Merhaba.
Şimdi sizi benzer üçgen konusuyla tanıştıracağım.
Önce şunu yazalım.
Günlük hayatta benzer ne demektir?
İki şeyin benzer olması demek onların
tamamen ve birebir aynı olmasa da aynı özellikler taşıdığını gösterir.
Üçgenler için de bu aynıdır.
Yani benzer üçgenler, bütün açıları aynı olan iki üçgendir.
-
Örnek olarak iki tane benzer üçgen çizelim.
Üçgenleri benzeterek çizeceğim ancak
boyutları farklı olacak.
-
Bu birincisi, şuraya da diğerini çizeceğim.
Benzerlikte boyutları aynı olmasa da
aynı şekle sahip olmalarının yeterli olduğunu göstermek için
bunu daha küçük çizeceğim.
Benzerlik hakkında düşünebileceğimiz ilk şey,
aynı açılara sahip olduklarından dolayı,
boyutunu değiştirsek de döndürsek de
temelde aynı şekle sahip oldukarıdır.
Bu üçgenleri ele alırsak.
Sınıfta yaptıkları gibi,
bu açının bu açıya eşit olduğunu ve
bu açının da buna eşit olduğunu söylersem,
-
bu açıların eşit olacağını bilirsiniz.
Bunlar neden eşittir?
Çünkü eğer üçgenlerin iki açısı eşitse
üçüncü açıları da eşittir.
Bunun nedeni iç açılarının toplamının 180 olmasıdır.
Örneğin, bu x, bu da y olsaydı
bu açı 180 eksi x eksi y olurdu.
Burası görmeniz için küçük olabilir.
Ancak durum burada da aynıdır.
Eğer bu x ve bu y ise
buradaki açı 180 eksi x eksi y dir.
Eğer üçgenlerin iki açısının aynı olduğunu biliyorsak,
üçüncü açılarının da aynı olduğunu biliriz.
Bu açı bu açıya eştir de diyebiliriz.
Bütün açılar eşit olduğunda da
üçgenlerin benzer olduğunu biliriz.
Üçgenlerin benzer olduğunu bulduğumuzda
yararlı olması için ne yapabiliriz?
Bu bilgiyi kenarları bulmak için kullanabiliriz.
-
Üçgenler aynı kenarlara sahip olmasalar da
karşılıklı gelen kenarlar arasında sabit bir oran vardır.
Kafanızı karıştırdığımı biliyorum.
Bir örnekle anlatayım.
Örneğin, bu kenara 5 diyelim.
Bu kenara bir sayı uyduralım, 6 diyelim.
-
Bu kenar da 7 olsun.
-
Bu kenarın da 2 olduğunu söyleyelim.
Karşılıklı gelen kenarlar arasındaki
oranın aynı olduğunu biliyoruz.
Bu üçgenlere baktığımızda
aynı boyutta olmasalar da karşılıklı gelen kenarları vardır.
Örneğin, bu kenar bu kenara karşılık gelmektedir.
Bunu nasıl mı biliyoruz?
Bu örnekte aynı dizilimde geldiler.
-
Ancak kenarların karşılık geldiğini
aynı açıya baktığından biliyoruz.
Bu kenar y açısını görüyor,
bu kenar da y ' yi görüyor.
Bu üçgen görmeniz için küçük olabilir ama
umarım dediğimi anlamışsınızdır.
Bunlar karşılık gelen kenarlar.
Benzer olarak bu mavi kenarla bu mavi kenar da karşılık gelir.
-
Neden mi?
Sol tarafta kaldıklarından dolayı değil,
çünkü üçgeni çevirip döndürebilirdik de.
Aynı açıya baktıkları için karşılıklı kenarlardır.
Bu benim üçgenlere bakış açım.
Özellikle trigonometride işe yarayan bir bakış açısıdır.
-
Bu bize nasıl yardım eder?
Karşılıklı kenarlar arasındaki oran hep aynıdır.
-
Küçük üçgendeki uzun kenarı bulacağımızı düşünelim.
-
Bunu yapabilmek için birkaç yol vardır.
Bu kenarın bu kenara oranını söyleyebiliriz o zaman,
x'in 7 ye oranı bu kenarın bu kenara oranına
yani 2 bölü 5'e eşittir.
Şimdi çözebiliriz.
Bunu her üçgende yapamazsınız,
sadece benzer üçgenlerde uygulayabilirsiniz.
-
x için çözdüğümüzde, iki tarafı 7 ile çarparak
x 14 bölü 5 e eşit çıkar.
yani 3'ten biraz daha az.
14 bölü 5, o da 2.8 gibi bir şeydir.
O da x'e eşittir.
Aynısını sarı kenarı bulmak için de yapabiliriz.
Benzer iki üçgende, bir üçgenin bütün kenarlarını
diğer üçgenin de bir kenarını biliyorsak
diğer kenarları da bulabiliriz.
Kafanızı karıştırmış olabilirim.
Şimdi, buna y diyelim. Aynı şekilde yapalım.
Bir üçgen eşitliğin iki tarafında da ya pay olur,
diğer üçgen de payda.
-
Eğer bir üçgen eşitliğin bir tarafında pay ise,
bu örnekte küçük üçgen paydır,
-
eşitliğin diğer tarafında da pay olmalıdır.
-
Tutarlı olması için tekrar ediyorum.
Eğer ters yazarsanız hiçbir sonuca varamayız.
Bunu çözersek, y eşittir 12 bölü 5 çıkar.
Şimbi bu bilgiyi benzer üçgen problemleri çözmek için kullanalım.
-
Şu ana kadar öğrendiğimiz geometriyi kullanalım.
Bunun gibi iki paralel doğrumuz, onları kesen bu doğru ve
böyle bir doğrumuz var.
Bunların paralel olduğunu söyledik.
Bu doğru bu doğruya paraleldir.
Bu kenara 5 dersek,
bu kenara da bir sayı verelim.
Başka renkle çizelim.
Bu kenara da 8 diyelim.
Bu kenarın ne olduğunu bulmaya çalışalım.
Bir üçgenin bütün kenarlarını bilmeniz açısından
bu kenarı da verelim.
Bu kenar da 6 olsun. Bulmak istediğimiz
buradaki mor kenar.
Bunu nasıl yaparız?
Herhangi bir oran kullanmadan önce
bu üçgenlerin benzer olduğunu kanıtlamamız lazım.
-
Bunu nasıl yapacağız?
Bakalım hangi açıların eş olduğunu çıkarabiliyor muyuz
-
Burada bir açımız var.
Bu açı, bu üçgendeki herhangi bir açıyla aynı mı?
-
Tabi ki.
Bu açı ile ters açıdır.
O yüzden eşit olacaktır.
Açının baktığı kenarın uzunluğunu bilmesek de
ters açısının baktığı kenara karşılık geldiğini biliyoruz.
Yani bu kenar 8'le oranlanır.
-
Eksik bilgi vermişim.
Bu kenarı da vermeliyiz.
Doğal renk kullanalım.
Bu kenarın da 4 olduğunu biliyoruz.
Soruya geri dönersek.
Bu iki açının eşit olduğunu ve
bu kenarın bu açıyı gören kenar olduğunu öğrendik.
Başka eşit açı bulabilir miyiz?
Diyelim ki bu açının ne olduğunu biliyoruz.
Bu açıyı çift çizgiyle göstereceğim.
Bu üçgende o açıya eşit açı bulunuyor mu?
-
Tabi ki.
Bu iki doğrunu paralel olduğunu bildiğimizden,
iç ters açılardan hangi açının buna eşit olduğunu buluruz.
-
Zamanımın bittiğini görüyorum.
-
Bu soruya bir sonraki videoda devam edeceğim.
-