0:00:00.000,0:00:06.667
I den sidste video viste vi noget om forholdene mellem siderne i 30-60-90-trekanter.

0:00:06.667,0:00:11.702
Hvis den længste side, altså hypotenusen, er x, er den korteste side x over 2,

0:00:11.702,0:00:15.587
og siden modsat vinklen på 60 grader er kvadratroden af 3 gange x over 2.

0:00:15.587,0:00:22.087
Vi kan først tegne den korteste side, som her er 1.

0:00:22.087,0:00:27.133
Hvis siden modsat vinklen på 30 grader er 1,

0:00:27.133,0:00:32.333
er siden modsat vinklen på 60 grader kvadratroden af 3 gange 1.

0:00:32.333,0:00:37.000
Hypotenusen er det dobbelte af 1. I den sidste video sagde vi,

0:00:37.000,0:00:42.267
at hypotenusen var x, og så var den korteste side det halve, men her er det omvendt,

0:00:42.267,0:00:48.200
så hypotenusen er det dobbelte. Her er siden modsat vinklen på 30 grader,

0:00:48.200,0:00:51.533
siden modsat vinklen på 60 grader, og siden modsat den rette vinkel er hypotenusen.

0:00:51.533,0:00:56.933
Vi ved nu noget om 30-60-90-trekanter.

0:00:56.933,0:01:03.933
Hvis vi støder på sådan en i fremtiden og kun kender 1 af sidelængderne,

0:01:03.933,0:01:08.133
kan vi regne resten ud baseret på de forhold, vi kender.

0:01:08.133,0:01:16.267
En trekant kan for eksempel have siderne 2, 2 kvadratrødder af 3 og 4.

0:01:16.267,0:01:20.133
Forholdet mellem 2 og 2 kvadratrødder af 3 er det samme som mellem 1 og kvadratroden af 3.

0:01:20.133,0:01:25.400
Forholdet mellem 2 og 4 er det samme som mellem 1 og 2. Derfor må det her være en 30-60-90-trekant.

0:01:25.400,0:01:30.867
I den her video skal vi dog kigge på en anden vigtig type trekant.

0:01:30.867,0:01:36.867
Det er en 45-45-90-trekant.

0:01:36.867,0:01:41.333
Det er en retvinklet trekant, der også er ligebenet.

0:01:41.333,0:01:45.000
.

0:01:45.000,0:01:47.733
Der findes selvfølgelig ikke retvinklede trekanter,

0:01:47.733,0:01:51.667
der også er ligesidede, for ligesidede trekanter har 3 vinkler på 60 grader.

0:01:51.667,0:01:56.067
Vi kan dog godt have en retvinklet trekant, der er ligebenet.

0:01:56.067,0:02:03.933
.

0:02:03.933,0:02:07.533
At den er ligebenet betyder, at 2 af siderne er ens.

0:02:07.533,0:02:10.867
De er 2 sider er lig med hinanden.

0:02:10.867,0:02:15.667
Vi har tidligere bevist, at hvis 2 sider er ens, er grundvinklerne ens.

0:02:15.667,0:02:20.467
Hvis vi kalder grundvinklerne x, ved vi, at x plus x plus 90

0:02:20.467,0:02:26.067
er lig med 180 grader. Sådan er reglerne for trekanter.

0:02:26.067,0:02:31.000
Vi trækker 90 grader fra begge sider, får vi, at x plus x er lig med 90.

0:02:31.000,0:02:39.067
Det er det samme som 2x er lig med 90. Vi dividerer begge sider med 2, og så er x lig med 45.

0:02:39.067,0:02:44.533
En ligebenet retvinklet trekant

0:02:44.533,0:02:55.185
kan man altså også kalde en 45-45-90-trekant.

0:02:55.185,0:02:58.267
I den her video skal vi finde sideforholdene,

0:02:58.267,0:03:02.067
ligesom vi gjorde med 30-60-90-trekanterne.

0:03:02.067,0:03:03.600
Den her slags trekanter er faktisk nemmere.

0:03:03.600,0:03:08.667
I en 45-45-90-trekant er der nemlig 2 ens ben eller sider.

0:03:08.667,0:03:11.333
Der er 2 sider, der er x.

0:03:11.333,0:03:14.333
Vi kan nu bruge Pythagoras sætning til

0:03:14.333,0:03:15.733
at finde hypotenusens længde.

0:03:15.733,0:03:18.698
Lad os kalde hypotenusen for c.

0:03:18.698,0:03:27.467
x i anden plus x i anden.

0:03:27.467,0:03:30.600
Det er lig med c i anden.

0:03:30.600,0:03:33.333
Det har vi taget direkte fra Pythagoras sætning.

0:03:33.333,0:03:38.467
2x i anden er lig med c i anden.

0:03:38.467,0:03:42.867
Vi tager den positive kvadratrod af begge sider.

0:03:42.867,0:03:46.200
.

0:03:46.200,0:03:50.133
Vi tager den positive kvadratrod af begge sider af ligningen.

0:03:50.133,0:03:52.533
.

0:03:52.533,0:03:55.467
Kvadratroden af 2 er kvadratroden af 2 på venstre side.

0:03:55.467,0:03:58.533
Kvadratroden af x i anden er x.

0:03:58.533,0:04:05.667
x gange kvadratroden af 2 er lig med C.

0:04:05.667,0:04:09.267
I en ligebenet retvinklet trekant

0:04:09.267,0:04:11.933
er 2 af benene altid lige lange. Det er jo derfor, den er ligebenet.

0:04:11.933,0:04:14.867
Hypotenusen er kvadratroden af 2 gange det.

0:04:14.867,0:04:19.000
c er lig med x gange kvadratroden af 2.

0:04:19.000,0:04:22.867
Vi kan for eksempel støde på sådan en trekant her.

0:04:22.867,0:04:24.933
.

0:04:24.933,0:04:28.800
Det er altid godt at prøve mange forskellige eksempler.

0:04:28.800,0:04:33.933
Det er trekanter med vinkler på 90, 45 og 45 grader, vi snakker om.

0:04:33.933,0:04:36.667
Vi behøver kun kende 2 af vinklerne for at kende den tredje.

0:04:36.667,0:04:38.800
Sådan er det med alle trekanter.

0:04:38.800,0:04:41.800
Den her side er 3.

0:04:41.800,0:04:44.267
I så fald ved vi, at den anden side her også er 3.

0:04:44.267,0:04:47.933
Det er en ligebenet trekant, så de her sider er lige lange.

0:04:47.933,0:04:50.600
Vi behøver ikke bruge Pythagoras sætning for at

0:04:50.600,0:04:52.267
finde længden på den sidste side.

0:04:52.267,0:04:54.467
Hypotenusen, som er siden modsat den rette vinkel,

0:04:54.467,0:04:58.667
er lig med kvadratroden af 2 gange længden af en af de andre sider.

0:04:58.667,0:05:02.200
Den er lig med 3 gange kvadratroden af 2.

0:05:02.200,0:05:07.667
Det er altså forholdet mellem siderne

0:05:07.667,0:05:10.133
i en 45-45-90-trekant, som er en retvinklet ligebenet trekant.

0:05:10.133,0:05:13.200
Hvis den ene side er 1,

0:05:13.200,0:05:16.267
er den anden side det også.

0:05:16.267,0:05:20.133
I så fald er hypotenusen kvadratroden af 2 gange sidelængden.

0:05:20.133,0:05:22.867
1 til kvadratroden af 2.

0:05:22.867,0:05:29.600
Det her er en 45-45-90-trekant.

0:05:29.600,0:05:34.533
I en 30-60-90-trekant var forholdet

0:05:34.533,0:05:39.467
1 til kvadratroden af 3 til 2.

0:05:39.467,99:59:59.999
Nu er vi klar til at løse nogle opgaver med det her.