WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:06.667
W ostatnim filmie pokazaliśmy, że stosunek
boków trójkąta o kątach 30,60,90 to, gdy

00:00:06.667 --> 00:00:11.702
najdłuższy bok, przeciwprostokątna, jest równa x,
to najkrótszy bok to x przez 2, a bok pomiędzy,

00:00:11.702 --> 00:00:15.587
ten, który jest naprzeciwko kąta 60 stopni
wynosi pierwiastek z 3 razy x przez 2

00:00:15.587 --> 00:00:22.087
Inaczej, jeśli najkrótszy bok ma długość 1,
najpierw najkrótszy bok, potem średni

00:00:22.087 --> 00:00:27.133
a potem najdłuższy. Więc jeśli bok naprzeciwko
kąta 30 stopni ma długość 1, to bok

00:00:27.133 --> 00:00:32.333
naprzeciwko kąta 60 to pierwiastek z 3.
Więc to będzie pierwiastek z 3, zaś

00:00:32.333 --> 00:00:37.000
przeciwprostokątna wyniesie 2. W ostatnim
filmie zaczęliśmy z x i powiedzieliśmy, że

00:00:37.000 --> 00:00:42.267
bok naprzeciwko 30 wynosi x przez 2, ale jeśli
ten bok jest równy 1, to to będzie 2 razy tyle

00:00:42.267 --> 00:00:48.200
czyli 2. To tutaj to bok naprzeciwko kąta 30
ten naprzeciwko kąta 60

00:00:48.200 --> 00:00:51.533
a ten to przeciwprostokątna, naprzeciwko 90.

00:00:51.533 --> 00:00:56.933
Ogólnie, jeśli widzisz taki trójkąt, to hej!
to jest trójkąt o kątach 30,60,90

00:00:56.933 --> 00:01:03.933
A gdy widzisz trójkąt 30,60,90, to hej!
Wiesz jak znaleźć przy pomocy

00:01:03.933 --> 00:01:08.133
jednego boku pozostałe, przy tym
stosunku. I tu przykład:

00:01:08.133 --> 00:01:16.267
Jak widzisz taki trójkąt, gdzie boki wynoszą
2, 2 razy pierwiastek z 3, 4

00:01:16.267 --> 00:01:20.133
To znowu, stosunek 2 do 2√3 jest jak
1 do √3.

00:01:20.133 --> 00:01:25.400
Stosunek 2 do 4 jest jak 1 do 2, czyli
to musi być trójkąt 30,60,90.

00:01:25.400 --> 00:01:30.867
Chciałbym Was wprowadzić do innego
bardzo ważnego trójkąta pojawiającego się

00:01:30.867 --> 00:01:36.867
w geometrii i trygonometrii.
To jest trójkąt o kątach 45,45,90 stopni.

00:01:36.867 --> 00:01:41.333
Inaczej, jeśli mamy trójkąt prostokątny
który ponadto jest równoramienny

00:01:41.333 --> 00:01:45.000
więc prostokątny trójkąt równoramienny

00:01:45.000 --> 00:01:47.733
Oczywiście nie da się mieć trójkąta
prostokątnego i równobocznego

00:01:47.733 --> 00:01:51.667
bo w nim wszystkie kąty są równe 60.

00:01:51.667 --> 00:01:56.067
Ale możemy mieć kąt prosty, więc też
prostokątny, równoramienny trójkąt

00:01:56.067 --> 00:02:03.933
Równoramienny, napiszę to,
to jest prostokątny, równoramienny trójkąt

00:02:03.933 --> 00:02:07.533
Co znaczy, że 2 z jego boków są równe

00:02:07.533 --> 00:02:10.867
Wiec te dwa boki są równe

00:02:10.867 --> 00:02:15.667
A jeśli te dwa boki są równe to już wiemy
że kąty przy podstawie są równe

00:02:15.667 --> 00:02:20.467
Jeśli ich miarę oznaczymy jako x,
to wiemy, że x+x+90

00:02:20.467 --> 00:02:26.067
równa się 180.
x+x+90 musi się równać 180.

00:02:26.067 --> 00:02:31.000
Odejmując 90 od obu stron,
dostajemy x+x = 90

00:02:31.000 --> 00:02:39.067
Lub 2x = 90, LUB, gdy podzielimy
obie strony przez 2, to x = 45.

00:02:39.067 --> 00:02:44.533
Więc prostokątny równoramienny trójkąt może
też być nazwany, tak się go zwykle nazywa

00:02:44.533 --> 00:02:55.185
jako trójkąt o kątach 45,45,90

00:02:55.185 --> 00:02:58.267
To co chcę tutaj zrobić, to znaleźć
stosunki boków

00:02:58.267 --> 00:03:02.067
trójkąta 45,45,90, tak jak to było
w przypadku trójkąta 30,60,90

00:03:02.067 --> 00:03:03.600
Tutaj jest tak naprawdę prościej

00:03:03.600 --> 00:03:08.667
ponieważ w trójkącie 45,45,90
gdy nazwiemy przyprostokątną jako x

00:03:08.667 --> 00:03:11.333
to druga przyprostokątna też jest x

00:03:11.333 --> 00:03:14.333
i możemy użyć twierdzenia Pitagorasa
by znaleźć długość

00:03:14.333 --> 00:03:15.733
przeciwprostokątnej

00:03:15.733 --> 00:03:18.698
Więc jej długość, nazwijmy ją c

00:03:18.698 --> 00:03:27.467
dostaniemy, że x do kwadratu dodać x do
kwadratu, to jest kwadrat przyprostokątnej

00:03:27.467 --> 00:03:30.600
Więc gdy je dodamy, to dostaniemy że to
się równa c do kwadratu.

00:03:30.600 --> 00:03:33.333
Po prostu twierdzenie Pitagorasa

00:03:33.333 --> 00:03:38.467
Dostajemy 2 razy x kwadrat równe c kwadrat

00:03:38.467 --> 00:03:42.867
Możemy wziąć pierwiastek dodatni obu stron

00:03:42.867 --> 00:03:46.200
Chcę zmienić na żółty, ale nie daje mi...

00:03:46.200 --> 00:03:50.133
Ok, c do kwadratu. Weźmy pierwiastek
dodatni obu stron

00:03:50.133 --> 00:03:52.533
Dodatni pierwiastek obu stron

00:03:52.533 --> 00:03:55.467
Po lewej stronie dostajemy, że dodatni
pierwiastek z 2 to po prostu √2

00:03:55.467 --> 00:03:58.533
A pierwiastek dodatni z x kwadrat
to po prostu x

00:03:58.533 --> 00:04:05.667
Więc mamy x razy √2 jest równe c

00:04:05.667 --> 00:04:09.267
Więc mając prostokątny trójkąt równoramienny
niezależnie od długości

00:04:09.267 --> 00:04:11.933
przyprostokątnych, które zawsze w nim
będą takie same

00:04:11.933 --> 00:04:14.867
przeciwprostokątna to będzie √2 razy
długość przyprostokątnej

00:04:14.867 --> 00:04:19.000
Więc c równa się x razy √2

00:04:19.000 --> 00:04:22.867
Na przykład, gdy mamy o taki
trójkąt prostokątny

00:04:22.867 --> 00:04:24.933
Może narysuję go inaczej...

00:04:24.933 --> 00:04:28.800
Dobrze nie rysować go zawsze tak samo

00:04:28.800 --> 00:04:33.933
Więc gdy mamy trójkąt o kątach 90,45,45

00:04:33.933 --> 00:04:36.667
i potrzeba znać tylko dwa z tych trzech kątów

00:04:36.667 --> 00:04:38.800
by znać pozostały.

00:04:38.800 --> 00:04:41.800
Jeśli napiszę, że ten bok ma długość 3

00:04:41.800 --> 00:04:44.267
I tak naprawdę nie muszę mówić, że
ten drugi też ma 3

00:04:44.267 --> 00:04:47.933
To jest trójkąt równoramienny, więc
te dwa boki będą takie same

00:04:47.933 --> 00:04:50.600
I nawet nie musisz stosować tw. Pitagorasa
jeśli już to wiesz

00:04:50.600 --> 00:04:52.267
A to dobrze wiedzieć

00:04:52.267 --> 00:04:54.467
Że przeciwprostokątna, bok
naprzeciwko kąta 90

00:04:54.467 --> 00:04:58.667
to po prostu √2 razy długość jednego
z pozostałych boków

00:04:58.667 --> 00:05:02.200
Więc to będzie 3 razy √2

00:05:02.200 --> 00:05:07.667
Więc stosunek boków w trójkącie 45,45,90

00:05:07.667 --> 00:05:10.133
lub prostokątnym, równoramiennym trójkącie

00:05:10.133 --> 00:05:13.200
Stosunek wynosi: jak jeden z boków ma długość 1

00:05:13.200 --> 00:05:16.267
to ten drugi bok ma tyle samo

00:05:16.267 --> 00:05:20.133
a przeciwprostokątna to po prostu √2

00:05:20.133 --> 00:05:22.867
1 do 1 do √2

00:05:22.867 --> 00:05:29.600
To jest trójkąt 45,45,90, napiszę to

00:05:29.600 --> 00:05:34.533
A to stosunek. A dla powtórki
dla trójkąta 30,60,90

00:05:34.533 --> 00:05:39.467
stosunek boków to 1 do √3 do 2

00:05:38.000 --> 00:05:42.000
Zastosujemy to przy okazji wielu różnych problemów