[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.68,0:00:02.98,Default,,0000,0000,0000,,Hopelijk voel je een beetje aan wat een dubbele
Dialogue: 0,0:00:02.98,0:00:06.92,Default,,0000,0000,0000,,integraal is of hoe we het volume
Dialogue: 0,0:00:06.92,0:00:07.49,Default,,0000,0000,0000,,onder een oppervlakte vinden.
Dialogue: 0,0:00:07.49,0:00:09.91,Default,,0000,0000,0000,,Dus, laten we er eens écht gaan rekenen en dan denk ik dat het allemaal
Dialogue: 0,0:00:09.91,0:00:10.91,Default,,0000,0000,0000,,wat conreter wordt.
Dialogue: 0,0:00:10.91,0:00:14.22,Default,,0000,0000,0000,,Dus, zeggen we dat we de oppervlakte Z hebben en het is
Dialogue: 0,0:00:14.22,0:00:15.53,Default,,0000,0000,0000,,een functie van x & y.
Dialogue: 0,0:00:15.53,0:00:20.67,Default,,0000,0000,0000,,en dat is gelijk aan xy²
Dialogue: 0,0:00:20.67,0:00:22.85,Default,,0000,0000,0000,,Het is een oppervlakte in een 3D ruimte.
Dialogue: 0,0:00:22.85,0:00:26.02,Default,,0000,0000,0000,,En ik wil het volume weten tussen dit
Dialogue: 0,0:00:26.02,0:00:28.66,Default,,0000,0000,0000,,oppervlak en het en het xy- vlak.
Dialogue: 0,0:00:28.66,0:00:33.32,Default,,0000,0000,0000,,En het domein in het het xy-vlak waar het mij om gaat is
Dialogue: 0,0:00:33.32,0:00:38.38,Default,,0000,0000,0000,,x is groter dan of gelijk aan 0, en kleiner dan of gelijk aan 2.
Dialogue: 0,0:00:38.38,0:00:42.45,Default,,0000,0000,0000,,En y is groter dan of gelijk aan 0 en
Dialogue: 0,0:00:42.45,0:00:43.74,Default,,0000,0000,0000,,kleiner dan of gelijk aan 1.
Dialogue: 0,0:00:43.74,0:00:45.37,Default,,0000,0000,0000,,Laten we eens kijken hoe dat eruit ziet, zodat we er een
Dialogue: 0,0:00:45.37,0:00:47.96,Default,,0000,0000,0000,,goed beeld bij hebben.
Dialogue: 0,0:00:47.96,0:00:50.26,Default,,0000,0000,0000,,Dus ik heb het hier getekend en we kunnen dat roteren.
Dialogue: 0,0:00:50.26,0:00:52.75,Default,,0000,0000,0000,,Dit is z is gelijk aan xy².
Dialogue: 0,0:00:52.75,0:00:56.24,Default,,0000,0000,0000,,Dit zijn de begrensde ruimte, ok? x gaat van 0 tot 1;
Dialogue: 0,0:00:56.24,0:00:58.30,Default,,0000,0000,0000,,y gaat van 0 to 1.
Dialogue: 0,0:00:58.30,0:01:00.72,Default,,0000,0000,0000,,We willen letterlijk - je zou het bijna het
Dialogue: 0,0:01:00.72,0:01:02.71,Default,,0000,0000,0000,,volume... - hoewel, niet bijna.
Dialogue: 0,0:01:02.71,0:01:05.59,Default,,0000,0000,0000,,Exact zien als het volume onder dit oppervlak.
Dialogue: 0,0:01:05.59,0:01:08.53,Default,,0000,0000,0000,,Tussen dit oppervlak, het bovenvlak, an het xy-vlak.
Dialogue: 0,0:01:08.53,0:01:11.58,Default,,0000,0000,0000,,En ik draai hem rond zo dat je een beetje
Dialogue: 0,0:01:11.58,0:01:14.21,Default,,0000,0000,0000,,een idee krijgt van het eigenlijke volume.
Dialogue: 0,0:01:14.21,0:01:16.25,Default,,0000,0000,0000,,Laat ik hem eens roteren.
Dialogue: 0,0:01:16.25,0:01:19.33,Default,,0000,0000,0000,,Ik zou de muis hiervoor moeten gebruiken.
Dialogue: 0,0:01:19.33,0:01:21.38,Default,,0000,0000,0000,,Dus, het is de ruimte hieronder.
Dialogue: 0,0:01:21.38,0:01:23.98,Default,,0000,0000,0000,,Het lijkt een geïmproviseerde tent, ofzo.
Dialogue: 0,0:01:23.98,0:01:27.06,Default,,0000,0000,0000,,Ik zou hem iets kunnen roteren.
Dialogue: 0,0:01:27.06,0:01:29.34,Default,,0000,0000,0000,,Wat er ook maar hieronder zit, tussen de twee vlakken --
Dialogue: 0,0:01:29.34,0:01:30.92,Default,,0000,0000,0000,,dát is het volume.
Dialogue: 0,0:01:30.92,0:01:32.55,Default,,0000,0000,0000,,Oeps, ik heb hem omgedraaid.
Dialogue: 0,0:01:32.55,0:01:33.50,Default,,0000,0000,0000,,Hier is ie.
Dialogue: 0,0:01:33.50,0:01:35.69,Default,,0000,0000,0000,,Dus dat is het volume waar het ons om gaat.
Dialogue: 0,0:01:35.69,0:01:38.49,Default,,0000,0000,0000,,Laten we eens gaan uitvogelen en dan proberen we er
Dialogue: 0,0:01:38.49,0:01:41.48,Default,,0000,0000,0000,,gaandeweg een beetje gevoel voor te krijgen.
Dialogue: 0,0:01:41.48,0:01:44.85,Default,,0000,0000,0000,,Nou, ik ga een niet zo indrukwekkende versie tekenen van
Dialogue: 0,0:01:44.85,0:01:49.03,Default,,0000,0000,0000,,die grafiek, maar ik denk dat het voor nu toereikend is.
Dialogue: 0,0:01:49.03,0:01:50.18,Default,,0000,0000,0000,,Laat ik eens de assen tekenen.
Dialogue: 0,0:01:52.71,0:02:01.03,Default,,0000,0000,0000,,Dat is mijn x-as, dat mijn y-as, en dat is mijn z-as.
Dialogue: 0,0:02:04.55,0:02:08.81,Default,,0000,0000,0000,,x, y, z.
Dialogue: 0,0:02:08.81,0:02:10.87,Default,,0000,0000,0000,,x gaat van 0 tot 2.
Dialogue: 0,0:02:10.87,0:02:12.30,Default,,0000,0000,0000,,Laten we zeggen dat dit 2 is.
Dialogue: 0,0:02:12.30,0:02:16.16,Default,,0000,0000,0000,,y gaat van 0 tot 1.
Dialogue: 0,0:02:16.16,0:02:20.80,Default,,0000,0000,0000,,Dus nu nemen we het volume boven deze rechthoek
Dialogue: 0,0:02:20.80,0:02:23.57,Default,,0000,0000,0000,,in het xy-vlak.
Dialogue: 0,0:02:23.57,0:02:25.74,Default,,0000,0000,0000,,En dan het oppervlak. Ik doe mijn best om het te tekenen.
Dialogue: 0,0:02:25.74,0:02:27.66,Default,,0000,0000,0000,,Ik zal het in een andere kleur tekenen.
Dialogue: 0,0:02:27.66,0:02:30.68,Default,,0000,0000,0000,,Ik kijk naar het plaatje.
Dialogue: 0,0:02:30.68,0:02:32.60,Default,,0000,0000,0000,,Van deze kant ziet het er ongeveer zó uit.
Dialogue: 0,0:02:36.30,0:02:37.74,Default,,0000,0000,0000,,En het heeft een rechte lijn.
Dialogue: 0,0:02:37.74,0:02:43.58,Default,,0000,0000,0000,,Laten we eens kijken of ik dit oppervlak kan tekenen als dat zo naar beneden gaat.
Dialogue: 0,0:02:43.58,0:02:47.18,Default,,0000,0000,0000,,En als ik echt goed was, dan kon ik de schaduw tekenen.
Dialogue: 0,0:02:47.18,0:02:50.70,Default,,0000,0000,0000,,Het ziet er ongeveer zo uit.
Dialogue: 0,0:02:50.70,0:02:55.74,Default,,0000,0000,0000,,Als ik de schaduw teken ziet het er
Dialogue: 0,0:02:55.74,0:02:57.02,Default,,0000,0000,0000,,ongeveer zo uit.
Dialogue: 0,0:02:57.02,0:02:59.78,Default,,0000,0000,0000,,And dit is recht boven dit hier.
Dialogue: 0,0:02:59.78,0:03:04.38,Default,,0000,0000,0000,,Dit is de linker onderkant en je kunt het bijna zien.
Dialogue: 0,0:03:04.38,0:03:08.70,Default,,0000,0000,0000,,Dus, stel dat de bovenkant van het oppervlak geel is.
Dialogue: 0,0:03:08.70,0:03:09.83,Default,,0000,0000,0000,,Dat is de bovenkant.
Dialogue: 0,0:03:09.83,0:03:11.83,Default,,0000,0000,0000,,En dan is dit de onderkant.
Dialogue: 0,0:03:11.83,0:03:15.26,Default,,0000,0000,0000,,Het gaat ons om het volume hieronder.
Dialogue: 0,0:03:15.26,0:03:17.84,Default,,0000,0000,0000,,Laat me je het echte volume eens zien.
Dialogue: 0,0:03:17.84,0:03:20.28,Default,,0000,0000,0000,,Dus, dit volume hieronder.
Dialogue: 0,0:03:20.28,0:03:21.06,Default,,0000,0000,0000,,Ik denk dat je het idee wel snapt.
Dialogue: 0,0:03:21.06,0:03:22.56,Default,,0000,0000,0000,,Zo, hoe doen we dat?
Dialogue: 0,0:03:22.56,0:03:26.59,Default,,0000,0000,0000,,Nou, in het vorige voorbeeld, zeiden we, laten we een
Dialogue: 0,0:03:26.59,0:03:29.92,Default,,0000,0000,0000,,arbitraire y nemen en voor die y uitvissen wat
Dialogue: 0,0:03:29.92,0:03:31.25,Default,,0000,0000,0000,,de oppervlakte onder de kromme is.
Dialogue: 0,0:03:31.25,0:03:36.28,Default,,0000,0000,0000,,Dus als we een y nemen -- als je de opgave zelf doet,
Dialogue: 0,0:03:36.28,0:03:39.55,Default,,0000,0000,0000,,hoef je hierover niet zo gedetaileerd na te denken, maar ik wil dat je er
Dialogue: 0,0:03:39.55,0:03:40.41,Default,,0000,0000,0000,,iets van gaat aanvoelen.
Dialogue: 0,0:03:40.41,0:03:43.81,Default,,0000,0000,0000,,We nemen dus een willekeurige y hier.
Dialogue: 0,0:03:43.81,0:03:48.25,Default,,0000,0000,0000,,Dus op die y -- zou je kunnen zeggen -- als we een vaste y hebben,
Dialogue: 0,0:03:48.25,0:03:51.48,Default,,0000,0000,0000,,dan is de functie van x en y - je kunt het bijna als een functie van x en y zien.
Dialogue: 0,0:03:51.48,0:03:56.62,Default,,0000,0000,0000,,Of sclechts x voor deze y
Dialogue: 0,0:03:56.62,0:04:02.61,Default,,0000,0000,0000,,En zo zijn we min of meer de waarde van de
Dialogue: 0,0:04:02.61,0:04:04.47,Default,,0000,0000,0000,,oppervlakte onder deze kromme aan het uitvogelen.
Dialogue: 0,0:04:08.43,0:04:11.82,Default,,0000,0000,0000,,Je moet dit zien als een, soort van, op en neer kromme voor een gegeven y.
Dialogue: 0,0:04:11.82,0:04:15.87,Default,,0000,0000,0000,,Dus als we een y weten, kunnen we erachter komen -- bijv. als
Dialogue: 0,0:04:15.87,0:04:20.20,Default,,0000,0000,0000,,y = 5, wordt deze functie; z = 25x
Dialogue: 0,0:04:20.20,0:04:22.57,Default,,0000,0000,0000,,En dan is het simpel om de waarde te vinden
Dialogue: 0,0:04:22.57,0:04:23.35,Default,,0000,0000,0000,,van de kromme hieronder
Dialogue: 0,0:04:23.35,0:04:26.07,Default,,0000,0000,0000,,Dus wij maken de waarde onder de kromme een functie van y.
Dialogue: 0,0:04:26.07,0:04:27.50,Default,,0000,0000,0000,,Doen alsof het constant is.
Dialogue: 0,0:04:27.50,0:04:28.77,Default,,0000,0000,0000,,Laten we dat doen.
Dialogue: 0,0:04:28.77,0:04:33.68,Default,,0000,0000,0000,,Dus als we dx hebben, dat is onze verandering van x,
Dialogue: 0,0:04:33.68,0:04:36.71,Default,,0000,0000,0000,,Dan is de hoogte van elke rechthoek
Dialogue: 0,0:04:36.71,0:04:40.01,Default,,0000,0000,0000,,functie -- het wordt z.
Dialogue: 0,0:04:40.01,0:04:42.66,Default,,0000,0000,0000,,De hoogte is z, als functie van x en y.
Dialogue: 0,0:04:42.66,0:04:45.19,Default,,0000,0000,0000,,Nu kunnen we de integraal nemen.
Dialogue: 0,0:04:45.19,0:04:50.02,Default,,0000,0000,0000,,Dus, de oppervlakte van elk van deze wordt onze functie,
Dialogue: 0,0:04:50.02,0:04:54.76,Default,,0000,0000,0000,,xy² -- ik doe het even hier vanwege ruimtetekort.
Dialogue: 0,0:04:54.76,0:04:59.02,Default,,0000,0000,0000,,xy² keer de breedte, dat is dx
Dialogue: 0,0:04:59.02,0:05:05.71,Default,,0000,0000,0000,,En als we de oppervlakte van dit plakje willen weten voor een zekere y, dan
Dialogue: 0,0:05:05.71,0:05:08.03,Default,,0000,0000,0000,,integreren we gewoon langs de x-as
Dialogue: 0,0:05:08.03,0:05:10.10,Default,,0000,0000,0000,,we gaan integreren van x = 0
Dialogue: 0,0:05:10.10,0:05:12.23,Default,,0000,0000,0000,,tot x = 2.
Dialogue: 0,0:05:12.23,0:05:15.21,Default,,0000,0000,0000,,Van x = 0 tot 2
Dialogue: 0,0:05:15.21,0:05:16.79,Default,,0000,0000,0000,,Prima.
Dialogue: 0,0:05:16.79,0:05:21.05,Default,,0000,0000,0000,,Wel, we willen niet alleen maar de oppervlakte vinden onder
Dialogue: 0,0:05:21.05,0:05:23.60,Default,,0000,0000,0000,,de kromme bij één plakje, voor één y-waarde, we willen
Dialogue: 0,0:05:23.60,0:05:25.83,Default,,0000,0000,0000,,de hele ruimte onder de kromme weten.
Dialogue: 0,0:05:25.83,0:05:27.57,Default,,0000,0000,0000,,Dus wat we doen is - zo van - OK, best.
Dialogue: 0,0:05:27.57,0:05:33.37,Default,,0000,0000,0000,,De ruimte onder de kromme, niet het oppervlak -- onder deze kromme
Dialogue: 0,0:05:33.37,0:05:37.05,Default,,0000,0000,0000,,voor een zekere y, dat is deze vergelijking.
Dialogue: 0,0:05:37.05,0:05:40.55,Default,,0000,0000,0000,,Wat als ik er wat meer inhoud aan geef?
Dialogue: 0,0:05:40.55,0:05:45.54,Default,,0000,0000,0000,,Als ik dit oppervlak vermenigvuldig met dy, dan moet met dat
Dialogue: 0,0:05:45.54,0:05:46.85,Default,,0000,0000,0000,,een beetje inhoud, toch?
Dialogue: 0,0:05:46.85,0:05:50.14,Default,,0000,0000,0000,,We hebben een soort van 3d-plak
Dialogue: 0,0:05:50.14,0:05:51.24,Default,,0000,0000,0000,,van het volume waar het ons om gaat.
Dialogue: 0,0:05:51.24,0:05:52.87,Default,,0000,0000,0000,,Ik weet dat het lastig voor te stellen is.
Dialogue: 0,0:05:52.87,0:05:54.35,Default,,0000,0000,0000,,Brengen we deze hier.
Dialogue: 0,0:05:54.35,0:05:58.56,Default,,0000,0000,0000,,Ik had dus een plak hier. We hebben de oppervlakte van die
Dialogue: 0,0:05:58.56,0:06:01.40,Default,,0000,0000,0000,,plak gevonden en nu vermenigvuldig ik dat met dy om er
Dialogue: 0,0:06:01.40,0:06:04.20,Default,,0000,0000,0000,,inhoud aan te geven.
Dialogue: 0,0:06:04.20,0:06:08.00,Default,,0000,0000,0000,,Dus door te vermenigvuldigen met dy geef ik er inhoud aan.
Dialogue: 0,0:06:08.00,0:06:11.55,Default,,0000,0000,0000,,En als we dan het hele volume onder de curve willen, tellen
Dialogue: 0,0:06:11.55,0:06:14.07,Default,,0000,0000,0000,,we alle dy's bij elkaar op, en nemen de oneindige som van deze
Dialogue: 0,0:06:14.07,0:06:17.30,Default,,0000,0000,0000,,oneindig kleine volumes.
Dialogue: 0,0:06:17.30,0:06:21.45,Default,,0000,0000,0000,,Met andere woorden, we integreren van y = 0
Dialogue: 0,0:06:21.45,0:06:22.57,Default,,0000,0000,0000,,tot y = 1.
Dialogue: 0,0:06:22.57,0:06:24.29,Default,,0000,0000,0000,,Ik snap dat deze grafiek een beetje moeilijk te begrijpen is, maar je
Dialogue: 0,0:06:24.29,0:06:27.18,Default,,0000,0000,0000,,kan altijd de eerste video nog een keer bekijken.
Dialogue: 0,0:06:27.18,0:06:30.54,Default,,0000,0000,0000,,Daar had ik een iets eenvoudiger te begrijpen oppervlak.
Dialogue: 0,0:06:30.54,0:06:33.59,Default,,0000,0000,0000,,Dus, hoe gaan we dit uitwerken nu?
Dialogue: 0,0:06:33.59,0:06:36.51,Default,,0000,0000,0000,,Nou, zoals we zeiden, je werkt uit vanaf
Dialogue: 0,0:06:36.51,0:06:37.50,Default,,0000,0000,0000,,de binnenkant en werkt naar buiten.
Dialogue: 0,0:06:40.48,0:06:43.51,Default,,0000,0000,0000,,Net als een partiele afgeleide, maar dan andersom.
Dialogue: 0,0:06:43.51,0:06:47.54,Default,,0000,0000,0000,,Hier integreren we over x, dus we kunnen
Dialogue: 0,0:06:47.54,0:06:49.42,Default,,0000,0000,0000,,y als een constante behandelen.
Dialogue: 0,0:06:49.42,0:06:51.67,Default,,0000,0000,0000,,Net alsof het een getal is, 5 ofzo.
Dialogue: 0,0:06:51.67,0:06:53.62,Default,,0000,0000,0000,,Het heeft geen invloed op de integraal.
Dialogue: 0,0:06:53.62,0:06:57.06,Default,,0000,0000,0000,,Wat is dan nu de integraal van xy²?
Dialogue: 0,0:06:57.06,0:07:00.16,Default,,0000,0000,0000,,Welnu, de integraal van xy², -- laat ik eerst
Dialogue: 0,0:07:00.16,0:07:02.28,Default,,0000,0000,0000,,zorgen dat ik met de kleuren consistent blijf.
Dialogue: 0,0:07:02.28,0:07:05.72,Default,,0000,0000,0000,,De integraal van x is dus, x tot de macht een half,..
Dialogue: 0,0:07:05.72,0:07:09.08,Default,,0000,0000,0000,,sorry, x² delen door 2.
Dialogue: 0,0:07:09.08,0:07:12.18,Default,,0000,0000,0000,,En y² is dan gewoon een constante, toch?
Dialogue: 0,0:07:12.18,0:07:14.58,Default,,0000,0000,0000,,En we hoeven geen rekening te houden met 'plus C', omdat
Dialogue: 0,0:07:14.58,0:07:15.96,Default,,0000,0000,0000,,dit een bepaalde integraal is.
Dialogue: 0,0:07:15.96,0:07:18.99,Default,,0000,0000,0000,,En dat werken we uit op 2, en op 0.
Dialogue: 0,0:07:18.99,0:07:21.19,Default,,0000,0000,0000,,Dan hebben we nog steeds de buitenste integraal
Dialogue: 0,0:07:21.19,0:07:22.65,Default,,0000,0000,0000,,welke y betrekt.