1
00:00:00,680 --> 00:00:02,980
Hopelijk voel je een beetje aan wat een dubbele

2
00:00:02,980 --> 00:00:06,920
integraal is of hoe we het volume

3
00:00:06,920 --> 00:00:07,490
onder een oppervlakte vinden.

4
00:00:07,490 --> 00:00:09,910
Dus, laten we er eens écht gaan rekenen en dan denk ik dat het allemaal

5
00:00:09,910 --> 00:00:10,910
wat conreter wordt.

6
00:00:10,910 --> 00:00:14,220
Dus, zeggen we dat we de oppervlakte Z hebben en het is

7
00:00:14,220 --> 00:00:15,530
een functie van x & y.

8
00:00:15,530 --> 00:00:20,670
en dat is gelijk aan xy²

9
00:00:20,670 --> 00:00:22,850
Het is een oppervlakte in een 3D ruimte.

10
00:00:22,850 --> 00:00:26,020
En ik wil het volume weten tussen dit

11
00:00:26,020 --> 00:00:28,660
oppervlak en het en het xy- vlak.

12
00:00:28,660 --> 00:00:33,320
En het domein in het het xy-vlak waar het mij om gaat is

13
00:00:33,320 --> 00:00:38,380
x is groter dan of gelijk aan 0, en kleiner dan of gelijk aan 2.

14
00:00:38,380 --> 00:00:42,450
En y is groter dan of gelijk aan 0 en

15
00:00:42,450 --> 00:00:43,740
kleiner dan of gelijk aan 1.

16
00:00:43,740 --> 00:00:45,370
Laten we eens kijken hoe dat eruit ziet, zodat we er een

17
00:00:45,370 --> 00:00:47,960
goed beeld bij hebben.

18
00:00:47,960 --> 00:00:50,260
Dus ik heb het hier getekend en we kunnen dat roteren.

19
00:00:50,260 --> 00:00:52,750
Dit is z is gelijk aan xy².

20
00:00:52,750 --> 00:00:56,240
Dit zijn de begrensde ruimte, ok? x gaat van 0 tot 1;

21
00:00:56,240 --> 00:00:58,300
y gaat van 0 to 1.

22
00:00:58,300 --> 00:01:00,720
We willen letterlijk - je zou het bijna het

23
00:01:00,720 --> 00:01:02,710
volume... - hoewel, niet bijna.

24
00:01:02,710 --> 00:01:05,590
Exact zien als het volume onder dit oppervlak.

25
00:01:05,590 --> 00:01:08,530
Tussen dit oppervlak, het bovenvlak, an het xy-vlak.

26
00:01:08,530 --> 00:01:11,580
En ik draai hem rond zo dat je een beetje

27
00:01:11,580 --> 00:01:14,210
een idee krijgt van het eigenlijke volume.

28
00:01:14,210 --> 00:01:16,250
Laat ik hem eens roteren.

29
00:01:16,250 --> 00:01:19,330
Ik zou de muis hiervoor moeten gebruiken.

30
00:01:19,330 --> 00:01:21,380
Dus, het is de ruimte hieronder.

31
00:01:21,380 --> 00:01:23,975
Het lijkt een geïmproviseerde tent, ofzo.

32
00:01:23,975 --> 00:01:27,060
Ik zou hem iets kunnen roteren.

33
00:01:27,060 --> 00:01:29,340
Wat er ook maar hieronder zit, tussen de twee vlakken --

34
00:01:29,340 --> 00:01:30,920
dát is het volume.

35
00:01:30,920 --> 00:01:32,550
Oeps, ik heb hem omgedraaid.

36
00:01:32,550 --> 00:01:33,500
Hier is ie.

37
00:01:33,500 --> 00:01:35,690
Dus dat is het volume waar het ons om gaat.

38
00:01:35,690 --> 00:01:38,490
Laten we eens gaan uitvogelen en dan proberen we er

39
00:01:38,490 --> 00:01:41,480
gaandeweg een beetje gevoel voor te krijgen.

40
00:01:41,480 --> 00:01:44,850
Nou, ik ga een niet zo indrukwekkende versie tekenen van

41
00:01:44,850 --> 00:01:49,026
die grafiek, maar ik denk dat het voor nu toereikend is.

42
00:01:49,026 --> 00:01:50,185
Laat ik eens de assen tekenen.

43
00:01:52,710 --> 00:02:01,030
Dat is mijn x-as, dat mijn y-as, en dat is mijn z-as.

44
00:02:04,552 --> 00:02:08,814
x, y, z.

45
00:02:08,814 --> 00:02:10,870
x gaat van 0 tot 2.

46
00:02:10,870 --> 00:02:12,300
Laten we zeggen dat dit 2 is.

47
00:02:12,300 --> 00:02:16,160
y gaat van 0 tot 1.

48
00:02:16,160 --> 00:02:20,796
Dus nu nemen we het volume boven deze rechthoek

49
00:02:20,796 --> 00:02:23,570
in het xy-vlak.

50
00:02:23,570 --> 00:02:25,740
En dan het oppervlak. Ik doe mijn best om het te tekenen.

51
00:02:25,740 --> 00:02:27,660
Ik zal het in een andere kleur tekenen.

52
00:02:27,660 --> 00:02:30,680
Ik kijk naar het plaatje.

53
00:02:30,680 --> 00:02:32,600
Van deze kant ziet het er ongeveer zó uit.

54
00:02:36,300 --> 00:02:37,743
En het heeft een rechte lijn.

55
00:02:37,743 --> 00:02:43,580
Laten we eens kijken of ik dit oppervlak kan tekenen als dat zo naar beneden gaat.

56
00:02:43,580 --> 00:02:47,176
En als ik echt goed was, dan kon ik de schaduw tekenen.

57
00:02:47,176 --> 00:02:50,695
Het ziet er ongeveer zo uit.

58
00:02:50,695 --> 00:02:55,740
Als ik de schaduw teken ziet het er

59
00:02:55,740 --> 00:02:57,020
ongeveer zo uit.

60
00:02:57,020 --> 00:02:59,780
And dit is recht boven dit hier.

61
00:02:59,780 --> 00:03:04,380
Dit is de linker onderkant en je kunt het bijna zien.

62
00:03:04,380 --> 00:03:08,700
Dus, stel dat de bovenkant van het oppervlak geel is.

63
00:03:08,700 --> 00:03:09,830
Dat is de bovenkant.

64
00:03:09,830 --> 00:03:11,830
En dan is dit de onderkant.

65
00:03:11,830 --> 00:03:15,260
Het gaat ons om het volume hieronder.

66
00:03:15,260 --> 00:03:17,840
Laat me je het echte volume eens zien.

67
00:03:17,840 --> 00:03:20,280
Dus, dit volume hieronder.

68
00:03:20,280 --> 00:03:21,060
Ik denk dat je het idee wel snapt.

69
00:03:21,060 --> 00:03:22,560
Zo, hoe doen we dat?

70
00:03:22,560 --> 00:03:26,590
Nou, in het vorige voorbeeld, zeiden we, laten we een

71
00:03:26,590 --> 00:03:29,920
arbitraire y nemen en voor die y uitvissen wat

72
00:03:29,920 --> 00:03:31,250
de oppervlakte onder de kromme is.

73
00:03:31,250 --> 00:03:36,280
Dus als we een y nemen -- als je de opgave zelf doet,

74
00:03:36,280 --> 00:03:39,550
hoef je hierover niet zo gedetaileerd na te denken, maar ik wil dat je er

75
00:03:39,550 --> 00:03:40,410
iets van gaat aanvoelen.

76
00:03:40,410 --> 00:03:43,810
We nemen dus een willekeurige y hier.

77
00:03:43,810 --> 00:03:48,250
Dus op die y -- zou je kunnen zeggen -- als we een vaste y hebben,

78
00:03:48,250 --> 00:03:51,480
dan is de functie van x en y - je kunt het bijna als een functie van x en y zien.

79
00:03:51,480 --> 00:03:56,620
Of sclechts x voor deze y

80
00:03:56,620 --> 00:04:02,610
En zo zijn we min of meer de waarde van de

81
00:04:02,610 --> 00:04:04,470
oppervlakte onder deze kromme aan het uitvogelen.

82
00:04:08,430 --> 00:04:11,820
Je moet dit zien als een, soort van, op en neer kromme voor een gegeven y.

83
00:04:11,820 --> 00:04:15,870
Dus als we een y weten, kunnen we erachter komen -- bijv. als

84
00:04:15,870 --> 00:04:20,200
y = 5, wordt deze functie; z = 25x

85
00:04:20,200 --> 00:04:22,570
En dan is het simpel om de waarde te vinden

86
00:04:22,570 --> 00:04:23,350
van de kromme hieronder

87
00:04:23,350 --> 00:04:26,070
Dus wij maken de waarde onder de kromme een functie van y.

88
00:04:26,070 --> 00:04:27,500
Doen alsof het constant is.

89
00:04:27,500 --> 00:04:28,770
Laten we dat doen.

90
00:04:28,770 --> 00:04:33,680
Dus als we dx hebben, dat is onze verandering van x,

91
00:04:33,680 --> 00:04:36,710
Dan is de hoogte van elke rechthoek

92
00:04:36,710 --> 00:04:40,010
functie -- het wordt z.

93
00:04:40,010 --> 00:04:42,660
De hoogte is z, als functie van x en y.

94
00:04:42,660 --> 00:04:45,190
Nu kunnen we de integraal nemen.

95
00:04:45,190 --> 00:04:50,020
Dus, de oppervlakte van elk van deze wordt onze functie,

96
00:04:50,020 --> 00:04:54,760
xy² -- ik doe het even hier vanwege ruimtetekort.

97
00:04:54,760 --> 00:04:59,015
xy² keer de breedte, dat is dx

98
00:04:59,015 --> 00:05:05,710
En als we de oppervlakte van dit plakje willen weten voor een zekere y, dan

99
00:05:05,710 --> 00:05:08,030
integreren we gewoon langs de x-as

100
00:05:08,030 --> 00:05:10,095
we gaan integreren van x = 0

101
00:05:10,095 --> 00:05:12,230
tot x = 2.

102
00:05:12,230 --> 00:05:15,210
Van x = 0 tot 2

103
00:05:15,210 --> 00:05:16,790
Prima.

104
00:05:16,790 --> 00:05:21,050
Wel, we willen niet alleen maar de oppervlakte vinden onder

105
00:05:21,050 --> 00:05:23,600
de kromme bij één plakje, voor één y-waarde, we willen

106
00:05:23,600 --> 00:05:25,830
de hele ruimte onder de kromme weten.

107
00:05:25,830 --> 00:05:27,570
Dus wat we doen is - zo van - OK, best.

108
00:05:27,570 --> 00:05:33,370
De ruimte onder de kromme, niet het oppervlak -- onder deze kromme

109
00:05:33,370 --> 00:05:37,050
voor een zekere y, dat is deze vergelijking.

110
00:05:37,050 --> 00:05:40,550
Wat als ik er wat meer inhoud aan geef?

111
00:05:40,550 --> 00:05:45,540
Als ik dit oppervlak vermenigvuldig met dy, dan moet met dat

112
00:05:45,540 --> 00:05:46,850
een beetje inhoud, toch?

113
00:05:46,850 --> 00:05:50,140
We hebben een soort van 3d-plak

114
00:05:50,140 --> 00:05:51,240
van het volume waar het ons om gaat.

115
00:05:51,240 --> 00:05:52,870
Ik weet dat het lastig voor te stellen is.

116
00:05:52,870 --> 00:05:54,350
Brengen we deze hier.

117
00:05:54,350 --> 00:05:58,560
Ik had dus een plak hier. We hebben de oppervlakte van die

118
00:05:58,560 --> 00:06:01,400
plak gevonden en nu vermenigvuldig ik dat met dy om er

119
00:06:01,400 --> 00:06:04,200
inhoud aan te geven.

120
00:06:04,200 --> 00:06:08,000
Dus door te vermenigvuldigen met dy geef ik er inhoud aan.

121
00:06:08,000 --> 00:06:11,550
En als we dan het hele volume onder de curve willen, tellen

122
00:06:11,550 --> 00:06:14,070
we alle dy's bij elkaar op, en nemen de oneindige som van deze

123
00:06:14,070 --> 00:06:17,300
oneindig kleine volumes.

124
00:06:17,300 --> 00:06:21,450
Met andere woorden, we integreren van y = 0

125
00:06:21,450 --> 00:06:22,570
tot y = 1.

126
00:06:22,570 --> 00:06:24,290
Ik snap dat deze grafiek een beetje moeilijk te begrijpen is, maar je

127
00:06:24,290 --> 00:06:27,180
kan altijd de eerste video nog een keer bekijken.

128
00:06:27,180 --> 00:06:30,540
Daar had ik een iets eenvoudiger te begrijpen oppervlak.

129
00:06:30,540 --> 00:06:33,590
Dus, hoe gaan we dit uitwerken nu?

130
00:06:33,590 --> 00:06:36,510
Nou, zoals we zeiden, je werkt uit vanaf

131
00:06:36,510 --> 00:06:37,500
de binnenkant en werkt naar buiten.

132
00:06:40,480 --> 00:06:43,510
Net als een partiele afgeleide, maar dan andersom.

133
00:06:43,510 --> 00:06:47,540
Hier integreren we over x, dus we kunnen

134
00:06:47,540 --> 00:06:49,420
y als een constante behandelen.

135
00:06:49,420 --> 00:06:51,670
Net alsof het een getal is, 5 ofzo.

136
00:06:51,670 --> 00:06:53,620
Het heeft geen invloed op de integraal.

137
00:06:53,620 --> 00:06:57,060
Wat is dan nu de integraal van xy²?

138
00:06:57,060 --> 00:07:00,160
Welnu, de integraal van xy², -- laat ik eerst

139
00:07:00,160 --> 00:07:02,280
zorgen dat ik met de kleuren consistent blijf.

140
00:07:02,280 --> 00:07:05,720
De integraal van x is dus, x tot de macht een half,..

141
00:07:05,720 --> 00:07:09,080
sorry, x² delen door 2.

142
00:07:09,080 --> 00:07:12,180
En y² is dan gewoon een constante, toch?

143
00:07:12,180 --> 00:07:14,580
En we hoeven geen rekening te houden met 'plus C', omdat

144
00:07:14,580 --> 00:07:15,960
dit een bepaalde integraal is.

145
00:07:15,960 --> 00:07:18,990
En dat werken we uit op 2, en op 0.

146
00:07:18,990 --> 00:07:21,190
Dan hebben we nog steeds de buitenste integraal

147
00:07:21,190 --> 00:07:22,650
welke y betrekt.