1
00:00:00,000 --> 00:00:00,680
-

2
00:00:00,680 --> 00:00:02,980
Umarım çift katlı integrali ve yüzeyin altındaki alanı bulmayı az da olsa anlamışsınızdır.

3
00:00:02,980 --> 00:00:06,920
-

4
00:00:06,920 --> 00:00:07,490
-

5
00:00:07,490 --> 00:00:09,910
Şimdi daha somut bir şekilde anlamamız için hesaplamalar yapalım.

6
00:00:09,910 --> 00:00:10,910
-

7
00:00:10,910 --> 00:00:14,220
Diyelim ki, bir z yüzeyimiz var ve bu, x ve y cinsinden bir fonksiyon

8
00:00:14,220 --> 00:00:15,530
-

9
00:00:15,530 --> 00:00:20,670
z eşittir x y kare.

10
00:00:20,670 --> 00:00:22,850
Üç boyutlu uzayda bir yüzey.

11
00:00:22,850 --> 00:00:26,020
Bu yüzey ile x y düzleminin arasındaki hacmi bulmak istiyorum.

12
00:00:26,020 --> 00:00:28,660
-

13
00:00:28,660 --> 00:00:33,320
x y düzlemindeki tanım kümesi de x büyüktür ya da eşittir 0 ve küçüktür ya da eşittir 2.

14
00:00:33,320 --> 00:00:38,380
-

15
00:00:38,380 --> 00:00:42,450
Ve y büyüktür ya da eşittir 0 ve küçüktür ya da eşittir 1.

16
00:00:42,450 --> 00:00:43,740
-

17
00:00:43,740 --> 00:00:45,370
Neye benzediğine bir bakalım da iyice görselleyelim.

18
00:00:45,370 --> 00:00:47,960
-

19
00:00:47,960 --> 00:00:50,260
Grafiğini buraya çizdim, istersek döndürebiliriz.

20
00:00:50,260 --> 00:00:52,750
Bu, z eşittir x y kare.

21
00:00:52,750 --> 00:00:56,240
Bu da sınırları gösteren kutu, öyle değil mi? x, 0'dan 2'ye kadar ve y de 0'dan 1'e kadar gidiyor.

22
00:00:56,240 --> 00:00:58,300
-

23
00:00:58,300 --> 00:01:00,720
-

24
00:01:00,720 --> 00:01:02,710
-

25
00:01:02,710 --> 00:01:05,590
Bunu yüzeyin altındaki hacim olarak yorumlayabilirsiniz.

26
00:01:05,590 --> 00:01:08,530
Üst yüzey ve x y düzlemi arasındaki hacim.

27
00:01:08,530 --> 00:01:11,580
Hacmi daha iyi görmeniz için grafiği döndürüyorum.

28
00:01:11,580 --> 00:01:14,210
-

29
00:01:14,210 --> 00:01:16,250
Döndüreyim.

30
00:01:16,250 --> 00:01:19,330
-

31
00:01:19,330 --> 00:01:21,380
Bu yüzeyin altındaki kısım.

32
00:01:21,380 --> 00:01:23,975
Derme çatma bir sığınağa benziyor.

33
00:01:23,975 --> 00:01:27,060
Biraz daha çevireyim.

34
00:01:27,060 --> 00:01:29,340
Bu iki yüzeyin arasındaki hacim.

35
00:01:29,340 --> 00:01:30,920
-

36
00:01:30,920 --> 00:01:32,550
-

37
00:01:32,550 --> 00:01:33,500
İşte.

38
00:01:33,500 --> 00:01:35,690
Bu hacmi bulacağız.

39
00:01:35,690 --> 00:01:38,490
Nasıl bulacağımıza karar verelim. Çözüm esnasında anlamını da anlatacağım.

40
00:01:38,490 --> 00:01:41,480
-

41
00:01:41,480 --> 00:01:44,850
Grafiğin daha az görkemli bir versiyonun çiziyorum. Şimdilik işimi görsün, yeter.

42
00:01:44,850 --> 00:01:49,026
-

43
00:01:49,026 --> 00:01:50,185
Eksenleri çizeyim.

44
00:01:50,185 --> 00:01:52,710
-

45
00:01:52,710 --> 00:02:01,030
x ekseni, y ekseni ve z ekseni.

46
00:02:01,030 --> 00:02:04,552
-

47
00:02:04,552 --> 00:02:08,814
x, y, z.

48
00:02:08,814 --> 00:02:10,870
x, 0'dan 2'ye gidiyor.

49
00:02:10,870 --> 00:02:12,300
Diyelim ki, burası 2.

50
00:02:12,300 --> 00:02:16,160
y, 0'dan 1'e gidiyor.

51
00:02:16,160 --> 00:02:20,796
x y düzlemindeki bu dikdörtgenin üstündeki hacmi buluyoruz.

52
00:02:20,796 --> 00:02:23,570
-

53
00:02:23,570 --> 00:02:25,740
Yüzeyi de elimden geldiğince iyi çizmeye çalışacağım.

54
00:02:25,740 --> 00:02:27,660
Başka bir renkle çizeyim.

55
00:02:27,660 --> 00:02:30,680
Resme bakarak çizeceğim.

56
00:02:30,680 --> 00:02:32,600
Şurası böyle bir şeye benziyor.

57
00:02:32,600 --> 00:02:36,300
-

58
00:02:36,300 --> 00:02:37,743
Sonra düz bir çizgisi var.

59
00:02:37,743 --> 00:02:43,580
Aşağıya doğru gidiyor.

60
00:02:43,580 --> 00:02:47,176
Daha iyi becerebilseydim gölgelendirme de yapabilirdim.

61
00:02:47,176 --> 00:02:50,695
İşte, aşağı yukarı böyle bir şekil.

62
00:02:50,695 --> 00:02:55,740
Yüzeyi gölgelendirirsem şöyle görünür.

63
00:02:55,740 --> 00:02:57,020
-

64
00:02:57,020 --> 00:02:59,780
Bu nokta bunun üstünde bulunuyor.

65
00:02:59,780 --> 00:03:04,380
Burası aşağı sol köşe, siz de görebiliyorsunuz.

66
00:03:04,380 --> 00:03:08,700
Şöyle yapalım, sarı kısım yüzeyin üst kısmı olsun.

67
00:03:08,700 --> 00:03:09,830
Yüzeyin üstü.

68
00:03:09,830 --> 00:03:11,830
Burası da yüzeyin alt kısmı.

69
00:03:11,830 --> 00:03:15,260
Bu alttaki hacmi bulacağız.

70
00:03:15,260 --> 00:03:17,840
Esas yüzeyi size göstereyim.

71
00:03:17,840 --> 00:03:20,280
İşte, buranın altındaki hacim.

72
00:03:20,280 --> 00:03:21,060
Anladığınızı düşünüyorum.

73
00:03:21,060 --> 00:03:22,560
Peki, nasıl hesaplarız?

74
00:03:22,560 --> 00:03:26,590
Son örnekte şöyle demiştik: Gelişigüzel bir y seçelim ve y'ye göre eğrinin altındaki alanı bulalım.

75
00:03:26,590 --> 00:03:29,920
-

76
00:03:29,920 --> 00:03:31,250
-

77
00:03:31,250 --> 00:03:36,280
Soruyu çözerken bu kadar detaylı düşünmenize gerek yok ama konuyu anlamınızı istiyorum.

78
00:03:36,280 --> 00:03:39,550
-

79
00:03:39,550 --> 00:03:40,410
-

80
00:03:40,410 --> 00:03:43,810
Burada gelişigüzel bir y seçelim.

81
00:03:43,810 --> 00:03:48,250
Sabit bir y'miz olduğunu düşünürsek, f x y'yi o y'ye göre bir f x olarak alabiliriz.

82
00:03:48,250 --> 00:03:51,480
-

83
00:03:51,480 --> 00:03:56,620
-

84
00:03:56,620 --> 00:04:02,610
Böylece, bu eğrinin altındaki alanın değerini buluruz.

85
00:04:02,610 --> 00:04:04,470
-

86
00:04:04,470 --> 00:04:08,430
-

87
00:04:08,430 --> 00:04:11,820
Bu, seçtiğimiz y'ye göre yukarı aşağı giden eğri.

88
00:04:11,820 --> 00:04:15,870
y'nin değerini biliyorsak, mesela 5 ise, fonksiyon z eşittir 25 x olur.

89
00:04:15,870 --> 00:04:20,200
-

90
00:04:20,200 --> 00:04:22,570
Böylece, eğrinin altındaki değeri bulmak kolaylaşır.

91
00:04:22,570 --> 00:04:23,350
-

92
00:04:23,350 --> 00:04:26,070
Yani eğrinin altındaki değeri y cinsinden bir fonksiyon olarak yazacağız.

93
00:04:26,070 --> 00:04:27,500
Sabitmiş gibi davranacağız.

94
00:04:27,500 --> 00:04:28,770
Başlıyoruz.

95
00:04:28,770 --> 00:04:33,680
d x'imiz var ve bu, x yönündeki değişim.

96
00:04:33,680 --> 00:04:36,710
Ve, her dikdörtgenin yüksekliği de z olacak.

97
00:04:36,710 --> 00:04:40,010
-

98
00:04:40,010 --> 00:04:42,660
Yükseklik z, x ve y cinsinden bir fonksiyon.

99
00:04:42,660 --> 00:04:45,190
İntegrali kurabiliriz.

100
00:04:45,190 --> 00:04:50,020
Her dikdörtgenin alanı xy kare olacak.

101
00:04:50,020 --> 00:04:54,760
-

102
00:04:54,760 --> 00:04:59,015
xy kare çarpı en, yani d x.

103
00:04:59,015 --> 00:05:05,710
Eğer verilen y'ye göre bu dilimin alanını bulmak istiyorsak, x ekseni boyunca integral alacağız.

104
00:05:05,710 --> 00:05:08,030
-

105
00:05:08,030 --> 00:05:10,095
x eşittir 0'dan x eşittir 2'ye integral alacağız.

106
00:05:10,095 --> 00:05:12,230
-

107
00:05:12,230 --> 00:05:15,210
x eşittir 0'dan 2'ye.

108
00:05:15,210 --> 00:05:16,790
Tamamdır.

109
00:05:16,790 --> 00:05:21,050
Eğrinin sadece bir y değeri için dilim alanını bulmak istemiyoruz, eğrinin tamamının alanını bulmak istiyoruz.

110
00:05:21,050 --> 00:05:23,600
-

111
00:05:23,600 --> 00:05:25,830
-

112
00:05:25,830 --> 00:05:27,570
Şöyle yaparız.

113
00:05:27,570 --> 00:05:33,370
Belirli bir y'ye göre eğrinin altındaki alan bu ifadeydi, deriz.

114
00:05:33,370 --> 00:05:37,050
-

115
00:05:37,050 --> 00:05:40,550
Biraz derinlik vermek istersem ne olur?

116
00:05:40,550 --> 00:05:45,540
Bu alan ile dy'yi çarparsam, bana biraz derinlik verir, öyle değil mi?

117
00:05:45,540 --> 00:05:46,850
-

118
00:05:46,850 --> 00:05:50,140
Bulmak istediğimiz hacmin 3 boyutlu dilimini oluşturmuş oluruz.

119
00:05:50,140 --> 00:05:51,240
-

120
00:05:51,240 --> 00:05:52,870
Gözünüzde canlandırmanın zor olduğunu biliyorum.

121
00:05:52,870 --> 00:05:54,350
Grafiği geri getireyim.

122
00:05:54,350 --> 00:05:58,560
Bir dilimin altındaki alanı bulduk, dy ile çarptık ve biraz derinlik kazandırdık.

123
00:05:58,560 --> 00:06:01,400
-

124
00:06:01,400 --> 00:06:04,200
-

125
00:06:04,200 --> 00:06:08,000
dy ile çarpınca derinlik oluştururuz ve eğer eğrinin altındaki bütün hacmi bulmak istiyorsak, bütün dy'leri toplarız, yani buradaki sonsuz küçüklükteki hacimlerin sonsuz toplamını alırız.

126
00:06:08,000 --> 00:06:11,550
-

127
00:06:11,550 --> 00:06:14,070
-

128
00:06:14,070 --> 00:06:17,300
-

129
00:06:17,300 --> 00:06:21,450
Buna göre, y eşittir 0'dan y eşittir 1'e kadar integral alacağız.

130
00:06:21,450 --> 00:06:22,570
-

131
00:06:22,570 --> 00:06:24,290
Bu grafiği anlamak biraz zor gelirse, ilk videoyu tekrar izlemeniz yararlı olur.

132
00:06:24,290 --> 00:06:27,180
-

133
00:06:27,180 --> 00:06:30,540
Orada biraz daha kolay bir yüzey göstermiştim.

134
00:06:30,540 --> 00:06:33,590
Şimdi, bunu nasıl hesaplayacağız?

135
00:06:33,590 --> 00:06:36,510
Daha önce dediğimiz gibi, içten dışa doğru gideceğiz.

136
00:06:36,510 --> 00:06:37,500
-

137
00:06:37,500 --> 00:06:40,480
-

138
00:06:40,480 --> 00:06:43,510
Kısmi türev almanın tam tersi gibi düşünebilirsiniz.

139
00:06:43,510 --> 00:06:47,540
Burada x'e göre integral alıyoruz, o yüzden y'yi bir sabit gibi düşünüyoruz

140
00:06:47,540 --> 00:06:49,420
-

141
00:06:49,420 --> 00:06:51,670
5 veya başka bir sayı gibi düşünebiliriz

142
00:06:51,670 --> 00:06:53,620
Yani, bu, integrali değiştirmez.

143
00:06:53,620 --> 00:06:57,060
Peki, xy karenin terstürevi nedir?

144
00:06:57,060 --> 00:07:00,160
xy karenin terstürevi- x'in terstürevi, x kare bölü 2'dir.

145
00:07:00,160 --> 00:07:02,280
-

146
00:07:02,280 --> 00:07:05,720
-

147
00:07:05,720 --> 00:07:09,080
-

148
00:07:09,080 --> 00:07:12,180
y kare sabit, öyle değil mi?

149
00:07:12,180 --> 00:07:14,580
Bu, belirli integral olduğu için, artı c'yi düşünmeye gerek yok.

150
00:07:14,580 --> 00:07:15,960
-

151
00:07:15,960 --> 00:07:18,990
Bunun 2 ve 0'daki değerlerini bulacağız.

152
00:07:18,990 --> 00:07:21,190
Elimizde hala integralin dış kısmı, yani y ilgili kısmı var.

153
00:07:21,190 --> 00:07:22,650
-

154
00:07:22,650 --> 00:07:25,190
Bunu da bulunca, y'ye göre 0'dan 1'e integral alacağız.

155
00:07:25,190 --> 00:07:29,800
-

156
00:07:29,800 --> 00:07:31,470
Bunun değeri nedir?

157
00:07:31,470 --> 00:07:32,912
2 koyarız.

158
00:07:32,912 --> 00:07:36,276
Buraya 2 koyarsak, 2 kare bölü 2 buluruz.

159
00:07:36,276 --> 00:07:39,230
-

160
00:07:39,230 --> 00:07:41,740
Bu da 4 bölü 2 demek.

161
00:07:41,740 --> 00:07:43,565
Yani, 2 y kare.

162
00:07:43,565 --> 00:07:47,670
-

163
00:07:47,670 --> 00:07:51,210
Eksi 0 kare bölü 2 çarpı y kare.

164
00:07:51,210 --> 00:07:52,080
Bu, 0 olacak.

165
00:07:52,080 --> 00:07:52,950
Yani eksi 0.

166
00:07:52,950 --> 00:07:55,220
Bunu anladığınızı düşünerek yazmayacağım.

167
00:07:55,220 --> 00:07:56,190
-

168
00:07:56,190 --> 00:07:58,510
-

169
00:07:58,510 --> 00:08:00,660
-

170
00:08:00,660 --> 00:08:03,710
Evet, bunun sonucu 2 y kare çıktı ve şimdi de dıştaki integrali hesaplayacağız.

171
00:08:03,710 --> 00:08:05,580
-

172
00:08:05,580 --> 00:08:08,910
0, 1 dy.

173
00:08:08,910 --> 00:08:10,230
Bu, dikkat etmemiz gereken bir nokta.

174
00:08:10,230 --> 00:08:13,120
İçteki integrali hesaplarken ne yaptığımızı hatırlıyor musunuz?

175
00:08:13,120 --> 00:08:13,820
-

176
00:08:13,820 --> 00:08:16,950
Herhangi bir y değeri için bu alanı bulmaya çalışıyorduk.

177
00:08:16,950 --> 00:08:19,180
-

178
00:08:19,180 --> 00:08:23,070
Yüzeyin alanını değil, yüzeyin altındaki alanı.

179
00:08:23,070 --> 00:08:24,380
-

180
00:08:24,380 --> 00:08:27,190
Herhangi bir y değerindeki yüzey parçasını bir eğri olarak düşünebiliriz.

181
00:08:27,190 --> 00:08:30,110
Ve biz de o eğrinin altındaki alanı bulmaya çalışıyorduk.

182
00:08:30,110 --> 00:08:33,540
-

183
00:08:33,540 --> 00:08:36,870
Sonuç olarak da y cinsinden bir fonksiyon ortaya çıkmıştı.

184
00:08:36,870 --> 00:08:40,500
Böyle çıkması mantıklı aslında. Çünkü, seçtiğimiz y'ye bağlı olarak farklı bir alan elde edeceğiz.

185
00:08:40,500 --> 00:08:44,390
-

186
00:08:44,390 --> 00:08:47,810
y'nin değerine göre, alan da değişecek.

187
00:08:47,810 --> 00:08:52,620
-

188
00:08:52,620 --> 00:08:55,760
Burayı hesapladığımız zaman y cinsinden bir fonksiyon bulduk ve şimdi y'ye göre integral alacağız. Bu, bildiğimiz belirli integral.

189
00:08:55,760 --> 00:08:58,330
-

190
00:08:58,330 --> 00:09:00,810
-

191
00:09:00,810 --> 00:09:03,350
2y karenin terstürevi nedir?

192
00:09:03,350 --> 00:09:08,140
2 çarpı y küp bölü 3 veya 2 bölü 3 y küp.

193
00:09:08,140 --> 00:09:11,510
-

194
00:09:11,510 --> 00:09:14,740
Bunun 1 ve 0 için değerini hesaplayacağız.

195
00:09:14,740 --> 00:09:16,100
-

196
00:09:16,100 --> 00:09:17,480
1 küp çarpı 2 bölü 3.

197
00:09:17,480 --> 00:09:18,870
Bu, 2 bölü 3'e eşit.

198
00:09:18,870 --> 00:09:20,460
Eksi 0 küp çarpı 2 bölü 3.

199
00:09:20,460 --> 00:09:21,580
Bu 0.

200
00:09:21,580 --> 00:09:25,270
Yani, cevap 2 bölü 3.

201
00:09:25,270 --> 00:09:29,620
Eğer birim olarak metre kullansaydık, 2 bölü 3 metreküp derdik.

202
00:09:29,620 --> 00:09:31,230
-

203
00:09:31,230 --> 00:09:32,280
İşte böyle.

204
00:09:32,280 --> 00:09:34,890
Çift katlı integrali böyle hesaplıyoruz.

205
00:09:34,890 --> 00:09:36,450
Burada yeni bir beceri yok.

206
00:09:36,450 --> 00:09:38,650
Sadece değişkenleri karıştırmamak için dikkat etmek gerekiyor.

207
00:09:38,650 --> 00:09:39,760
Değişkeni önce sabit almanız, sonra, yeri geldiğinde, o değişkene göre integral almanız gerekiyor.

208
00:09:39,760 --> 00:09:41,620
-

209
00:09:41,620 --> 00:09:44,710
-

210
00:09:44,710 --> 00:09:49,090
Neyse, bir sonraki videoda görüşmek üzere.

211
00:09:49,090 --> 00:09:49,900
-