0:00:00.600,0:00:02.530
在上一个视频中，我们讲了

0:00:02.530,0:00:05.080
一个 30-60-90 的三角形的边长比

0:00:05.080,0:00:06.675
如果我们假设最长的边是 x ，

0:00:06.675,0:00:08.350
如果斜边是 x ，

0:00:08.350,0:00:11.480
那么最短的边长就是 x/2，而这两个边之间的边，

0:00:11.480,0:00:13.690
也就是60°角的对边，

0:00:13.690,0:00:14.890
边长是 3 的平方根 乘以 x/2。

0:00:14.890,0:00:19.125
或者用另一种方法考虑，如果最短的边是 1，

0:00:19.125,0:00:21.540
我先考虑最短的边，然后是长度居中的边，

0:00:21.540,0:00:22.390
然后是最长的边。

0:00:22.390,0:00:24.500
如果30°角对面的边长是 1，

0:00:24.500,0:00:27.400
那么60°角对面的边长

0:00:27.400,0:00:29.340
就是 它的3倍的平方根。

0:00:29.340,0:00:31.110
它就是 3 的平方根。

0:00:31.110,0:00:33.850
然后，斜边是它的2倍。

0:00:33.850,0:00:35.480
上一个视频中，我们从 x 开始，

0:00:35.480,0:00:37.460
我们说 30°对面的边是 x/2。

0:00:37.460,0:00:40.110
但是，如果 30° 对面的边是 1，

0:00:40.110,0:00:41.270
那么这条边就是它的 2倍。

0:00:41.270,0:00:42.440
它就是 2。

0:00:42.440,0:00:46.120
这里就是30°对面的边，

0:00:46.120,0:00:49.440
60°对面的边，和斜边，也就是

0:00:49.440,0:00:51.030
90°对面的边。

0:00:51.030,0:00:53.800
一般来说，如果你看到

0:00:53.800,0:00:56.570
任何三角形有这样的边长比，你就可以说，那是一个 30-60-90 的三角形。

0:00:56.570,0:00:58.075
或者，你看到一个三角形，

0:00:58.075,0:01:02.290
并且知道它是一个 30-60-90 的三角形，你就可以说

0:01:02.290,0:01:05.099
我知道怎样根据这个边长比

0:01:05.099,0:01:06.660
计算出一个边长。

0:01:06.660,0:01:08.930
比如，如果你看到这样的一个三角形，

0:01:08.930,0:01:14.510
它的边长是 2，2乘以3的平方根，

0:01:14.510,0:01:15.480
和 4，

0:01:15.480,0:01:17.790
再说一遍，2 ：2乘以3的平方根，

0:01:17.790,0:01:19.440
就是 1：3的平方根

0:01:19.440,0:01:22.340
2 ： 4 就是 1：2，

0:01:22.340,0:01:25.440
这个三角形一定是一个 30-60-90 三角形。

0:01:25.440,0:01:27.380
在今天 视频里，

0:01:27.380,0:01:29.570
我要给你们介绍另一类三角形，

0:01:29.570,0:01:32.980
在几何和三角学中，我们会遇到很多这样的三角形。

0:01:32.980,0:01:36.649
这就是 45-45-90 三角形。

0:01:36.649,0:01:38.190
另一种考虑的方法是，

0:01:38.190,0:01:44.250
如果有一个直角，而它又是一个等腰三角形，

0:01:44.250,0:01:47.140
显然，不会有一个直角三角形是等边三角形，

0:01:47.140,0:01:49.770
因为等边三角形的三个角

0:01:49.770,0:01:51.030
都是 60°。

0:01:51.030,0:01:52.870
但是可以有一个直角，

0:01:52.870,0:01:55.260
有一个直角三角形，它是等腰的。

0:01:55.260,0:01:56.790
等腰--我写下来--

0:01:56.790,0:02:03.470
这是一个直角等腰三角形。

0:02:03.470,0:02:05.310
如果它是等腰三角形，就意味着

0:02:05.310,0:02:06.500
有两条边是相等的。

0:02:06.500,0:02:09.851
这是两条相等的边。

0:02:09.851,0:02:11.350
如果这两条边相等，

0:02:11.350,0:02:14.990
我们已经证明过，这两个底角是相等的。

0:02:14.990,0:02:17.440
如果我们叫这两个底角的角度是 x ，

0:02:17.440,0:02:25.440
那么，我们知道， x + x + 90 一定是 180。

0:02:25.440,0:02:27.610
或者说，如果我们从两边减去 90，

0:02:27.610,0:02:32.060
就得到 x + x = 90 或者 2x =90。

0:02:32.060,0:02:33.780
如果两边除以 2，

0:02:33.780,0:02:38.750
就得到 x = 45°。

0:02:38.750,0:02:41.850
所以，一个直角等腰三角形也可以被叫做 --

0:02:41.850,0:02:44.010
这是它更加典型的叫法--

0:02:44.010,0:02:54.239
它也可以被叫做 45-45-90 三角形。

0:02:54.239,0:02:56.030
而在今天的视频中，要讲一讲

0:02:56.030,0:02:59.180
45-45-90 三角形的边长比。

0:02:59.180,0:03:01.270
就像我们曾经讨论过的30-60-90 三角形，

0:03:01.270,0:03:03.180
而这个实际上更简单。

0:03:03.180,0:03:08.950
因为对于一个 45-45-90 三角形，如果我们叫一个边长为 x ，

0:03:08.950,0:03:10.819
另一个边长也是 x 。

0:03:10.819,0:03:12.610
然后，根据勾股定理，

0:03:12.610,0:03:14.770
来计算出斜边的长度。

0:03:14.770,0:03:18.090
那么，斜边的长度，我们叫它 c ，

0:03:18.090,0:03:22.740
我们有， x 平方 + x 平方

0:03:22.740,0:03:26.429
这是这两个边长的平方，

0:03:26.429,0:03:27.970
我们把它们相加，

0:03:27.970,0:03:29.740
就等于 c 平方。

0:03:29.740,0:03:32.310
这完全是由勾股定理得到的。

0:03:32.310,0:03:37.490
我们得到，2 x平方等于 c 平方。

0:03:37.490,0:03:41.566
我们对两边取主根，

0:03:41.566,0:03:45.930
我想把它变成黄色。

0:03:45.930,0:03:51.290
两边取主根，

0:03:51.290,0:03:53.420
左边得到 2 的平方根，

0:03:53.420,0:03:54.860
也就是根号 2，

0:03:54.860,0:03:57.790
x 平方的主根就是 x 。

0:03:57.790,0:04:01.290
你就有 x 乘以 2 的平方根

0:04:01.290,0:04:04.690
等于 c 。

0:04:04.690,0:04:06.530
如果你有一个直角等腰三角形，

0:04:06.530,0:04:09.790
不管这两条边是多长，它们长度相等。

0:04:09.790,0:04:11.200
这就是为什么说它是等腰的。

0:04:11.200,0:04:13.980
斜边的长度是 2 的平方根乘以它的长度。

0:04:13.980,0:04:18.230
因此，c 等于 x 乘以 2 的平方根。

0:04:18.230,0:04:22.130
比如，你有一个这样的三角形，

0:04:22.130,0:04:23.940
让我用另一种方法来画它，

0:04:23.940,0:04:26.650
每次都能让自己使用不同的方式

0:04:26.650,0:04:27.750
是有益处的。

0:04:27.750,0:04:30.690
如果我们看到一个三角形，这是90°，

0:04:30.690,0:04:33.640
像这样，45 和 45 ，

0:04:33.640,0:04:35.900
你需要知道这两个角，

0:04:35.900,0:04:37.510
知道另一个角是什么，

0:04:37.510,0:04:39.790
如果我告诉你，这里这个边

0:04:39.790,0:04:41.909
是 3，我甚至不需要告诉你

0:04:41.909,0:04:43.450
另一条边也是 3，

0:04:43.450,0:04:45.970
这是一个等腰三角形，

0:04:45.970,0:04:47.210
所以这两条边是相等的。

0:04:47.210,0:04:49.050
你甚至不需使要用勾股定理，

0:04:49.050,0:04:50.370
如果你知道这个公式，它很有用。

0:04:50.370,0:04:53.109
就知道这个斜边，这个90°对面的边，

0:04:53.109,0:04:55.150
就是 2 的平方根

0:04:55.150,0:04:57.920
乘以任何一个边的长度。

0:04:57.920,0:05:01.400
所以它就是 3 乘以 2 的平方根。

0:05:01.400,0:05:03.790
那么它的斜边的长度比就是--

0:05:03.790,0:05:09.190
对于一个 45-45-90 的三角形，或者叫直角等腰三角形，

0:05:09.190,0:05:12.342
它的边长的比例是： 一个腰的边长是 1，

0:05:12.342,0:05:14.550
另一个腰的边长长度有相同的长度，

0:05:14.550,0:05:16.820
有相同的长度，而斜边的长度是

0:05:16.820,0:05:19.100
2的平方根乘以任何一个腰的长度。

0:05:19.100,0:05:21.690
1 : 1 : 2 的平方根

0:05:21.690,0:05:28.720
这是 45-45-90，

0:05:28.740,0:05:30.010
这是它的边长比，

0:05:30.010,0:05:33.680
我们复习一下，如果你有一个 30-60-90

0:05:33.680,0:05:38.800
边长比就是 1： 根号3 ： 2。

0:05:38.800,0:05:41.820
我们可以用它来解决很多问题。