1
00:00:00,000 --> 00:00:00,920
-

2
00:00:00,920 --> 00:00:03,820
В предишния клип имахме правоъгълник и използвахме

3
00:00:03,820 --> 00:00:05,170
троен интеграл, за да му намерим обема

4
00:00:05,170 --> 00:00:08,000
И знам, че вероятно сте си помислили : можех

5
00:00:08,000 --> 00:00:12,100
просто да използвам знанията си по геометрия и да умножа

6
00:00:12,100 --> 00:00:12,940
височината по ширината по дълбочната

7
00:00:12,940 --> 00:00:15,720
И това е вярно, защото функцията беше с константни стойности

8
00:00:15,720 --> 00:00:18,320
И след като пресметнахме, след като интегрирахме

9
00:00:18,320 --> 00:00:20,630
по отношение на z, получихме двоен интеграл и това

10
00:00:20,630 --> 00:00:23,840
е същото, с което се занимавахме в предишните няколко клипа,

11
00:00:23,840 --> 00:00:26,580
когато учихме за обем под повърхност

12
00:00:26,580 --> 00:00:28,560
Но в края на клипа добавихме нещо ново

13
00:00:28,560 --> 00:00:33,000
Казахме, добре, можехте да намерите обема в

14
00:00:33,000 --> 00:00:38,160
тази правоъгълна общност доста лесно, като

15
00:00:38,160 --> 00:00:39,000
използвате методи, които вече са ви познати

16
00:00:39,000 --> 00:00:42,080
Но какво ще стане, ако целта ни не беше да открием обема ?

17
00:00:42,080 --> 00:00:46,790
Например, ако целта ни беше да открием масата на обема, или

18
00:00:46,790 --> 00:00:50,240
дори материята, чийто обем намерихме -

19
00:00:50,240 --> 00:00:53,060
дали става дума за газообразно вещество или някакво твърдо вещество,

20
00:00:53,060 --> 00:00:55,050
чиято плътност не е константа

21
00:00:55,050 --> 00:00:58,080
Интересно е да се опитаме да намерим масата

22
00:00:58,080 --> 00:00:59,550
-

23
00:00:59,550 --> 00:01:03,740
Тук дефинирахме функция на плътността

24
00:01:03,740 --> 00:01:07,770
И ро, този, знак, който прилича на r, но с изкривена долна част -

25
00:01:07,770 --> 00:01:09,855
това ни показва плътността при всяка дадена точка

26
00:01:09,855 --> 00:01:11,370
В края на предишния клип си казахме, е,

27
00:01:11,370 --> 00:01:12,830
каква е масата ?

28
00:01:12,830 --> 00:01:16,050
Масата е равна на плътността по обема

29
00:01:16,050 --> 00:01:16,750
Можете да видите това и по друг начин

30
00:01:16,750 --> 00:01:21,170
Плътността и същото като масата, разделена на обема

31
00:01:21,170 --> 00:01:26,630
Значи, масата около много, малка точка (и нарекохме това

32
00:01:26,630 --> 00:01:29,750
маса d), диференциалът на масата, ще е равен на

33
00:01:29,750 --> 00:01:33,450
плътността при тази точка или приблизителната плътност в точно

34
00:01:33,450 --> 00:01:36,790
тази точка, по обемния диференциал около тази точка,

35
00:01:36,790 --> 00:01:40,100
по обема на този малък куб

36
00:01:40,100 --> 00:01:43,140
И после, както видяхме в последния клип, ако използваме

37
00:01:43,140 --> 00:01:46,240
координатите на правоъгълник, този обемен диференциал ще

38
00:01:46,240 --> 00:01:50,390
бъде просто разстоянието x по разстоянието y по разстоянието z

39
00:01:50,390 --> 00:01:55,690
Значи, функцията на плътността ни е дефинирана

40
00:01:55,690 --> 00:01:57,730
като x, y и z и искахме да открием

41
00:01:57,730 --> 00:02:01,560
масата на този обем

42
00:02:01,560 --> 00:02:04,140
И да казам, че стойностите на нашите координати

43
00:02:04,140 --> 00:02:05,990
x, y и z са в метри и, че плътността ни

44
00:02:05,990 --> 00:02:09,340
ь, ъ и з са в метри и, че плътността ни

45
00:02:09,340 --> 00:02:12,270
В този случай, отговорът ни ще бъде в килограми

46
00:02:12,270 --> 00:02:14,480
И това са традиционните мерителни единици по Международната система

47
00:02:14,480 --> 00:02:21,210
Нека открием масата на този обен с променлива плътност

48
00:02:21,210 --> 00:02:24,150
Тук горе имаме същия интеграл

49
00:02:24,150 --> 00:02:26,720
-

50
00:02:26,720 --> 00:02:29,860
Значи, диференциалът на масата ще бъде тази стойност

51
00:02:29,860 --> 00:02:30,996
Нека запишем това

52
00:02:30,996 --> 00:02:34,850
-

53
00:02:34,850 --> 00:02:38,920
Това е x – искам да съм сигурен, че няма да ми свърши мястото

54
00:02:38,920 --> 00:02:43,390
- xyz по... и първо ще интегрирам по

55
00:02:43,390 --> 00:02:45,890
отношение на dz

56
00:02:45,890 --> 00:02:47,910
Но можете и да обърнете реда

57
00:02:47,910 --> 00:02:49,750
Може да направим това в следващия клип

58
00:02:49,750 --> 00:02:55,810
Първо ще направим dz, после dy и накрая dx

59
00:02:55,810 --> 00:03:00,120
-

60
00:03:00,120 --> 00:03:02,490
Още веднъж, това е само масата за

61
00:03:02,490 --> 00:03:04,310
всеки малък диференциал от обема

62
00:03:04,310 --> 00:03:07,760
И ако интегрираме при z, първо, къде ни е z ?

63
00:03:07,760 --> 00:03:10,770
Границите на z бяха 0 до 2

64
00:03:10,770 --> 00:03:14,050
-

65
00:03:14,050 --> 00:03:18,255
Границите на y бяха 0 до 4

66
00:03:18,255 --> 00:03:21,110
-

67
00:03:21,110 --> 00:03:23,890
И x ни беше от 0 до 3

68
00:03:23,890 --> 00:03:26,750
-

69
00:03:26,750 --> 00:03:27,910
Как да изчислим това ?

70
00:03:27,910 --> 00:03:29,900
Ами, каква е примитивната функция...

71
00:03:29,900 --> 00:03:31,370
първо интегрираме по отношение на z

72
00:03:31,370 --> 00:03:35,660
Значи, каква е примитивната функция на xyz по отношение към z ?

73
00:03:35,660 --> 00:03:37,080
Да видим

74
00:03:37,080 --> 00:03:45,080
Това е просто константа, значи ще бъде xyz на квадрат върху 2

75
00:03:45,080 --> 00:03:46,040
Нали ?

76
00:03:46,040 --> 00:03:46,810
Така

77
00:03:46,810 --> 00:03:52,690
И сега изчисляваме това от 2 до 0

78
00:03:52,690 --> 00:03:54,870
И ще получим... знам, че ще ми свърши мястото

79
00:03:54,870 --> 00:03:59,420
Ще получите 2 на квадрат, което е 4,

80
00:03:59,420 --> 00:04:00,990
делено на 2, което е 2

81
00:04:00,990 --> 00:04:05,460
Значи, имаме 2xy минус 0

82
00:04:05,460 --> 00:04:09,070
Когато пресментем този интеграл, имаме 2xy

83
00:04:09,070 --> 00:04:11,410
и сега ни остават още два интеграла

84
00:04:11,410 --> 00:04:13,260
Не съм записал другите два интеграла

85
00:04:13,260 --> 00:04:13,820
Ще запиша това

86
00:04:13,820 --> 00:04:16,680
Сега ни остават два интеграла

87
00:04:16,680 --> 00:04:20,660
Остават ни dy и dx

88
00:04:20,660 --> 00:04:28,710
y е от 0 до 4, а x е от 0 до 3

89
00:04:28,710 --> 00:04:30,480
Определено ми свършва мястото

90
00:04:30,480 --> 00:04:32,200
И сега взимате примитивната функция на това

91
00:04:32,200 --> 00:04:34,110
по отношение към y

92
00:04:34,110 --> 00:04:36,640
Така, каква е примитивната функция по отношение към y ?

93
00:04:36,640 --> 00:04:40,240
Нека изтрия някои неща, за да не стане много разхвърляно

94
00:04:40,240 --> 00:04:44,230
-

95
00:04:44,230 --> 00:04:46,040
Дадоха ми разумната идея да се придвижа

96
00:04:46,040 --> 00:04:48,340
надолу но, за съжаление, този път

97
00:04:48,340 --> 00:04:50,090
не беше достатъчно

98
00:04:50,090 --> 00:04:54,160
Мисля, че това мога да го изтрия

99
00:04:54,160 --> 00:04:55,220
Опа, изтрих малко и от това

100
00:04:55,220 --> 00:04:56,860
Но знаете какво изтрих

101
00:04:56,860 --> 00:04:58,290
Добре, да вземем примитивната функция

102
00:04:58,290 --> 00:04:59,290
по отношение към y

103
00:04:59,290 --> 00:05:02,640
Ще започна тук горе, където имам място

104
00:05:02,640 --> 00:05:06,545
Така, примитивната функция на 2xy по отношение на y е y

105
00:05:06,545 --> 00:05:08,430
на квадрат върху 2, двойките се анулират

106
00:05:08,430 --> 00:05:09,870
И получаваме xy на квадрат

107
00:05:09,870 --> 00:05:13,100
-

108
00:05:13,100 --> 00:05:15,270
И y е от 0 до 4

109
00:05:15,270 --> 00:05:18,000
И сега ни остава да направим външния интеграл

110
00:05:18,000 --> 00:05:22,395
x е от 0 до 3 dx

111
00:05:22,395 --> 00:05:24,215
И когато y е равно на 4, получаваме 16x

112
00:05:24,215 --> 00:05:27,050
-

113
00:05:27,050 --> 00:05:29,050
И когато y е 0, това цялото е 0

114
00:05:29,050 --> 00:05:34,300
Значи, имаме 16x интегрирано от 0 до 3 dx

115
00:05:34,300 --> 00:05:36,210
На какво е равно това ?

116
00:05:36,210 --> 00:05:39,215
на 8x на квадрат

117
00:05:39,215 --> 00:05:42,700
И изчисляваме от 0 до 3

118
00:05:42,700 --> 00:05:46,560
Когато е 3 – 8 по 9 е 72

119
00:05:46,560 --> 00:05:49,040
И 0 по 8 е 0

120
00:05:49,040 --> 00:05:51,810
Сега, масата на фугрурата...обемът, който намерихме

121
00:05:51,810 --> 00:05:53,230
преди, беше 24 кубически метра

122
00:05:53,230 --> 00:05:55,160
Това вече го изтрих, но ако сте гледали предишния клип,

123
00:05:55,160 --> 00:05:56,210
там говорихме за това

124
00:05:56,210 --> 00:06:00,570
Масата е 72 килограма

125
00:06:00,570 --> 00:06:06,420
Открихме това като интегрирахме тази функция за плътност ,

126
00:06:06,420 --> 00:06:08,090
която има 3 променливи

127
00:06:08,090 --> 00:06:10,230
Или, в триизмерното пространство можем да разгледаме това

128
00:06:10,230 --> 00:06:11,440
като скаларно поле, нали ?

129
00:06:11,440 --> 00:06:13,910
За всяка точка имаме стойност, но

130
00:06:13,910 --> 00:06:14,420
нямаме посока

131
00:06:14,420 --> 00:06:16,020
И тази стойност ни е плътността

132
00:06:16,020 --> 00:06:20,540
Но ние интегрирахме скаларносто поле в този обем

133
00:06:20,540 --> 00:06:22,650
Това е новото умение, което получихме от

134
00:06:22,650 --> 00:06:23,620
тройния интеграл

135
00:06:23,620 --> 00:06:26,280
В сладващия клип ще ви покажа как се процедира

136
00:06:26,280 --> 00:06:27,460
с по-сложни тройни интеграли

137
00:06:27,460 --> 00:06:29,820
Сега ще ви кажа, кое е истински трудното при тройните интеграли

138
00:06:29,820 --> 00:06:32,180
и предполагам, че учителят ви по висша математика също прави това

139
00:06:32,180 --> 00:06:34,630
Става дума за ситуацията, когато правите тройни интеграли и не

140
00:06:34,630 --> 00:06:38,290
става дума за някоя проста фигура като тази, ако искате да изчислите

141
00:06:38,290 --> 00:06:41,500
чрез математически анализ троeн интегнал, който има по-сложни граници

142
00:06:41,500 --> 00:06:44,910
или, да речем, по сложна функция

143
00:06:44,910 --> 00:06:46,280
за плътността

144
00:06:46,280 --> 00:06:48,850
Интегралът става много оплетен много бързо

145
00:06:48,850 --> 00:06:52,610
Често е много трудно или отнема много време да

146
00:06:52,610 --> 00:06:55,760
използвате традиционните си

147
00:06:55,760 --> 00:06:56,270
умения по математически анализ

148
00:06:56,270 --> 00:06:59,790
Ще видите, че на много изпити по вис ша математика от вас се

149
00:06:59,790 --> 00:07:02,500
очаква просто да основете тройния интеграл

150
00:07:02,500 --> 00:07:05,520
Доверяват ви се, че вече сте се занимавали с много интеграли

151
00:07:05,520 --> 00:07:07,490
и че можете да вземете примитивната функция

152
00:07:07,490 --> 00:07:09,820
И понякога, ако наистина искат да ви дадат нещо по-трудно,

153
00:07:09,820 --> 00:07:12,530
ще ви кажат да обърнете реда

154
00:07:12,530 --> 00:07:14,930
Знаете, че това е интегралът когато изчисляваме

155
00:07:14,930 --> 00:07:16,700
по отношение на з, после на y и после на x

156
00:07:16,700 --> 00:07:18,510
Ще ви кажат да препишете този интеграл

157
00:07:18,510 --> 00:07:19,730
като обърнете реда

158
00:07:19,730 --> 00:07:22,700
И ние ще направим това в следващия път

159
00:07:22,700 --> 00:07:24,270
До скоро

160
00:07:24,270 --> 00:07:25,500
-