1
00:00:00,600 --> 00:00:02,530
在上一个视频中，我们讲了

2
00:00:02,530 --> 00:00:05,080
一个 30-60-90 的三角形的边长比

3
00:00:05,080 --> 00:00:06,675
如果我们假设最长的边是 x ，

4
00:00:06,675 --> 00:00:08,350
如果斜边是 x ，

5
00:00:08,350 --> 00:00:11,480
那么最短的边长就是 x/2，而这两个边之间的边，

6
00:00:11,480 --> 00:00:13,690
也就是60°角的对边，

7
00:00:13,690 --> 00:00:14,890
边长是 3 的平方根 乘以 x/2。

8
00:00:14,890 --> 00:00:19,125
或者用另一种方法考虑，如果最短的边是 1，

9
00:00:19,125 --> 00:00:21,540
我先考虑最短的边，然后是长度居中的边，

10
00:00:21,540 --> 00:00:22,390
然后是最长的边。

11
00:00:22,390 --> 00:00:24,500
如果30°角对面的边长是 1，

12
00:00:24,500 --> 00:00:27,400
那么60°角对面的边长

13
00:00:27,400 --> 00:00:29,340
就是 它的3倍的平方根。

14
00:00:29,340 --> 00:00:31,110
它就是 3 的平方根。

15
00:00:31,110 --> 00:00:33,850
然后，斜边是它的2倍。

16
00:00:33,850 --> 00:00:35,480
上一个视频中，我们从 x 开始，

17
00:00:35,480 --> 00:00:37,460
我们说 30°对面的边是 x/2。

18
00:00:37,460 --> 00:00:40,110
但是，如果 30° 对面的边是 1，

19
00:00:40,110 --> 00:00:41,270
那么这条边就是它的 2倍。

20
00:00:41,270 --> 00:00:42,440
它就是 2。

21
00:00:42,440 --> 00:00:46,120
这里就是30°对面的边，

22
00:00:46,120 --> 00:00:49,440
60°对面的边，和斜边，也就是

23
00:00:49,440 --> 00:00:51,030
90°对面的边。

24
00:00:51,030 --> 00:00:53,800
一般来说，如果你看到

25
00:00:53,800 --> 00:00:56,570
任何三角形有这样的边长比，你就可以说，那是一个 30-60-90 的三角形。

26
00:00:56,570 --> 00:00:58,075
或者，你看到一个三角形，

27
00:00:58,075 --> 00:01:02,290
并且知道它是一个30-60-90 的三角形，你就可以说

28
00:01:02,290 --> 00:01:05,099
我知道怎样根据这个边长比

29
00:01:05,099 --> 00:01:06,660
计算出一个边长。

30
00:01:06,660 --> 00:01:08,930
比如，如果你看到这样的一个三角形，

31
00:01:08,930 --> 00:01:14,510
它的边长是 2，2乘以3的平方根，

32
00:01:14,510 --> 00:01:15,480
和 4，

33
00:01:15,480 --> 00:01:17,790
再说一遍，2 ：2乘以3的平方根，

34
00:01:17,790 --> 00:01:19,440
就是 1：3的平方根

35
00:01:19,440 --> 00:01:22,340
2 ： 4 就是 1：2，

36
00:01:22,340 --> 00:01:25,440
这个三角形一定是一个 30-60-90 三角形。

37
00:01:25,440 --> 00:01:27,380
在今天 视频里，

38
00:01:27,380 --> 00:01:29,570
我要给你们介绍另一类三角形，

39
00:01:29,570 --> 00:01:32,980
在几何和三角学中，我们会遇到很多这样的三角形。

40
00:01:32,980 --> 00:01:36,649
这就是 45-45-90 三角形。

41
00:01:36,649 --> 00:01:38,190
另一种考虑的方法是，

42
00:01:38,190 --> 00:01:44,250
如果有一个直角，而它又是一个等腰三角形，

43
00:01:44,250 --> 00:01:47,140
显然，不会有一个直角三角形是等边三角形，

44
00:01:47,140 --> 00:01:49,770
因为等边三角形的三个角

45
00:01:49,770 --> 00:01:51,030
都是 60°。

46
00:01:51,030 --> 00:01:52,870
但是可以有一个直角，

47
00:01:52,870 --> 00:01:55,260
有一个直角三角形，它是等腰的。

48
00:01:55,260 --> 00:01:56,790
等腰--我写下来--

49
00:01:56,790 --> 00:02:03,470
这是一个直角等腰三角形。

50
00:02:03,470 --> 00:02:05,830
如果它是等腰三角形，就意味着

51
00:02:05,830 --> 00:02:06,500
有两条边是相等的。

52
00:02:06,500 --> 00:02:09,851
这是两条相等的边。

53
00:02:09,851 --> 00:02:11,350
如果这两条边相等，

54
00:02:11,350 --> 00:02:14,990
我们已经证明过，这两个底角是相等的。

55
00:02:14,990 --> 00:02:17,440
如果我们叫这两个底角的角度是 x ，

56
00:02:17,440 --> 00:02:25,440
那么，我们知道， x + x + 90 一定是 180。

57
00:02:25,440 --> 00:02:27,610
或者说，如果我们从两边减去 90，

58
00:02:27,610 --> 00:02:32,060
就得到 x + x = 90 或者 2x =90。

59
00:02:32,060 --> 00:02:33,780
如果两边除以 2，

60
00:02:33,780 --> 00:02:38,750
就得到 x = 45°。

61
00:02:38,750 --> 00:02:41,850
所以，一个直角等腰三角形也可以被叫做 --

62
00:02:41,850 --> 00:02:44,010
这是它更加典型的叫法--

63
00:02:44,010 --> 00:02:54,239
它也可以被叫做 45-45-90 三角形。

64
00:02:54,239 --> 00:02:56,030
而在今天的视频中，要讲一讲

65
00:02:56,030 --> 00:02:59,180
45-45-90 三角形的边长比。

66
00:02:59,180 --> 00:03:01,270
就像我们曾经讨论过的30-60-90 三角形，

67
00:03:01,270 --> 00:03:03,180
而这个实际上更简单。

68
00:03:03,180 --> 00:03:08,950
因为对于一个 45-45-90 三角形，如果我们叫一个边长为 x ，

69
00:03:08,950 --> 00:03:10,819
另一个边长也是 x 。

70
00:03:10,819 --> 00:03:12,610
然后，根据勾股定理，

71
00:03:12,610 --> 00:03:14,770
来计算出斜边的长度。

72
00:03:14,770 --> 00:03:18,090
那么，斜边的长度，我们叫它 c ，

73
00:03:18,090 --> 00:03:22,740
我们有， x 平方 + x 平方

74
00:03:22,740 --> 00:03:26,429
这是 这两个边长的平方，

75
00:03:26,429 --> 00:03:27,970
我们把它们相加，

76
00:03:27,970 --> 00:03:29,740
就等于 c 平方。

77
00:03:29,740 --> 00:03:32,310
这完全是由勾股定理得到的。

78
00:03:32,310 --> 00:03:37,490
我们得到，2 x平方等于 c 平方。

79
00:03:37,490 --> 00:03:41,566
我们对两边取主根，

80
00:03:41,566 --> 00:03:45,930
我想把它变成黄色。

81
00:03:45,930 --> 00:03:51,290
两边取主根，

82
00:03:51,290 --> 00:03:53,420
左边得到 2的平方根，

83
00:03:53,420 --> 00:03:54,860
也就是 根 2，

84
00:03:54,860 --> 00:03:57,790
x 平方的主根就是 x 。

85
00:03:57,790 --> 00:04:01,290
你就有 x 乘以 2的平方根

86
00:04:01,290 --> 00:04:04,690
等于 c 。

87
00:04:04,690 --> 00:04:06,530
如果你有一个直角等腰三角形，

88
00:04:06,530 --> 00:04:09,790
不管这两条边是多长，它们长度相等。

89
00:04:09,790 --> 00:04:11,200
这就是为什么说它是等腰的。

90
00:04:11,200 --> 00:04:13,980
斜边的长度是 2 的平方根 乘以它的长度。

91
00:04:13,980 --> 00:04:18,230
因此，c 等于 x 乘以 2 的平方根。

92
00:04:18,230 --> 00:04:22,130
比如，你有一个这样的三角形，

93
00:04:22,130 --> 00:04:23,940
让我用另一种方法来画它，

94
00:04:23,940 --> 00:04:26,650
每次都能让自己使用不同的方式

95
00:04:26,650 --> 00:04:27,750
是有益处的。

96
00:04:27,750 --> 00:04:30,690
如果我们看到一个三角形，这是90°，

97
00:04:30,690 --> 00:04:33,640
像这样，45 和 45 ，

98
00:04:33,640 --> 00:04:35,900
你需要知道这两个角，

99
00:04:35,900 --> 00:04:37,510
知道另一个角是什么，

100
00:04:37,510 --> 00:04:39,790
如果我告诉你，这里这个边

101
00:04:39,790 --> 00:04:41,909
是 3，我甚至不需要告诉你

102
00:04:41,909 --> 00:04:43,450
另一条边也是 3，

103
00:04:43,450 --> 00:04:45,970
这是一个等腰三角形，

104
00:04:45,970 --> 00:04:47,210
所以这两条边是相等的。

105
00:04:47,210 --> 00:04:49,050
你甚至不需使要用勾股定理，

106
00:04:49,050 --> 00:04:50,370
如果你知道这个公式，它很有用。

107
00:04:50,370 --> 00:04:53,109
就知道这个斜边，这个90°对面的边，

108
00:04:53,109 --> 00:04:55,150
就是2 的平方根

109
00:04:55,150 --> 00:04:57,920
乘以任何一个边的长度。

110
00:04:57,920 --> 00:05:01,400
所以它就是 3 乘以 2 的平方根。

111
00:05:01,400 --> 00:05:03,790
那么它的斜边的长度比就是--

112
00:05:03,790 --> 00:05:09,190
对于一个45-45-90 的三角形，或者叫直角等腰三角形，

113
00:05:09,190 --> 00:05:12,342
它的边长的比例是： 一个腰的边长是 1，

114
00:05:12,342 --> 00:05:14,550
另一个腰的边长长度有相同的长度，

115
00:05:14,550 --> 00:05:16,820
有相同的长度，而斜边的长度是

116
00:05:16,820 --> 00:05:19,100
2的平方根乘以任何一个腰的长度。

117
00:05:19,100 --> 00:05:21,690
1 : 1 : 2 的平方根

118
00:05:21,690 --> 00:05:28,720
这是 45-45-90，

119
00:05:28,740 --> 00:05:30,010
这是它的边长比，

120
00:05:30,010 --> 00:05:33,680
我们复习一下，如果你有一个 30-60-90

121
00:05:33,680 --> 00:05:38,800
边长比就是 1： 3的平方根 ： 2。

122
00:05:38,800 --> 00:05:41,820
我们可以用它来解决很多问题。