WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:00.680 - 00:00:00.680 --> 00:00:02.980 Umarım çift katlı integrali ve yüzeyin altındaki alanı bulmayı az da olsa anlamışsınızdır. 00:00:02.980 --> 00:00:06.920 - 00:00:06.920 --> 00:00:07.490 - 00:00:07.490 --> 00:00:09.910 Şimdi daha somut bir şekilde anlamamız için hesaplamalar yapalım. 00:00:09.910 --> 00:00:10.910 - 00:00:10.910 --> 00:00:14.220 Diyelim ki, bir z yüzeyimiz var ve bu, x ve y cinsinden bir fonksiyon 00:00:14.220 --> 00:00:15.530 - 00:00:15.530 --> 00:00:20.670 z eşittir x y kare. 00:00:20.670 --> 00:00:22.850 Üç boyutlu uzayda bir yüzey. 00:00:22.850 --> 00:00:26.020 Bu yüzey ile x y düzleminin arasındaki hacmi bulmak istiyorum. 00:00:26.020 --> 00:00:28.660 - 00:00:28.660 --> 00:00:33.320 x y düzlemindeki tanım kümesi de x büyüktür ya da eşittir 0 ve küçüktür ya da eşittir 2. 00:00:33.320 --> 00:00:38.380 - 00:00:38.380 --> 00:00:42.450 Ve y büyüktür ya da eşittir 0 ve küçüktür ya da eşittir 1. 00:00:42.450 --> 00:00:43.740 - 00:00:43.740 --> 00:00:45.370 Neye benzediğine bir bakalım da iyice görselleyelim. 00:00:45.370 --> 00:00:47.960 - 00:00:47.960 --> 00:00:50.260 Grafiğini buraya çizdim, istersek döndürebiliriz. 00:00:50.260 --> 00:00:52.750 Bu, z eşittir x y kare. 00:00:52.750 --> 00:00:56.240 Bu da sınırları gösteren kutu, öyle değil mi? x, 0'dan 2'ye kadar ve y de 0'dan 1'e kadar gidiyor. 00:00:56.240 --> 00:00:58.300 - 00:00:58.300 --> 00:01:00.720 - 00:01:00.720 --> 00:01:02.710 - 00:01:02.710 --> 00:01:05.590 Bunu yüzeyin altındaki hacim olarak yorumlayabilirsiniz. 00:01:05.590 --> 00:01:08.530 Üst yüzey ve x y düzlemi arasındaki hacim. 00:01:08.530 --> 00:01:11.580 Hacmi daha iyi görmeniz için grafiği döndürüyorum. 00:01:11.580 --> 00:01:14.210 - 00:01:14.210 --> 00:01:16.250 Döndüreyim. 00:01:16.250 --> 00:01:19.330 - 00:01:19.330 --> 00:01:21.380 Bu yüzeyin altındaki kısım. 00:01:21.380 --> 00:01:23.975 Derme çatma bir sığınağa benziyor. 00:01:23.975 --> 00:01:27.060 Biraz daha çevireyim. 00:01:27.060 --> 00:01:29.340 Bu iki yüzeyin arasındaki hacim. 00:01:29.340 --> 00:01:30.920 - 00:01:30.920 --> 00:01:32.550 - 00:01:32.550 --> 00:01:33.500 İşte. 00:01:33.500 --> 00:01:35.690 Bu hacmi bulacağız. 00:01:35.690 --> 00:01:38.490 Nasıl bulacağımıza karar verelim. Çözüm esnasında anlamını da anlatacağım. 00:01:38.490 --> 00:01:41.480 - 00:01:41.480 --> 00:01:44.850 Grafiğin daha az görkemli bir versiyonun çiziyorum. Şimdilik işimi görsün, yeter. 00:01:44.850 --> 00:01:49.026 - 00:01:49.026 --> 00:01:50.185 Eksenleri çizeyim. 00:01:50.185 --> 00:01:52.710 - 00:01:52.710 --> 00:02:01.030 x ekseni, y ekseni ve z ekseni. 00:02:01.030 --> 00:02:04.552 - 00:02:04.552 --> 00:02:08.814 x, y, z. 00:02:08.814 --> 00:02:10.870 x, 0'dan 2'ye gidiyor. 00:02:10.870 --> 00:02:12.300 Diyelim ki, burası 2. 00:02:12.300 --> 00:02:16.160 y, 0'dan 1'e gidiyor. 00:02:16.160 --> 00:02:20.796 x y düzlemindeki bu dikdörtgenin üstündeki hacmi buluyoruz. 00:02:20.796 --> 00:02:23.570 - 00:02:23.570 --> 00:02:25.740 Yüzeyi de elimden geldiğince iyi çizmeye çalışacağım. 00:02:25.740 --> 00:02:27.660 Başka bir renkle çizeyim. 00:02:27.660 --> 00:02:30.680 Resme bakarak çizeceğim. 00:02:30.680 --> 00:02:32.600 Şurası böyle bir şeye benziyor. 00:02:32.600 --> 00:02:36.300 - 00:02:36.300 --> 00:02:37.743 Sonra düz bir çizgisi var. 00:02:37.743 --> 00:02:43.580 Aşağıya doğru gidiyor. 00:02:43.580 --> 00:02:47.176 Daha iyi becerebilseydim gölgelendirme de yapabilirdim. 00:02:47.176 --> 00:02:50.695 İşte, aşağı yukarı böyle bir şekil. 00:02:50.695 --> 00:02:55.740 Yüzeyi gölgelendirirsem şöyle görünür. 00:02:55.740 --> 00:02:57.020 - 00:02:57.020 --> 00:02:59.780 Bu nokta bunun üstünde bulunuyor. 00:02:59.780 --> 00:03:04.380 Burası aşağı sol köşe, siz de görebiliyorsunuz. 00:03:04.380 --> 00:03:08.700 Şöyle yapalım, sarı kısım yüzeyin üst kısmı olsun. 00:03:08.700 --> 00:03:09.830 Yüzeyin üstü. 00:03:09.830 --> 00:03:11.830 Burası da yüzeyin alt kısmı. 00:03:11.830 --> 00:03:15.260 Bu alttaki hacmi bulacağız. 00:03:15.260 --> 00:03:17.840 Esas yüzeyi size göstereyim. 00:03:17.840 --> 00:03:20.280 İşte, buranın altındaki hacim. 00:03:20.280 --> 00:03:21.060 Anladığınızı düşünüyorum. 00:03:21.060 --> 00:03:22.560 Peki, nasıl hesaplarız? 00:03:22.560 --> 00:03:26.590 Son örnekte şöyle demiştik: Gelişigüzel bir y seçelim ve y'ye göre eğrinin altındaki alanı bulalım. 00:03:26.590 --> 00:03:29.920 - 00:03:29.920 --> 00:03:31.250 - 00:03:31.250 --> 00:03:36.280 Soruyu çözerken bu kadar detaylı düşünmenize gerek yok ama konuyu anlamınızı istiyorum. 00:03:36.280 --> 00:03:39.550 - 00:03:39.550 --> 00:03:40.410 - 00:03:40.410 --> 00:03:43.810 Burada gelişigüzel bir y seçelim. 00:03:43.810 --> 00:03:48.250 Sabit bir y'miz olduğunu düşünürsek, f x y'yi o y'ye göre bir f x olarak alabiliriz. 00:03:48.250 --> 00:03:51.480 - 00:03:51.480 --> 00:03:56.620 - 00:03:56.620 --> 00:04:02.610 Böylece, bu eğrinin altındaki alanın değerini buluruz. 00:04:02.610 --> 00:04:04.470 - 00:04:04.470 --> 00:04:08.430 - 00:04:08.430 --> 00:04:11.820 Bu, seçtiğimiz y'ye göre yukarı aşağı giden eğri. 00:04:11.820 --> 00:04:15.870 y'nin değerini biliyorsak, mesela 5 ise, fonksiyon z eşittir 25 x olur. 00:04:15.870 --> 00:04:20.200 - 00:04:20.200 --> 00:04:22.570 Böylece, eğrinin altındaki değeri bulmak kolaylaşır. 00:04:22.570 --> 00:04:23.350 - 00:04:23.350 --> 00:04:26.070 Yani eğrinin altındaki değeri y cinsinden bir fonksiyon olarak yazacağız. 00:04:26.070 --> 00:04:27.500 Sabitmiş gibi davranacağız. 00:04:27.500 --> 00:04:28.770 Başlıyoruz. 00:04:28.770 --> 00:04:33.680 d x'imiz var ve bu, x yönündeki değişim. 00:04:33.680 --> 00:04:36.710 Ve, her dikdörtgenin yüksekliği de z olacak. 00:04:36.710 --> 00:04:40.010 - 00:04:40.010 --> 00:04:42.660 Yükseklik z, x ve y cinsinden bir fonksiyon. 00:04:42.660 --> 00:04:45.190 İntegrali kurabiliriz. 00:04:45.190 --> 00:04:50.020 Her dikdörtgenin alanı xy kare olacak. 00:04:50.020 --> 00:04:54.760 - 00:04:54.760 --> 00:04:59.015 xy kare çarpı en, yani d x. 00:04:59.015 --> 00:05:05.710 Eğer verilen y'ye göre bu dilimin alanını bulmak istiyorsak, x ekseni boyunca integral alacağız. 00:05:05.710 --> 00:05:08.030 - 00:05:08.030 --> 00:05:10.095 x eşittir 0'dan x eşittir 2'ye integral alacağız. 00:05:10.095 --> 00:05:12.230 - 00:05:12.230 --> 00:05:15.210 x eşittir 0'dan 2'ye. 00:05:15.210 --> 00:05:16.790 Tamamdır. 00:05:16.790 --> 00:05:21.050 Eğrinin sadece bir y değeri için dilim alanını bulmak istemiyoruz, eğrinin tamamının alanını bulmak istiyoruz. 00:05:21.050 --> 00:05:23.600 - 00:05:23.600 --> 00:05:25.830 - 00:05:25.830 --> 00:05:27.570 Şöyle yaparız. 00:05:27.570 --> 00:05:33.370 Belirli bir y'ye göre eğrinin altındaki alan bu ifadeydi, deriz. 00:05:33.370 --> 00:05:37.050 - 00:05:37.050 --> 00:05:40.550 Biraz derinlik vermek istersem ne olur? 00:05:40.550 --> 00:05:45.540 Bu alan ile dy'yi çarparsam, bana biraz derinlik verir, öyle değil mi? 00:05:45.540 --> 00:05:46.850 - 00:05:46.850 --> 00:05:50.140 Bulmak istediğimiz hacmin 3 boyutlu dilimini oluşturmuş oluruz. 00:05:50.140 --> 00:05:51.240 - 00:05:51.240 --> 00:05:52.870 Gözünüzde canlandırmanın zor olduğunu biliyorum. 00:05:52.870 --> 00:05:54.350 Grafiği geri getireyim. 00:05:54.350 --> 00:05:58.560 Bir dilimin altındaki alanı bulduk, dy ile çarptık ve biraz derinlik kazandırdık. 00:05:58.560 --> 00:06:01.400 - 00:06:01.400 --> 00:06:04.200 - 00:06:04.200 --> 00:06:08.000 dy ile çarpınca derinlik oluştururuz ve eğer eğrinin altındaki bütün hacmi bulmak istiyorsak, bütün dy'leri toplarız, yani buradaki sonsuz küçüklükteki hacimlerin sonsuz toplamını alırız. 00:06:08.000 --> 00:06:11.550 - 00:06:11.550 --> 00:06:14.070 - 00:06:14.070 --> 00:06:17.300 - 00:06:17.300 --> 00:06:21.450 Buna göre, y eşittir 0'dan y eşittir 1'e kadar integral alacağız. 00:06:21.450 --> 00:06:22.570 - 00:06:22.570 --> 00:06:24.290 Bu grafiği anlamak biraz zor gelirse, ilk videoyu tekrar izlemeniz yararlı olur. 00:06:24.290 --> 00:06:27.180 - 00:06:27.180 --> 00:06:30.540 Orada biraz daha kolay bir yüzey göstermiştim. 00:06:30.540 --> 00:06:33.590 Şimdi, bunu nasıl hesaplayacağız? 00:06:33.590 --> 00:06:36.510 Daha önce dediğimiz gibi, içten dışa doğru gideceğiz. 00:06:36.510 --> 00:06:37.500 - 00:06:37.500 --> 00:06:40.480 - 00:06:40.480 --> 00:06:43.510 Kısmi türev almanın tam tersi gibi düşünebilirsiniz. 00:06:43.510 --> 00:06:47.540 Burada x'e göre integral alıyoruz, o yüzden y'yi bir sabit gibi düşünüyoruz 00:06:47.540 --> 00:06:49.420 - 00:06:49.420 --> 00:06:51.670 5 veya başka bir sayı gibi düşünebiliriz 00:06:51.670 --> 00:06:53.620 Yani, bu, integrali değiştirmez. 00:06:53.620 --> 00:06:57.060 Peki, xy karenin terstürevi nedir? 00:06:57.060 --> 00:07:00.160 xy karenin terstürevi- x'in terstürevi, x kare bölü 2'dir. 00:07:00.160 --> 00:07:02.280 - 00:07:02.280 --> 00:07:05.720 - 00:07:05.720 --> 00:07:09.080 - 00:07:09.080 --> 00:07:12.180 y kare sabit, öyle değil mi? 00:07:12.180 --> 00:07:14.580 Bu, belirli integral olduğu için, artı c'yi düşünmeye gerek yok. 00:07:14.580 --> 00:07:15.960 - 00:07:15.960 --> 00:07:18.990 Bunun 2 ve 0'daki değerlerini bulacağız. 00:07:18.990 --> 00:07:21.190 Elimizde hala integralin dış kısmı, yani y ilgili kısmı var. 00:07:21.190 --> 00:07:22.650 - 00:07:22.650 --> 00:07:25.190 Bunu da bulunca, y'ye göre 0'dan 1'e integral alacağız. 00:07:25.190 --> 00:07:29.800 - 00:07:29.800 --> 00:07:31.470 Bunun değeri nedir? 00:07:31.470 --> 00:07:32.912 2 koyarız. 00:07:32.912 --> 00:07:36.276 Buraya 2 koyarsak, 2 kare bölü 2 buluruz. 00:07:36.276 --> 00:07:39.230 - 00:07:39.230 --> 00:07:41.740 Bu da 4 bölü 2 demek. 00:07:41.740 --> 00:07:43.565 Yani, 2 y kare. 00:07:43.565 --> 00:07:47.670 - 00:07:47.670 --> 00:07:51.210 Eksi 0 kare bölü 2 çarpı y kare. 00:07:51.210 --> 00:07:52.080 Bu, 0 olacak. 00:07:52.080 --> 00:07:52.950 Yani eksi 0. 00:07:52.950 --> 00:07:55.220 Bunu anladığınızı düşünerek yazmayacağım. 00:07:55.220 --> 00:07:56.190 - 00:07:56.190 --> 00:07:58.510 - 00:07:58.510 --> 00:08:00.660 - 00:08:00.660 --> 00:08:03.710 Evet, bunun sonucu 2 y kare çıktı ve şimdi de dıştaki integrali hesaplayacağız. 00:08:03.710 --> 00:08:05.580 - 00:08:05.580 --> 00:08:08.910 0, 1 dy. 00:08:08.910 --> 00:08:10.230 Bu, dikkat etmemiz gereken bir nokta. 00:08:10.230 --> 00:08:13.120 İçteki integrali hesaplarken ne yaptığımızı hatırlıyor musunuz? 00:08:13.120 --> 00:08:13.820 - 00:08:13.820 --> 00:08:16.950 Herhangi bir y değeri için bu alanı bulmaya çalışıyorduk. 00:08:16.950 --> 00:08:19.180 - 00:08:19.180 --> 00:08:23.070 Yüzeyin alanını değil, yüzeyin altındaki alanı. 00:08:23.070 --> 00:08:24.380 - 00:08:24.380 --> 00:08:27.190 Herhangi bir y değerindeki yüzey parçasını bir eğri olarak düşünebiliriz. 00:08:27.190 --> 00:08:30.110 Ve biz de o eğrinin altındaki alanı bulmaya çalışıyorduk. 00:08:30.110 --> 00:08:33.540 - 00:08:33.540 --> 00:08:36.870 Sonuç olarak da y cinsinden bir fonksiyon ortaya çıkmıştı. 00:08:36.870 --> 00:08:40.500 Böyle çıkması mantıklı aslında. Çünkü, seçtiğimiz y'ye bağlı olarak farklı bir alan elde edeceğiz. 00:08:40.500 --> 00:08:44.390 - 00:08:44.390 --> 00:08:47.810 y'nin değerine göre, alan da değişecek. 00:08:47.810 --> 00:08:52.620 - 00:08:52.620 --> 00:08:55.760 Burayı hesapladığımız zaman y cinsinden bir fonksiyon bulduk ve şimdi y'ye göre integral alacağız. Bu, bildiğimiz belirli integral. 00:08:55.760 --> 00:08:58.330 - 00:08:58.330 --> 00:09:00.810 - 00:09:00.810 --> 00:09:03.350 2y karenin terstürevi nedir? 00:09:03.350 --> 00:09:08.140 2 çarpı y küp bölü 3 veya 2 bölü 3 y küp. 00:09:08.140 --> 00:09:11.510 - 00:09:11.510 --> 00:09:14.740 Bunun 1 ve 0 için değerini hesaplayacağız. 00:09:14.740 --> 00:09:16.100 - 00:09:16.100 --> 00:09:17.480 1 küp çarpı 2 bölü 3. 00:09:17.480 --> 00:09:18.870 Bu, 2 bölü 3'e eşit. 00:09:18.870 --> 00:09:20.460 Eksi 0 küp çarpı 2 bölü 3. 00:09:20.460 --> 00:09:21.580 Bu 0. 00:09:21.580 --> 00:09:25.270 Yani, cevap 2 bölü 3. 00:09:25.270 --> 00:09:29.620 Eğer birim olarak metre kullansaydık, 2 bölü 3 metreküp derdik. 00:09:29.620 --> 00:09:31.230 - 00:09:31.230 --> 00:09:32.280 İşte böyle. 00:09:32.280 --> 00:09:34.890 Çift katlı integrali böyle hesaplıyoruz. 00:09:34.890 --> 00:09:36.450 Burada yeni bir beceri yok. 00:09:36.450 --> 00:09:38.650 Sadece değişkenleri karıştırmamak için dikkat etmek gerekiyor. 00:09:38.650 --> 00:09:39.760 Değişkeni önce sabit almanız, sonra, yeri geldiğinde, o değişkene göre integral almanız gerekiyor. 00:09:39.760 --> 00:09:41.620 - 00:09:41.620 --> 00:09:44.710 - 00:09:44.710 --> 00:09:49.090 Neyse, bir sonraki videoda görüşmek üzere. 00:09:49.090 --> 00:09:49.900 -