В последното видео показахме, че отношението на страните в триъгълник 30-60-90 са...
ако приемем, че най-дългата страна е х,
хипотенузата е х, най-късата страна е х/2 и страната между тях,
страната, която е противоположна на 60 градуса, е корен квадратен от (3х/2).
Друг начин да мислим за това е, ако най-късата страна е едно
и аз ще направя най-късата страна, след това средната страна,
след това най-дългата страна. Ако страната срещу 30 градуса е 1,
тогава страната срещу ъгъла от 60 градуса
е корен квадратен от три по това. Тя е корен квадратен от три и след това
хипотенузата ще бъде два пъти това.
В последното видео започнахме с х и казахме, че
страната срещу ъгъла от 30 градуса е х върху 2,
но ако тя е 1, тогава това ще се удвои и ще бъде 2.
Това ето тук е страната срещу 30 градуса, това е страната срещу 60 градуса
и това е хипотенузата, страната срещу 90 градуса.
И така, ако видиш триъгълник, който има тези отношения, можеш да кажеш:
Хей, това е триъгълник 30-60-90.
Или ако видиш триъгълник, за който знаеш, че е триъгълник 30-60-90,
можеш да кажеш: Хей, знам как да намеря
една от страните въз основа на това отношение ето тук.
И само като пример:
Ако видиш триъгълник, който изглежда по този начин,
където страните са 2, 2 по корен квадратен от 3 и 4.
Още веднъж, отношението 2 към 2 по корен квадратен от 3
е 1 към корен квадратен от 3.
Отношението 2:4 е същото нещо като 1:2, значи това тук трябва да бъде триъгълник 30-60-90.
В това видео искам да покажа друг важен тип триъгълник, който се появява доста често
в геометрията и доста в тригонометрията.
И това е триъгълник 45-45-90.
Или друг начин да мислиш за това е, ако имам правоъгълен триъгълник, който е също и равнобедрен.
Правоъгълен триъгълник, който също е и равнобедрен.
Очевидно не можеш да имаш правоъгълен триъгълник, който е равностранен,
защото в равностранния триъгълник всички ъгли трябва да бъдат 60 градуса.
Но можеш да имаш правоъгълен триъгълник, който е равнобедрен.
Равнобедреният триъгълник – нека напиша това,
това е правоъгълен равнобедрен, рав-но-бед-рен триъгълник.
И ако той е равнобедрен, това означава, че 2 от страните са равни.
Това са двете страни, които са равни.
И след това, ако две от страните са равни, ние доказахме, че ъглите при основата са равни.
Ако наречем мярката на тези ъгли при основата х, сега знаем, че х + х + 90
трябва да бъде равно на 180.
х + х + 90 трябва да бъде равно на 180.
Ако извадим 90 от двете страни, получаваме х + х = 90.
Или 2х = 90 и ако разделиш двете страни на 2, получаваш х = 45 градуса.
Така че правоъгълният равнобедрен триъгълник може също да бъде наречен, и това е най-типичното име за него,
той може да бъде наречен също триъгълник 45-45-90.
Искам в това видео да намеря отношенията на страните
в триъгълник 45-45-90, точно както направихме за триъгълник 30-60-90.
И този е всъщност много по-лесен.
Защото в триъгълника 45-45-90, ако наречем едно
от бедрата х, другото бедро също ще бъде х.
И след това можем да използваме питагоровата теорема, за да намерим дължината
на хипотенузата.
Нека наречем дължината на хипотенузата 'с'.
Получаваме х^2 + х^2, това са квадратите на двете бедра.
Когато ги съберем, това трябва да бъде равно на с^2.
Това се получава точно от питагоровата теорема.
Така че получаваме 2х^2 = с^2.
Можем да коренуваме двете страни.
Искам да го сменя с жълто, а това не ми позволява... добре.
Сега нека коренуваме двете страни на това.
Корен квадратен от двете страни.
В лявата страна получаваме... корен от 2 е просто корен квадратен от 2.
Квадратен корен от х^2 ще бъде просто х.
Така че ще имаме х по корен квадратен от 2 е равно на с.
Така че за правоъгълен равнобедрен триъгълник, независимо колко са двете бедра –
те ще имат еднаква дължина, защото той е равнобедрен –
хипотенузата е корен квадратен от 2 по това.
Така че с е равно на х по корен квадратен от 2.
Така например, ако имаш триъгълник, който изглежда така.
Нека го начертая по малко по-различен начин.
Добре е да се ориентираме по различни начини всеки път.
Така че, ако виждаме триъгълник, който е 90 градуса, 45 и 45 като този.
И ти наистина просто трябва да знаеш два от тези ъгли, за да намериш колко
ще бъде другия.
И ако ти кажа, че тази страна тук е 3.
Всъщност, дори не трябва да ти казвам, че тази друга страна ще бъде 3.
Това е равнобедрен триъгълник, така че двете бедра ще бъдат равни.
И ти дори не трябва да прилагаш питагоровата теорема, ако знаеш това.
А това е добре да се знае –
че хипотенузата тук, страната срещу ъгъла от 90 градуса,
просто е корен квадратен от 2 по дължината на което и да е от бедрата.
Така че това ще бъде 3 по корен квадратен от 2.
И така, отношението на страните и хипотенузата в триъгълник 45-45-90
или правоъгълен равнобедрен триъгълник.
Отношението на страните е: едно от бедрата може да бъде 1,
след това другото бедро ще бъде със същата дължина.
И после хипотенузата ще бъде корен квадратен от 2 по едно от тези.
Едно към едно към корен квадратен от две.
И така, това е триъгълник 45-45-90, нека го напиша, това е триъгълник 45-45-90.
Това са отношенията. И само като преговор, ако имаш триъгълник 30-60-90,
отношенията са едно към корен квадратен от три към две.
И сега ще прилагаме това в редица задачи.