WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:06.667 I den sidste video viste vi noget om forholdene mellem siderne i 30-60-90-trekanter. 00:00:06.667 --> 00:00:11.702 Hvis den længste side, altså hypotenusen, er x, er den korteste side x over 2, 00:00:11.702 --> 00:00:15.587 og siden modsat vinklen på 60 grader er kvadratroden af 3 gange x over 2. 00:00:15.587 --> 00:00:22.087 Vi kan først tegne den korteste side, som her er 1. 00:00:22.087 --> 00:00:27.133 Hvis siden modsat vinklen på 30 grader er 1, 00:00:27.133 --> 00:00:32.333 er siden modsat vinklen på 60 grader kvadratroden af 3 gange 1. 00:00:32.333 --> 00:00:37.000 Hypotenusen er det dobbelte af 1. I den sidste video sagde vi, 00:00:37.000 --> 00:00:42.267 at hypotenusen var x, og så var den korteste side det halve, men her er det omvendt, 00:00:42.267 --> 00:00:48.200 så hypotenusen er det dobbelte. Her er siden modsat vinklen på 30 grader, 00:00:48.200 --> 00:00:51.533 siden modsat vinklen på 60 grader, og siden modsat den rette vinkel er hypotenusen. 00:00:51.533 --> 00:00:56.933 Vi ved nu noget om 30-60-90-trekanter. 00:00:56.933 --> 00:01:03.933 Hvis vi støder på sådan en i fremtiden og kun kender 1 af sidelængderne, 00:01:03.933 --> 00:01:08.133 kan vi regne resten ud baseret på de forhold, vi kender. 00:01:08.133 --> 00:01:16.267 En trekant kan for eksempel have siderne 2, 2 kvadratrødder af 3 og 4. 00:01:16.267 --> 00:01:20.133 Forholdet mellem 2 og 2 kvadratrødder af 3 er det samme som mellem 1 og kvadratroden af 3. 00:01:20.133 --> 00:01:25.400 Forholdet mellem 2 og 4 er det samme som mellem 1 og 2. Derfor må det her være en 30-60-90-trekant. 00:01:25.400 --> 00:01:30.867 I den her video skal vi dog kigge på en anden vigtig type trekant. 00:01:30.867 --> 00:01:36.867 Det er en 45-45-90-trekant. 00:01:36.867 --> 00:01:41.333 Det er en retvinklet trekant, der også er ligebenet. 00:01:41.333 --> 00:01:45.000 . 00:01:45.000 --> 00:01:47.733 Der findes selvfølgelig ikke retvinklede trekanter, 00:01:47.733 --> 00:01:51.667 der også er ligesidede, for ligesidede trekanter har 3 vinkler på 60 grader. 00:01:51.667 --> 00:01:56.067 Vi kan dog godt have en retvinklet trekant, der er ligebenet. 00:01:56.067 --> 00:02:03.933 . 00:02:03.933 --> 00:02:07.533 At den er ligebenet betyder, at 2 af siderne er ens. 00:02:07.533 --> 00:02:10.867 De er 2 sider er lig med hinanden. 00:02:10.867 --> 00:02:15.667 Vi har tidligere bevist, at hvis 2 sider er ens, er grundvinklerne ens. 00:02:15.667 --> 00:02:20.467 Hvis vi kalder grundvinklerne x, ved vi, at x plus x plus 90 00:02:20.467 --> 00:02:26.067 er lig med 180 grader. Sådan er reglerne for trekanter. 00:02:26.067 --> 00:02:31.000 Vi trækker 90 grader fra begge sider, får vi, at x plus x er lig med 90. 00:02:31.000 --> 00:02:39.067 Det er det samme som 2x er lig med 90. Vi dividerer begge sider med 2, og så er x lig med 45. 00:02:39.067 --> 00:02:44.533 En ligebenet retvinklet trekant 00:02:44.533 --> 00:02:55.185 kan man altså også kalde en 45-45-90-trekant. 00:02:55.185 --> 00:02:58.267 I den her video skal vi finde sideforholdene, 00:02:58.267 --> 00:03:02.067 ligesom vi gjorde med 30-60-90-trekanterne. 00:03:02.067 --> 00:03:03.600 Den her slags trekanter er faktisk nemmere. 00:03:03.600 --> 00:03:08.667 I en 45-45-90-trekant er der nemlig 2 ens ben eller sider. 00:03:08.667 --> 00:03:11.333 Der er 2 sider, der er x. 00:03:11.333 --> 00:03:14.333 Vi kan nu bruge Pythagoras sætning til 00:03:14.333 --> 00:03:15.733 at finde hypotenusens længde. 00:03:15.733 --> 00:03:18.698 Lad os kalde hypotenusen for c. 00:03:18.698 --> 00:03:27.467 x i anden plus x i anden. 00:03:27.467 --> 00:03:30.600 Det er lig med c i anden. 00:03:30.600 --> 00:03:33.333 Det har vi taget direkte fra Pythagoras sætning. 00:03:33.333 --> 00:03:38.467 2x i anden er lig med c i anden. 00:03:38.467 --> 00:03:42.867 Vi tager den positive kvadratrod af begge sider. 00:03:42.867 --> 00:03:46.200 . 00:03:46.200 --> 00:03:50.133 Vi tager den positive kvadratrod af begge sider af ligningen. 00:03:50.133 --> 00:03:52.533 . 00:03:52.533 --> 00:03:55.467 Kvadratroden af 2 er kvadratroden af 2 på venstre side. 00:03:55.467 --> 00:03:58.533 Kvadratroden af x i anden er x. 00:03:58.533 --> 00:04:05.667 x gange kvadratroden af 2 er lig med C. 00:04:05.667 --> 00:04:09.267 I en ligebenet retvinklet trekant 00:04:09.267 --> 00:04:11.933 er 2 af benene altid lige lange. Det er jo derfor, den er ligebenet. 00:04:11.933 --> 00:04:14.867 Hypotenusen er kvadratroden af 2 gange det. 00:04:14.867 --> 00:04:19.000 c er lig med x gange kvadratroden af 2. 00:04:19.000 --> 00:04:22.867 Vi kan for eksempel støde på sådan en trekant her. 00:04:22.867 --> 00:04:24.933 . 00:04:24.933 --> 00:04:28.800 Det er altid godt at prøve mange forskellige eksempler. 00:04:28.800 --> 00:04:33.933 Det er trekanter med vinkler på 90, 45 og 45 grader, vi snakker om. 00:04:33.933 --> 00:04:36.667 Vi behøver kun kende 2 af vinklerne for at kende den tredje. 00:04:36.667 --> 00:04:38.800 Sådan er det med alle trekanter. 00:04:38.800 --> 00:04:41.800 Den her side er 3. 00:04:41.800 --> 00:04:44.267 I så fald ved vi, at den anden side her også er 3. 00:04:44.267 --> 00:04:47.933 Det er en ligebenet trekant, så de her sider er lige lange. 00:04:47.933 --> 00:04:50.600 Vi behøver ikke bruge Pythagoras sætning for at 00:04:50.600 --> 00:04:52.267 finde længden på den sidste side. 00:04:52.267 --> 00:04:54.467 Hypotenusen, som er siden modsat den rette vinkel, 00:04:54.467 --> 00:04:58.667 er lig med kvadratroden af 2 gange længden af en af de andre sider. 00:04:58.667 --> 00:05:02.200 Den er lig med 3 gange kvadratroden af 2. 00:05:02.200 --> 00:05:07.667 Det er altså forholdet mellem siderne 00:05:07.667 --> 00:05:10.133 i en 45-45-90-trekant, som er en retvinklet ligebenet trekant. 00:05:10.133 --> 00:05:13.200 Hvis den ene side er 1, 00:05:13.200 --> 00:05:16.267 er den anden side det også. 00:05:16.267 --> 00:05:20.133 I så fald er hypotenusen kvadratroden af 2 gange sidelængden. 00:05:20.133 --> 00:05:22.867 1 til kvadratroden af 2. 00:05:22.867 --> 00:05:29.600 Det her er en 45-45-90-trekant. 00:05:29.600 --> 00:05:34.533 I en 30-60-90-trekant var forholdet 00:05:34.533 --> 00:05:39.467 1 til kvadratroden af 3 til 2. 00:05:39.467 --> 99:59:59.999 Nu er vi klar til at løse nogle opgaver med det her.