WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.920
-

00:00:00.920 --> 00:00:03.820
В предишния клип имахме правоъгълник и използвахме

00:00:03.820 --> 00:00:05.170
троен интеграл, за да му намерим обема

00:00:05.170 --> 00:00:08.000
И знам, че вероятно сте си помислили : можех

00:00:08.000 --> 00:00:12.100
просто да използвам знанията си по геометрия и да умножа

00:00:12.100 --> 00:00:12.940
височината по ширината по дълбочната

00:00:12.940 --> 00:00:15.720
И това е вярно, защото функцията беше с константни стойности

00:00:15.720 --> 00:00:18.320
И след като пресметнахме, след като интегрирахме

00:00:18.320 --> 00:00:20.630
по отношение на z, получихме двоен интеграл и това

00:00:20.630 --> 00:00:23.840
е същото, с което се занимавахме в предишните няколко клипа,

00:00:23.840 --> 00:00:26.580
когато учихме за обем под повърхност

00:00:26.580 --> 00:00:28.560
Но в края на клипа добавихме нещо ново

00:00:28.560 --> 00:00:33.000
Казахме, добре, можехте да намерите обема в

00:00:33.000 --> 00:00:38.160
тази правоъгълна общност доста лесно, като

00:00:38.160 --> 00:00:39.000
използвате методи, които вече са ви познати

00:00:39.000 --> 00:00:42.080
Но какво ще стане, ако целта ни не беше да открием обема ?

00:00:42.080 --> 00:00:46.790
Например, ако целта ни беше да открием масата на обема, или

00:00:46.790 --> 00:00:50.240
дори материята, чийто обем намерихме -

00:00:50.240 --> 00:00:53.060
дали става дума за газообразно вещество или някакво твърдо вещество,

00:00:53.060 --> 00:00:55.050
чиято плътност не е константа

00:00:55.050 --> 00:00:58.080
Интересно е да се опитаме да намерим масата

00:00:58.080 --> 00:00:59.550
-

00:00:59.550 --> 00:01:03.740
Тук дефинирахме функция на плътността

00:01:03.740 --> 00:01:07.770
И ро, този, знак, който прилича на r, но с изкривена долна част -

00:01:07.770 --> 00:01:09.855
това ни показва плътността при всяка дадена точка

00:01:09.855 --> 00:01:11.370
В края на предишния клип си казахме, е,

00:01:11.370 --> 00:01:12.830
каква е масата ?

00:01:12.830 --> 00:01:16.050
Масата е равна на плътността по обема

00:01:16.050 --> 00:01:16.750
Можете да видите това и по друг начин

00:01:16.750 --> 00:01:21.170
Плътността и същото като масата, разделена на обема

00:01:21.170 --> 00:01:26.630
Значи, масата около много, малка точка (и нарекохме това

00:01:26.630 --> 00:01:29.750
маса d), диференциалът на масата, ще е равен на

00:01:29.750 --> 00:01:33.450
плътността при тази точка или приблизителната плътност в точно

00:01:33.450 --> 00:01:36.790
тази точка, по обемния диференциал около тази точка,

00:01:36.790 --> 00:01:40.100
по обема на този малък куб

00:01:40.100 --> 00:01:43.140
И после, както видяхме в последния клип, ако използваме

00:01:43.140 --> 00:01:46.240
координатите на правоъгълник, този обемен диференциал ще

00:01:46.240 --> 00:01:50.390
бъде просто разстоянието x по разстоянието y по разстоянието z

00:01:50.390 --> 00:01:55.690
Значи, функцията на плътността ни е дефинирана

00:01:55.690 --> 00:01:57.730
като x, y и z и искахме да открием

00:01:57.730 --> 00:02:01.560
масата на този обем

00:02:01.560 --> 00:02:04.140
И да казам, че стойностите на нашите координати

00:02:04.140 --> 00:02:05.990
x, y и z са в метри и, че плътността ни

00:02:05.990 --> 00:02:09.340
ь, ъ и з са в метри и, че плътността ни

00:02:09.340 --> 00:02:12.270
В този случай, отговорът ни ще бъде в килограми

00:02:12.270 --> 00:02:14.480
И това са традиционните мерителни единици по Международната система

00:02:14.480 --> 00:02:21.210
Нека открием масата на този обен с променлива плътност

00:02:21.210 --> 00:02:24.150
Тук горе имаме същия интеграл

00:02:24.150 --> 00:02:26.720
-

00:02:26.720 --> 00:02:29.860
Значи, диференциалът на масата ще бъде тази стойност

00:02:29.860 --> 00:02:30.996
Нека запишем това

00:02:30.996 --> 00:02:34.850
-

00:02:34.850 --> 00:02:38.920
Това е x – искам да съм сигурен, че няма да ми свърши мястото

00:02:38.920 --> 00:02:43.390
- xyz по... и първо ще интегрирам по

00:02:43.390 --> 00:02:45.890
отношение на dz

00:02:45.890 --> 00:02:47.910
Но можете и да обърнете реда

00:02:47.910 --> 00:02:49.750
Може да направим това в следващия клип

00:02:49.750 --> 00:02:55.810
Първо ще направим dz, после dy и накрая dx

00:02:55.810 --> 00:03:00.120
-

00:03:00.120 --> 00:03:02.490
Още веднъж, това е само масата за

00:03:02.490 --> 00:03:04.310
всеки малък диференциал от обема

00:03:04.310 --> 00:03:07.760
И ако интегрираме при z, първо, къде ни е z ?

00:03:07.760 --> 00:03:10.770
Границите на z бяха 0 до 2

00:03:10.770 --> 00:03:14.050
-

00:03:14.050 --> 00:03:18.255
Границите на y бяха 0 до 4

00:03:18.255 --> 00:03:21.110
-

00:03:21.110 --> 00:03:23.890
И x ни беше от 0 до 3

00:03:23.890 --> 00:03:26.750
-

00:03:26.750 --> 00:03:27.910
Как да изчислим това ?

00:03:27.910 --> 00:03:29.900
Ами, каква е примитивната функция...

00:03:29.900 --> 00:03:31.370
първо интегрираме по отношение на z

00:03:31.370 --> 00:03:35.660
Значи, каква е примитивната функция на xyz по отношение към z ?

00:03:35.660 --> 00:03:37.080
Да видим

00:03:37.080 --> 00:03:45.080
Това е просто константа, значи ще бъде xyz на квадрат върху 2

00:03:45.080 --> 00:03:46.040
Нали ?

00:03:46.040 --> 00:03:46.810
Така

00:03:46.810 --> 00:03:52.690
И сега изчисляваме това от 2 до 0

00:03:52.690 --> 00:03:54.870
И ще получим... знам, че ще ми свърши мястото

00:03:54.870 --> 00:03:59.420
Ще получите 2 на квадрат, което е 4,

00:03:59.420 --> 00:04:00.990
делено на 2, което е 2

00:04:00.990 --> 00:04:05.460
Значи, имаме 2xy минус 0

00:04:05.460 --> 00:04:09.070
Когато пресментем този интеграл, имаме 2xy

00:04:09.070 --> 00:04:11.410
и сега ни остават още два интеграла

00:04:11.410 --> 00:04:13.260
Не съм записал другите два интеграла

00:04:13.260 --> 00:04:13.820
Ще запиша това

00:04:13.820 --> 00:04:16.680
Сега ни остават два интеграла

00:04:16.680 --> 00:04:20.660
Остават ни dy и dx

00:04:20.660 --> 00:04:28.710
y е от 0 до 4, а x е от 0 до 3

00:04:28.710 --> 00:04:30.480
Определено ми свършва мястото

00:04:30.480 --> 00:04:32.200
И сега взимате примитивната функция на това

00:04:32.200 --> 00:04:34.110
по отношение към y

00:04:34.110 --> 00:04:36.640
Така, каква е примитивната функция по отношение към y ?

00:04:36.640 --> 00:04:40.240
Нека изтрия някои неща, за да не стане много разхвърляно

00:04:40.240 --> 00:04:44.230
-

00:04:44.230 --> 00:04:46.040
Дадоха ми разумната идея да се придвижа

00:04:46.040 --> 00:04:48.340
надолу но, за съжаление, този път

00:04:48.340 --> 00:04:50.090
не беше достатъчно

00:04:50.090 --> 00:04:54.160
Мисля, че това мога да го изтрия

00:04:54.160 --> 00:04:55.220
Опа, изтрих малко и от това

00:04:55.220 --> 00:04:56.860
Но знаете какво изтрих

00:04:56.860 --> 00:04:58.290
Добре, да вземем примитивната функция

00:04:58.290 --> 00:04:59.290
по отношение към y

00:04:59.290 --> 00:05:02.640
Ще започна тук горе, където имам място

00:05:02.640 --> 00:05:06.545
Така, примитивната функция на 2xy по отношение на y е y

00:05:06.545 --> 00:05:08.430
на квадрат върху 2, двойките се анулират

00:05:08.430 --> 00:05:09.870
И получаваме xy на квадрат

00:05:09.870 --> 00:05:13.100
-

00:05:13.100 --> 00:05:15.270
И y е от 0 до 4

00:05:15.270 --> 00:05:18.000
И сега ни остава да направим външния интеграл

00:05:18.000 --> 00:05:22.395
x е от 0 до 3 dx

00:05:22.395 --> 00:05:24.215
И когато y е равно на 4, получаваме 16x

00:05:24.215 --> 00:05:27.050
-

00:05:27.050 --> 00:05:29.050
И когато y е 0, това цялото е 0

00:05:29.050 --> 00:05:34.300
Значи, имаме 16x интегрирано от 0 до 3 dx

00:05:34.300 --> 00:05:36.210
На какво е равно това ?

00:05:36.210 --> 00:05:39.215
на 8x на квадрат

00:05:39.215 --> 00:05:42.700
И изчисляваме от 0 до 3

00:05:42.700 --> 00:05:46.560
Когато е 3 – 8 по 9 е 72

00:05:46.560 --> 00:05:49.040
И 0 по 8 е 0

00:05:49.040 --> 00:05:51.810
Сега, масата на фугрурата...обемът, който намерихме

00:05:51.810 --> 00:05:53.230
преди, беше 24 кубически метра

00:05:53.230 --> 00:05:55.160
Това вече го изтрих, но ако сте гледали предишния клип,

00:05:55.160 --> 00:05:56.210
там говорихме за това

00:05:56.210 --> 00:06:00.570
Масата е 72 килограма

00:06:00.570 --> 00:06:06.420
Открихме това като интегрирахме тази функция за плътност ,

00:06:06.420 --> 00:06:08.090
която има 3 променливи

00:06:08.090 --> 00:06:10.230
Или, в триизмерното пространство можем да разгледаме това

00:06:10.230 --> 00:06:11.440
като скаларно поле, нали ?

00:06:11.440 --> 00:06:13.910
За всяка точка имаме стойност, но

00:06:13.910 --> 00:06:14.420
нямаме посока

00:06:14.420 --> 00:06:16.020
И тази стойност ни е плътността

00:06:16.020 --> 00:06:20.540
Но ние интегрирахме скаларносто поле в този обем

00:06:20.540 --> 00:06:22.650
Това е новото умение, което получихме от

00:06:22.650 --> 00:06:23.620
тройния интеграл

00:06:23.620 --> 00:06:26.280
В сладващия клип ще ви покажа как се процедира

00:06:26.280 --> 00:06:27.460
с по-сложни тройни интеграли

00:06:27.460 --> 00:06:29.820
Сега ще ви кажа, кое е истински трудното при тройните интеграли

00:06:29.820 --> 00:06:32.180
и предполагам, че учителят ви по висша математика също прави това

00:06:32.180 --> 00:06:34.630
Става дума за ситуацията, когато правите тройни интеграли и не

00:06:34.630 --> 00:06:38.290
става дума за някоя проста фигура като тази, ако искате да изчислите

00:06:38.290 --> 00:06:41.500
чрез математически анализ троeн интегнал, който има по-сложни граници

00:06:41.500 --> 00:06:44.910
или, да речем, по сложна функция

00:06:44.910 --> 00:06:46.280
за плътността

00:06:46.280 --> 00:06:48.850
Интегралът става много оплетен много бързо

00:06:48.850 --> 00:06:52.610
Често е много трудно или отнема много време да

00:06:52.610 --> 00:06:55.760
използвате традиционните си

00:06:55.760 --> 00:06:56.270
умения по математически анализ

00:06:56.270 --> 00:06:59.790
Ще видите, че на много изпити по вис ша математика от вас се

00:06:59.790 --> 00:07:02.500
очаква просто да основете тройния интеграл

00:07:02.500 --> 00:07:05.520
Доверяват ви се, че вече сте се занимавали с много интеграли

00:07:05.520 --> 00:07:07.490
и че можете да вземете примитивната функция

00:07:07.490 --> 00:07:09.820
И понякога, ако наистина искат да ви дадат нещо по-трудно,

00:07:09.820 --> 00:07:12.530
ще ви кажат да обърнете реда

00:07:12.530 --> 00:07:14.930
Знаете, че това е интегралът когато изчисляваме

00:07:14.930 --> 00:07:16.700
по отношение на з, после на y и после на x

00:07:16.700 --> 00:07:18.510
Ще ви кажат да препишете този интеграл

00:07:18.510 --> 00:07:19.730
като обърнете реда

00:07:19.730 --> 00:07:22.700
И ние ще направим това в следващия път

00:07:22.700 --> 00:07:24.270
До скоро

00:07:24.270 --> 00:07:25.500
-