1
00:00:00,000 --> 00:00:06,667
W ostatnim filmie pokazaliśmy, że stosunek
boków trójkąta o kątach 30,60,90 to, gdy

2
00:00:06,667 --> 00:00:11,702
najdłuższy bok, przeciwprostokątna, jest równa x,
to najkrótszy bok to x przez 2, a bok pomiędzy,

3
00:00:11,702 --> 00:00:15,587
ten, który jest naprzeciwko kąta 60 stopni
wynosi pierwiastek z 3 razy x przez 2

4
00:00:15,587 --> 00:00:22,087
Inaczej, jeśli najkrótszy bok ma długość 1,
najpierw najkrótszy bok, potem średni

5
00:00:22,087 --> 00:00:27,133
a potem najdłuższy. Więc jeśli bok naprzeciwko
kąta 30 stopni ma długość 1, to bok

6
00:00:27,133 --> 00:00:32,333
naprzeciwko kąta 60 to pierwiastek z 3.
Więc to będzie pierwiastek z 3, zaś

7
00:00:32,333 --> 00:00:37,000
przeciwprostokątna wyniesie 2. W ostatnim
filmie zaczęliśmy z x i powiedzieliśmy, że

8
00:00:37,000 --> 00:00:42,267
bok naprzeciwko 30 wynosi x przez 2, ale jeśli
ten bok jest równy 1, to to będzie 2 razy tyle

9
00:00:42,267 --> 00:00:48,200
czyli 2. To tutaj to bok naprzeciwko kąta 30
ten naprzeciwko kąta 60

10
00:00:48,200 --> 00:00:51,533
a ten to przeciwprostokątna, naprzeciwko 90.

11
00:00:51,533 --> 00:00:56,933
Ogólnie, jeśli widzisz taki trójkąt, to hej!
to jest trójkąt o kątach 30,60,90

12
00:00:56,933 --> 00:01:03,933
A gdy widzisz trójkąt 30,60,90, to hej!
Wiesz jak znaleźć przy pomocy

13
00:01:03,933 --> 00:01:08,133
jednego boku pozostałe, przy tym
stosunku. I tu przykład:

14
00:01:08,133 --> 00:01:16,267
Jak widzisz taki trójkąt, gdzie boki wynoszą
2, 2 razy pierwiastek z 3, 4

15
00:01:16,267 --> 00:01:20,133
To znowu, stosunek 2 do 2√3 jest jak
1 do √3.

16
00:01:20,133 --> 00:01:25,400
Stosunek 2 do 4 jest jak 1 do 2, czyli
to musi być trójkąt 30,60,90.

17
00:01:25,400 --> 00:01:30,867
Chciałbym Was wprowadzić do innego
bardzo ważnego trójkąta pojawiającego się

18
00:01:30,867 --> 00:01:36,867
w geometrii i trygonometrii.
To jest trójkąt o kątach 45,45,90 stopni.

19
00:01:36,867 --> 00:01:41,333
Inaczej, jeśli mamy trójkąt prostokątny
który ponadto jest równoramienny

20
00:01:41,333 --> 00:01:45,000
więc prostokątny trójkąt równoramienny

21
00:01:45,000 --> 00:01:47,733
Oczywiście nie da się mieć trójkąta
prostokątnego i równobocznego

22
00:01:47,733 --> 00:01:51,667
bo w nim wszystkie kąty są równe 60.

23
00:01:51,667 --> 00:01:56,067
Ale możemy mieć kąt prosty, więc też
prostokątny, równoramienny trójkąt

24
00:01:56,067 --> 00:02:03,933
Równoramienny, napiszę to,
to jest prostokątny, równoramienny trójkąt

25
00:02:03,933 --> 00:02:07,533
Co znaczy, że 2 z jego boków są równe

26
00:02:07,533 --> 00:02:10,867
Wiec te dwa boki są równe

27
00:02:10,867 --> 00:02:15,667
A jeśli te dwa boki są równe to już wiemy
że kąty przy podstawie są równe

28
00:02:15,667 --> 00:02:20,467
Jeśli ich miarę oznaczymy jako x,
to wiemy, że x+x+90

29
00:02:20,467 --> 00:02:26,067
równa się 180.
x+x+90 musi się równać 180.

30
00:02:26,067 --> 00:02:31,000
Odejmując 90 od obu stron,
dostajemy x+x = 90

31
00:02:31,000 --> 00:02:39,067
Lub 2x = 90, LUB, gdy podzielimy
obie strony przez 2, to x = 45.

32
00:02:39,067 --> 00:02:44,533
Więc prostokątny równoramienny trójkąt może
też być nazwany, tak się go zwykle nazywa

33
00:02:44,533 --> 00:02:55,185
jako trójkąt o kątach 45,45,90

34
00:02:55,185 --> 00:02:58,267
To co chcę tutaj zrobić, to znaleźć
stosunki boków

35
00:02:58,267 --> 00:03:02,067
trójkąta 45,45,90, tak jak to było
w przypadku trójkąta 30,60,90

36
00:03:02,067 --> 00:03:03,600
Tutaj jest tak naprawdę prościej

37
00:03:03,600 --> 00:03:08,667
ponieważ w trójkącie 45,45,90
gdy nazwiemy przyprostokątną jako x

38
00:03:08,667 --> 00:03:11,333
to druga przyprostokątna też jest x

39
00:03:11,333 --> 00:03:14,333
i możemy użyć twierdzenia Pitagorasa
by znaleźć długość

40
00:03:14,333 --> 00:03:15,733
przeciwprostokątnej

41
00:03:15,733 --> 00:03:18,698
Więc jej długość, nazwijmy ją c

42
00:03:18,698 --> 00:03:27,467
dostaniemy, że x do kwadratu dodać x do
kwadratu, to jest kwadrat przyprostokątnej

43
00:03:27,467 --> 00:03:30,600
Więc gdy je dodamy, to dostaniemy że to
się równa c do kwadratu.

44
00:03:30,600 --> 00:03:33,333
Po prostu twierdzenie Pitagorasa

45
00:03:33,333 --> 00:03:38,467
Dostajemy 2 razy x kwadrat równe c kwadrat

46
00:03:38,467 --> 00:03:42,867
Możemy wziąć pierwiastek dodatni obu stron

47
00:03:42,867 --> 00:03:46,200
Chcę zmienić na żółty, ale nie daje mi...

48
00:03:46,200 --> 00:03:50,133
Ok, c do kwadratu. Weźmy pierwiastek
dodatni obu stron

49
00:03:50,133 --> 00:03:52,533
Dodatni pierwiastek obu stron

50
00:03:52,533 --> 00:03:55,467
Po lewej stronie dostajemy, że dodatni
pierwiastek z 2 to po prostu √2

51
00:03:55,467 --> 00:03:58,533
A pierwiastek dodatni z x kwadrat
to po prostu x

52
00:03:58,533 --> 00:04:05,667
Więc mamy x razy √2 jest równe c

53
00:04:05,667 --> 00:04:09,267
Więc mając prostokątny trójkąt równoramienny
niezależnie od długości

54
00:04:09,267 --> 00:04:11,933
przyprostokątnych, które zawsze w nim
będą takie same

55
00:04:11,933 --> 00:04:14,867
przeciwprostokątna to będzie √2 razy
długość przyprostokątnej

56
00:04:14,867 --> 00:04:19,000
Więc c równa się x razy √2

57
00:04:19,000 --> 00:04:22,867
Na przykład, gdy mamy o taki
trójkąt prostokątny

58
00:04:22,867 --> 00:04:24,933
Może narysuję go inaczej...

59
00:04:24,933 --> 00:04:28,800
Dobrze nie rysować go zawsze tak samo

60
00:04:28,800 --> 00:04:33,933
Więc gdy mamy trójkąt o kątach 90,45,45

61
00:04:33,933 --> 00:04:36,667
i potrzeba znać tylko dwa z tych trzech kątów

62
00:04:36,667 --> 00:04:38,800
by znać pozostały.

63
00:04:38,800 --> 00:04:41,800
Jeśli napiszę, że ten bok ma długość 3

64
00:04:41,800 --> 00:04:44,267
I tak naprawdę nie muszę mówić, że
ten drugi też ma 3

65
00:04:44,267 --> 00:04:47,933
To jest trójkąt równoramienny, więc
te dwa boki będą takie same

66
00:04:47,933 --> 00:04:50,600
I nawet nie musisz stosować tw. Pitagorasa
jeśli już to wiesz

67
00:04:50,600 --> 00:04:52,267
A to dobrze wiedzieć

68
00:04:52,267 --> 00:04:54,467
Że przeciwprostokątna, bok
naprzeciwko kąta 90

69
00:04:54,467 --> 00:04:58,667
to po prostu √2 razy długość jednego
z pozostałych boków

70
00:04:58,667 --> 00:05:02,200
Więc to będzie 3 razy √2

71
00:05:02,200 --> 00:05:07,667
Więc stosunek boków w trójkącie 45,45,90

72
00:05:07,667 --> 00:05:10,133
lub prostokątnym, równoramiennym trójkącie

73
00:05:10,133 --> 00:05:13,200
Stosunek wynosi: jak jeden z boków ma długość 1

74
00:05:13,200 --> 00:05:16,267
to ten drugi bok ma tyle samo

75
00:05:16,267 --> 00:05:20,133
a przeciwprostokątna to po prostu √2

76
00:05:20,133 --> 00:05:22,867
1 do 1 do √2

77
00:05:22,867 --> 00:05:29,600
To jest trójkąt 45,45,90, napiszę to

78
00:05:29,600 --> 00:05:34,533
A to stosunek. A dla powtórki
dla trójkąta 30,60,90

79
00:05:34,533 --> 00:05:39,467
stosunek boków to 1 do √3 do 2

80
00:05:38,000 --> 00:05:42,000
Zastosujemy to przy okazji wielu różnych problemów