0:00:00.000,0:00:00.920
-

0:00:00.920,0:00:03.820
В предишния клип имахме правоъгълник и използвахме

0:00:03.820,0:00:05.170
троен интеграл, за да му намерим обема

0:00:05.170,0:00:08.000
И знам, че вероятно сте си помислили : можех

0:00:08.000,0:00:12.100
просто да използвам знанията си по геометрия и да умножа

0:00:12.100,0:00:12.940
височината по ширината по дълбочната

0:00:12.940,0:00:15.720
И това е вярно, защото функцията беше с константни стойности

0:00:15.720,0:00:18.320
И след като пресметнахме, след като интегрирахме

0:00:18.320,0:00:20.630
по отношение на z, получихме двоен интеграл и това

0:00:20.630,0:00:23.840
е същото, с което се занимавахме в предишните няколко клипа,

0:00:23.840,0:00:26.580
когато учихме за обем под повърхност

0:00:26.580,0:00:28.560
Но в края на клипа добавихме нещо ново

0:00:28.560,0:00:33.000
Казахме, добре, можехте да намерите обема в

0:00:33.000,0:00:38.160
тази правоъгълна общност доста лесно, като

0:00:38.160,0:00:39.000
използвате методи, които вече са ви познати

0:00:39.000,0:00:42.080
Но какво ще стане, ако целта ни не беше да открием обема ?

0:00:42.080,0:00:46.790
Например, ако целта ни беше да открием масата на обема, или

0:00:46.790,0:00:50.240
дори материята, чийто обем намерихме -

0:00:50.240,0:00:53.060
дали става дума за газообразно вещество или някакво твърдо вещество,

0:00:53.060,0:00:55.050
чиято плътност не е константа

0:00:55.050,0:00:58.080
Интересно е да се опитаме да намерим масата

0:00:58.080,0:00:59.550
-

0:00:59.550,0:01:03.740
Тук дефинирахме функция на плътността

0:01:03.740,0:01:07.770
И ро, този, знак, който прилича на r, но с изкривена долна част -

0:01:07.770,0:01:09.855
това ни показва плътността при всяка дадена точка

0:01:09.855,0:01:11.370
В края на предишния клип си казахме, е,

0:01:11.370,0:01:12.830
каква е масата ?

0:01:12.830,0:01:16.050
Масата е равна на плътността по обема

0:01:16.050,0:01:16.750
Можете да видите това и по друг начин

0:01:16.750,0:01:21.170
Плътността и същото като масата, разделена на обема

0:01:21.170,0:01:26.630
Значи, масата около много, малка точка (и нарекохме това

0:01:26.630,0:01:29.750
маса d), диференциалът на масата, ще е равен на

0:01:29.750,0:01:33.450
плътността при тази точка или приблизителната плътност в точно

0:01:33.450,0:01:36.790
тази точка, по обемния диференциал около тази точка,

0:01:36.790,0:01:40.100
по обема на този малък куб

0:01:40.100,0:01:43.140
И после, както видяхме в последния клип, ако използваме

0:01:43.140,0:01:46.240
координатите на правоъгълник, този обемен диференциал ще

0:01:46.240,0:01:50.390
бъде просто разстоянието x по разстоянието y по разстоянието z

0:01:50.390,0:01:55.690
Значи, функцията на плътността ни е дефинирана

0:01:55.690,0:01:57.730
като x, y и z и искахме да открием

0:01:57.730,0:02:01.560
масата на този обем

0:02:01.560,0:02:04.140
И да казам, че стойностите на нашите координати

0:02:04.140,0:02:05.990
x, y и z са в метри и, че плътността ни

0:02:05.990,0:02:09.340
ь, ъ и з са в метри и, че плътността ни

0:02:09.340,0:02:12.270
В този случай, отговорът ни ще бъде в килограми

0:02:12.270,0:02:14.480
И това са традиционните мерителни единици по Международната система

0:02:14.480,0:02:21.210
Нека открием масата на този обен с променлива плътност

0:02:21.210,0:02:24.150
Тук горе имаме същия интеграл

0:02:24.150,0:02:26.720
-

0:02:26.720,0:02:29.860
Значи, диференциалът на масата ще бъде тази стойност

0:02:29.860,0:02:30.996
Нека запишем това

0:02:30.996,0:02:34.850
-

0:02:34.850,0:02:38.920
Това е x – искам да съм сигурен, че няма да ми свърши мястото

0:02:38.920,0:02:43.390
- xyz по... и първо ще интегрирам по

0:02:43.390,0:02:45.890
отношение на dz

0:02:45.890,0:02:47.910
Но можете и да обърнете реда

0:02:47.910,0:02:49.750
Може да направим това в следващия клип

0:02:49.750,0:02:55.810
Първо ще направим dz, после dy и накрая dx

0:02:55.810,0:03:00.120
-

0:03:00.120,0:03:02.490
Още веднъж, това е само масата за

0:03:02.490,0:03:04.310
всеки малък диференциал от обема

0:03:04.310,0:03:07.760
И ако интегрираме при z, първо, къде ни е z ?

0:03:07.760,0:03:10.770
Границите на z бяха 0 до 2

0:03:10.770,0:03:14.050
-

0:03:14.050,0:03:18.255
Границите на y бяха 0 до 4

0:03:18.255,0:03:21.110
-

0:03:21.110,0:03:23.890
И x ни беше от 0 до 3

0:03:23.890,0:03:26.750
-

0:03:26.750,0:03:27.910
Как да изчислим това ?

0:03:27.910,0:03:29.900
Ами, каква е примитивната функция...

0:03:29.900,0:03:31.370
първо интегрираме по отношение на z

0:03:31.370,0:03:35.660
Значи, каква е примитивната функция на xyz по отношение към z ?

0:03:35.660,0:03:37.080
Да видим

0:03:37.080,0:03:45.080
Това е просто константа, значи ще бъде xyz на квадрат върху 2

0:03:45.080,0:03:46.040
Нали ?

0:03:46.040,0:03:46.810
Така

0:03:46.810,0:03:52.690
И сега изчисляваме това от 2 до 0

0:03:52.690,0:03:54.870
И ще получим... знам, че ще ми свърши мястото

0:03:54.870,0:03:59.420
Ще получите 2 на квадрат, което е 4,

0:03:59.420,0:04:00.990
делено на 2, което е 2

0:04:00.990,0:04:05.460
Значи, имаме 2xy минус 0

0:04:05.460,0:04:09.070
Когато пресментем този интеграл, имаме 2xy

0:04:09.070,0:04:11.410
и сега ни остават още два интеграла

0:04:11.410,0:04:13.260
Не съм записал другите два интеграла

0:04:13.260,0:04:13.820
Ще запиша това

0:04:13.820,0:04:16.680
Сега ни остават два интеграла

0:04:16.680,0:04:20.660
Остават ни dy и dx

0:04:20.660,0:04:28.710
y е от 0 до 4, а x е от 0 до 3

0:04:28.710,0:04:30.480
Определено ми свършва мястото

0:04:30.480,0:04:32.200
И сега взимате примитивната функция на това

0:04:32.200,0:04:34.110
по отношение към y

0:04:34.110,0:04:36.640
Така, каква е примитивната функция по отношение към y ?

0:04:36.640,0:04:40.240
Нека изтрия някои неща, за да не стане много разхвърляно

0:04:40.240,0:04:44.230
-

0:04:44.230,0:04:46.040
Дадоха ми разумната идея да се придвижа

0:04:46.040,0:04:48.340
надолу но, за съжаление, този път

0:04:48.340,0:04:50.090
не беше достатъчно

0:04:50.090,0:04:54.160
Мисля, че това мога да го изтрия

0:04:54.160,0:04:55.220
Опа, изтрих малко и от това

0:04:55.220,0:04:56.860
Но знаете какво изтрих

0:04:56.860,0:04:58.290
Добре, да вземем примитивната функция

0:04:58.290,0:04:59.290
по отношение към y

0:04:59.290,0:05:02.640
Ще започна тук горе, където имам място

0:05:02.640,0:05:06.545
Така, примитивната функция на 2xy по отношение на y е y

0:05:06.545,0:05:08.430
на квадрат върху 2, двойките се анулират

0:05:08.430,0:05:09.870
И получаваме xy на квадрат

0:05:09.870,0:05:13.100
-

0:05:13.100,0:05:15.270
И y е от 0 до 4

0:05:15.270,0:05:18.000
И сега ни остава да направим външния интеграл

0:05:18.000,0:05:22.395
x е от 0 до 3 dx

0:05:22.395,0:05:24.215
И когато y е равно на 4, получаваме 16x

0:05:24.215,0:05:27.050
-

0:05:27.050,0:05:29.050
И когато y е 0, това цялото е 0

0:05:29.050,0:05:34.300
Значи, имаме 16x интегрирано от 0 до 3 dx

0:05:34.300,0:05:36.210
На какво е равно това ?

0:05:36.210,0:05:39.215
на 8x на квадрат

0:05:39.215,0:05:42.700
И изчисляваме от 0 до 3

0:05:42.700,0:05:46.560
Когато е 3 – 8 по 9 е 72

0:05:46.560,0:05:49.040
И 0 по 8 е 0

0:05:49.040,0:05:51.810
Сега, масата на фугрурата...обемът, който намерихме

0:05:51.810,0:05:53.230
преди, беше 24 кубически метра

0:05:53.230,0:05:55.160
Това вече го изтрих, но ако сте гледали предишния клип,

0:05:55.160,0:05:56.210
там говорихме за това

0:05:56.210,0:06:00.570
Масата е 72 килограма

0:06:00.570,0:06:06.420
Открихме това като интегрирахме тази функция за плътност ,

0:06:06.420,0:06:08.090
която има 3 променливи

0:06:08.090,0:06:10.230
Или, в триизмерното пространство можем да разгледаме това

0:06:10.230,0:06:11.440
като скаларно поле, нали ?

0:06:11.440,0:06:13.910
За всяка точка имаме стойност, но

0:06:13.910,0:06:14.420
нямаме посока

0:06:14.420,0:06:16.020
И тази стойност ни е плътността

0:06:16.020,0:06:20.540
Но ние интегрирахме скаларносто поле в този обем

0:06:20.540,0:06:22.650
Това е новото умение, което получихме от

0:06:22.650,0:06:23.620
тройния интеграл

0:06:23.620,0:06:26.280
В сладващия клип ще ви покажа как се процедира

0:06:26.280,0:06:27.460
с по-сложни тройни интеграли

0:06:27.460,0:06:29.820
Сега ще ви кажа, кое е истински трудното при тройните интеграли

0:06:29.820,0:06:32.180
и предполагам, че учителят ви по висша математика също прави това

0:06:32.180,0:06:34.630
Става дума за ситуацията, когато правите тройни интеграли и не

0:06:34.630,0:06:38.290
става дума за някоя проста фигура като тази, ако искате да изчислите

0:06:38.290,0:06:41.500
чрез математически анализ троeн интегнал, който има по-сложни граници

0:06:41.500,0:06:44.910
или, да речем, по сложна функция

0:06:44.910,0:06:46.280
за плътността

0:06:46.280,0:06:48.850
Интегралът става много оплетен много бързо

0:06:48.850,0:06:52.610
Често е много трудно или отнема много време да

0:06:52.610,0:06:55.760
използвате традиционните си

0:06:55.760,0:06:56.270
умения по математически анализ

0:06:56.270,0:06:59.790
Ще видите, че на много изпити по вис ша математика от вас се

0:06:59.790,0:07:02.500
очаква просто да основете тройния интеграл

0:07:02.500,0:07:05.520
Доверяват ви се, че вече сте се занимавали с много интеграли

0:07:05.520,0:07:07.490
и че можете да вземете примитивната функция

0:07:07.490,0:07:09.820
И понякога, ако наистина искат да ви дадат нещо по-трудно,

0:07:09.820,0:07:12.530
ще ви кажат да обърнете реда

0:07:12.530,0:07:14.930
Знаете, че това е интегралът когато изчисляваме

0:07:14.930,0:07:16.700
по отношение на з, после на y и после на x

0:07:16.700,0:07:18.510
Ще ви кажат да препишете този интеграл

0:07:18.510,0:07:19.730
като обърнете реда

0:07:19.730,0:07:22.700
И ние ще направим това в следващия път

0:07:22.700,0:07:24.270
До скоро

0:07:24.270,0:07:25.500
-