W ostatnim filmie pokazaliśmy, że stosunek boków trójkąta o kątach 30,60,90 to, gdy najdłuższy bok, przeciwprostokątna, jest równa x, to najkrótszy bok to x przez 2, a bok pomiędzy, ten, który jest naprzeciwko kąta 60 stopni wynosi pierwiastek z 3 razy x przez 2 Inaczej, jeśli najkrótszy bok ma długość 1, najpierw najkrótszy bok, potem średni a potem najdłuższy. Więc jeśli bok naprzeciwko kąta 30 stopni ma długość 1, to bok naprzeciwko kąta 60 to pierwiastek z 3. Więc to będzie pierwiastek z 3, zaś przeciwprostokątna wyniesie 2. W ostatnim filmie zaczęliśmy z x i powiedzieliśmy, że bok naprzeciwko 30 wynosi x przez 2, ale jeśli ten bok jest równy 1, to to będzie 2 razy tyle czyli 2. To tutaj to bok naprzeciwko kąta 30 ten naprzeciwko kąta 60 a ten to przeciwprostokątna, naprzeciwko 90. Ogólnie, jeśli widzisz taki trójkąt, to hej! to jest trójkąt o kątach 30,60,90 A gdy widzisz trójkąt 30,60,90, to hej! Wiesz jak znaleźć przy pomocy jednego boku pozostałe, przy tym stosunku. I tu przykład: Jak widzisz taki trójkąt, gdzie boki wynoszą 2, 2 razy pierwiastek z 3, 4 To znowu, stosunek 2 do 2√3 jest jak 1 do √3. Stosunek 2 do 4 jest jak 1 do 2, czyli to musi być trójkąt 30,60,90. Chciałbym Was wprowadzić do innego bardzo ważnego trójkąta pojawiającego się w geometrii i trygonometrii. To jest trójkąt o kątach 45,45,90 stopni. Inaczej, jeśli mamy trójkąt prostokątny który ponadto jest równoramienny więc prostokątny trójkąt równoramienny Oczywiście nie da się mieć trójkąta prostokątnego i równobocznego bo w nim wszystkie kąty są równe 60. Ale możemy mieć kąt prosty, więc też prostokątny, równoramienny trójkąt Równoramienny, napiszę to, to jest prostokątny, równoramienny trójkąt Co znaczy, że 2 z jego boków są równe Wiec te dwa boki są równe A jeśli te dwa boki są równe to już wiemy że kąty przy podstawie są równe Jeśli ich miarę oznaczymy jako x, to wiemy, że x+x+90 równa się 180. x+x+90 musi się równać 180. Odejmując 90 od obu stron, dostajemy x+x = 90 Lub 2x = 90, LUB, gdy podzielimy obie strony przez 2, to x = 45. Więc prostokątny równoramienny trójkąt może też być nazwany, tak się go zwykle nazywa jako trójkąt o kątach 45,45,90 To co chcę tutaj zrobić, to znaleźć stosunki boków trójkąta 45,45,90, tak jak to było w przypadku trójkąta 30,60,90 Tutaj jest tak naprawdę prościej ponieważ w trójkącie 45,45,90 gdy nazwiemy przyprostokątną jako x to druga przyprostokątna też jest x i możemy użyć twierdzenia Pitagorasa by znaleźć długość przeciwprostokątnej Więc jej długość, nazwijmy ją c dostaniemy, że x do kwadratu dodać x do kwadratu, to jest kwadrat przyprostokątnej Więc gdy je dodamy, to dostaniemy że to się równa c do kwadratu. Po prostu twierdzenie Pitagorasa Dostajemy 2 razy x kwadrat równe c kwadrat Możemy wziąć pierwiastek dodatni obu stron Chcę zmienić na żółty, ale nie daje mi... Ok, c do kwadratu. Weźmy pierwiastek dodatni obu stron Dodatni pierwiastek obu stron Po lewej stronie dostajemy, że dodatni pierwiastek z 2 to po prostu √2 A pierwiastek dodatni z x kwadrat to po prostu x Więc mamy x razy √2 jest równe c Więc mając prostokątny trójkąt równoramienny niezależnie od długości przyprostokątnych, które zawsze w nim będą takie same przeciwprostokątna to będzie √2 razy długość przyprostokątnej Więc c równa się x razy √2 Na przykład, gdy mamy o taki trójkąt prostokątny Może narysuję go inaczej... Dobrze nie rysować go zawsze tak samo Więc gdy mamy trójkąt o kątach 90,45,45 i potrzeba znać tylko dwa z tych trzech kątów by znać pozostały. Jeśli napiszę, że ten bok ma długość 3 I tak naprawdę nie muszę mówić, że ten drugi też ma 3 To jest trójkąt równoramienny, więc te dwa boki będą takie same I nawet nie musisz stosować tw. Pitagorasa jeśli już to wiesz A to dobrze wiedzieć Że przeciwprostokątna, bok naprzeciwko kąta 90 to po prostu √2 razy długość jednego z pozostałych boków Więc to będzie 3 razy √2 Więc stosunek boków w trójkącie 45,45,90 lub prostokątnym, równoramiennym trójkącie Stosunek wynosi: jak jeden z boków ma długość 1 to ten drugi bok ma tyle samo a przeciwprostokątna to po prostu √2 1 do 1 do √2 To jest trójkąt 45,45,90, napiszę to A to stosunek. A dla powtórki dla trójkąta 30,60,90 stosunek boków to 1 do √3 do 2 Zastosujemy to przy okazji wielu różnych problemów