog een keer bekijken.
Daar had ik een iets eenvoudiger te begrijpen oppervlak.
Dus, hoe gaan we dit uitwerken nu?
Nou, zoals we zeiden, je werkt uit vanaf
de binnenkant en werkt naar buiten.
Net als een partiele afgeleide, maar dan andersom.
Hier integreren we over x, dus we kunnen
y als een constante behandelen.
Net alsof het een getal is, 5 ofzo.
Het heeft geen invloed op de integraal.
Wat is dan nu de integraal van xy²?
Welnu, de integraal van xy², -- laat ik eerst
zorgen dat ik met de kleuren consistent blijf.
De integraal van x is dus, x tot de macht een half,..
sorry, x² delen door 2.
En y² is dan gewoon een constante, toch?
En we hoeven geen rekening te houden met 'plus C', omdat
dit een bepaalde integraal is.
En dat werken we uit op 2, en op 0.
Dan hebben we nog steeds de buitenste integraal
welke y betrekt.