1
00:00:00,000 --> 00:00:06,667
I den sidste video viste vi noget om forholdene mellem siderne i 30-60-90-trekanter.

2
00:00:06,667 --> 00:00:11,702
Hvis den længste side, altså hypotenusen, er x, er den korteste side x over 2,

3
00:00:11,702 --> 00:00:15,587
og siden modsat vinklen på 60 grader er kvadratroden af 3 gange x over 2.

4
00:00:15,587 --> 00:00:22,087
Vi kan først tegne den korteste side, som her er 1.

5
00:00:22,087 --> 00:00:27,133
Hvis siden modsat vinklen på 30 grader er 1,

6
00:00:27,133 --> 00:00:32,333
er siden modsat vinklen på 60 grader kvadratroden af 3 gange 1.

7
00:00:32,333 --> 00:00:37,000
Hypotenusen er det dobbelte af 1. I den sidste video sagde vi,

8
00:00:37,000 --> 00:00:42,267
at hypotenusen var x, og så var den korteste side det halve, men her er det omvendt,

9
00:00:42,267 --> 00:00:48,200
så hypotenusen er det dobbelte. Her er siden modsat vinklen på 30 grader,

10
00:00:48,200 --> 00:00:51,533
siden modsat vinklen på 60 grader, og siden modsat den rette vinkel er hypotenusen.

11
00:00:51,533 --> 00:00:56,933
Vi ved nu noget om 30-60-90-trekanter.

12
00:00:56,933 --> 00:01:03,933
Hvis vi støder på sådan en i fremtiden og kun kender 1 af sidelængderne,

13
00:01:03,933 --> 00:01:08,133
kan vi regne resten ud baseret på de forhold, vi kender.

14
00:01:08,133 --> 00:01:16,267
En trekant kan for eksempel have siderne 2, 2 kvadratrødder af 3 og 4.

15
00:01:16,267 --> 00:01:20,133
Forholdet mellem 2 og 2 kvadratrødder af 3 er det samme som mellem 1 og kvadratroden af 3.

16
00:01:20,133 --> 00:01:25,400
Forholdet mellem 2 og 4 er det samme som mellem 1 og 2. Derfor må det her være en 30-60-90-trekant.

17
00:01:25,400 --> 00:01:30,867
I den her video skal vi dog kigge på en anden vigtig type trekant.

18
00:01:30,867 --> 00:01:36,867
Det er en 45-45-90-trekant.

19
00:01:36,867 --> 00:01:41,333
Det er en retvinklet trekant, der også er ligebenet.

20
00:01:41,333 --> 00:01:45,000
.

21
00:01:45,000 --> 00:01:47,733
Der findes selvfølgelig ikke retvinklede trekanter,

22
00:01:47,733 --> 00:01:51,667
der også er ligesidede, for ligesidede trekanter har 3 vinkler på 60 grader.

23
00:01:51,667 --> 00:01:56,067
Vi kan dog godt have en retvinklet trekant, der er ligebenet.

24
00:01:56,067 --> 00:02:03,933
.

25
00:02:03,933 --> 00:02:07,533
At den er ligebenet betyder, at 2 af siderne er ens.

26
00:02:07,533 --> 00:02:10,867
De er 2 sider er lig med hinanden.

27
00:02:10,867 --> 00:02:15,667
Vi har tidligere bevist, at hvis 2 sider er ens, er grundvinklerne ens.

28
00:02:15,667 --> 00:02:20,467
Hvis vi kalder grundvinklerne x, ved vi, at x plus x plus 90

29
00:02:20,467 --> 00:02:26,067
er lig med 180 grader. Sådan er reglerne for trekanter.

30
00:02:26,067 --> 00:02:31,000
Vi trækker 90 grader fra begge sider, får vi, at x plus x er lig med 90.

31
00:02:31,000 --> 00:02:39,067
Det er det samme som 2x er lig med 90. Vi dividerer begge sider med 2, og så er x lig med 45.

32
00:02:39,067 --> 00:02:44,533
En ligebenet retvinklet trekant

33
00:02:44,533 --> 00:02:55,185
kan man altså også kalde en 45-45-90-trekant.

34
00:02:55,185 --> 00:02:58,267
I den her video skal vi finde sideforholdene,

35
00:02:58,267 --> 00:03:02,067
ligesom vi gjorde med 30-60-90-trekanterne.

36
00:03:02,067 --> 00:03:03,600
Den her slags trekanter er faktisk nemmere.

37
00:03:03,600 --> 00:03:08,667
I en 45-45-90-trekant er der nemlig 2 ens ben eller sider.

38
00:03:08,667 --> 00:03:11,333
Der er 2 sider, der er x.

39
00:03:11,333 --> 00:03:14,333
Vi kan nu bruge Pythagoras sætning til

40
00:03:14,333 --> 00:03:15,733
at finde hypotenusens længde.

41
00:03:15,733 --> 00:03:18,698
Lad os kalde hypotenusen for c.

42
00:03:18,698 --> 00:03:27,467
x i anden plus x i anden.

43
00:03:27,467 --> 00:03:30,600
Det er lig med c i anden.

44
00:03:30,600 --> 00:03:33,333
Det har vi taget direkte fra Pythagoras sætning.

45
00:03:33,333 --> 00:03:38,467
2x i anden er lig med c i anden.

46
00:03:38,467 --> 00:03:42,867
Vi tager den positive kvadratrod af begge sider.

47
00:03:42,867 --> 00:03:46,200
.

48
00:03:46,200 --> 00:03:50,133
Vi tager den positive kvadratrod af begge sider af ligningen.

49
00:03:50,133 --> 00:03:52,533
.

50
00:03:52,533 --> 00:03:55,467
Kvadratroden af 2 er kvadratroden af 2 på venstre side.

51
00:03:55,467 --> 00:03:58,533
Kvadratroden af x i anden er x.

52
00:03:58,533 --> 00:04:05,667
x gange kvadratroden af 2 er lig med C.

53
00:04:05,667 --> 00:04:09,267
I en ligebenet retvinklet trekant

54
00:04:09,267 --> 00:04:11,933
er 2 af benene altid lige lange. Det er jo derfor, den er ligebenet.

55
00:04:11,933 --> 00:04:14,867
Hypotenusen er kvadratroden af 2 gange det.

56
00:04:14,867 --> 00:04:19,000
c er lig med x gange kvadratroden af 2.

57
00:04:19,000 --> 00:04:22,867
Vi kan for eksempel støde på sådan en trekant her.

58
00:04:22,867 --> 00:04:24,933
.

59
00:04:24,933 --> 00:04:28,800
Det er altid godt at prøve mange forskellige eksempler.

60
00:04:28,800 --> 00:04:33,933
Det er trekanter med vinkler på 90, 45 og 45 grader, vi snakker om.

61
00:04:33,933 --> 00:04:36,667
Vi behøver kun kende 2 af vinklerne for at kende den tredje.

62
00:04:36,667 --> 00:04:38,800
Sådan er det med alle trekanter.

63
00:04:38,800 --> 00:04:41,800
Den her side er 3.

64
00:04:41,800 --> 00:04:44,267
I så fald ved vi, at den anden side her også er 3.

65
00:04:44,267 --> 00:04:47,933
Det er en ligebenet trekant, så de her sider er lige lange.

66
00:04:47,933 --> 00:04:50,600
Vi behøver ikke bruge Pythagoras sætning for at

67
00:04:50,600 --> 00:04:52,267
finde længden på den sidste side.

68
00:04:52,267 --> 00:04:54,467
Hypotenusen, som er siden modsat den rette vinkel,

69
00:04:54,467 --> 00:04:58,667
er lig med kvadratroden af 2 gange længden af en af de andre sider.

70
00:04:58,667 --> 00:05:02,200
Den er lig med 3 gange kvadratroden af 2.

71
00:05:02,200 --> 00:05:07,667
Det er altså forholdet mellem siderne

72
00:05:07,667 --> 00:05:10,133
i en 45-45-90-trekant, som er en retvinklet ligebenet trekant.

73
00:05:10,133 --> 00:05:13,200
Hvis den ene side er 1,

74
00:05:13,200 --> 00:05:16,267
er den anden side det også.

75
00:05:16,267 --> 00:05:20,133
I så fald er hypotenusen kvadratroden af 2 gange sidelængden.

76
00:05:20,133 --> 00:05:22,867
1 til kvadratroden af 2.

77
00:05:22,867 --> 00:05:29,600
Det her er en 45-45-90-trekant.

78
00:05:29,600 --> 00:05:34,533
I en 30-60-90-trekant var forholdet

79
00:05:34,533 --> 00:05:39,467
1 til kvadratroden af 3 til 2.

80
00:05:39,467 --> 99:59:59,999
Nu er vi klar til at løse nogle opgaver med det her.