En el último vídeo, tuvimos este rectángulo, y se utilizó un triple
integrante de averiguar su volumen.
Y sé que probablemente estaban pensando, bueno, yo podría tener
acaba de utilizar mi geometría básica para multiplicar la altura de los tiempos
el ancho por la profundidad.
Y eso es cierto, porque se trataba de una función constante de valor.
Y entonces, incluso una vez que se evalúa, una vez que se integra
con respecto a la z, que terminó con una integral doble, lo cual
es exactamente lo que hemos hecho en los últimos vídeos
cuando se acaba de enterar de que el volumen bajo una superficie.
Pero entonces, hemos añadido un toque al final del vídeo.
Dijimos, bueno, podría haber descubierto el volumen dentro de
este dominio rectangular, supongo, muy sencillo
uso de las cosas que ya sabías.
Pero lo que si nuestro objetivo no es determinar el volumen?
Nuestro objetivo era determinar la masa de este volumen, e incluso
Además, el material que estamos tomando el volumen de - ya sea
es un volumen de gas o un volumen de un sólido - que
su densidad no es constante.
Así que ahora la masa se convierte en una especie de - no sé --
interesante para calcular.
Y así, lo que nos define, nos define una función de densidad.
Y Rho, este p buscando algo con un fondo con curvas - que
nos da la densidad en un momento dado.
Y al final del último vídeo que dijo,
Bueno, ¿qué es la masa?
La masa es simplemente la densidad de volumen de los tiempos.
Usted puede verla de otra manera.
La densidad es lo mismo que la masa dividida por el volumen.
Por lo tanto la masa alrededor de un punto muy, muy pequeño, y llamamos a que
d masa, el diferencial de la masa, va igual a la
densidad en ese punto, o la densidad aproximada exactamente a que
puntos, Times el diferencial de volumen en torno a ese punto,
veces el volumen de este pequeño cubo pequeño.
Y entonces, como lo vimos en el último video, si usted está utilizando
coordenadas rectangulares, esta diferencia de volumen sólo podía
ser los tiempos distancia x la distancia Y veces la distancia z.
Así, la densidad era que nuestra función de densidad se define
ser x, y, z, y queríamos averiguar el
masa de este volumen.
Y digamos que nuestros X, Y, y Z-su
los valores, digamos que están en metros y digamos que este
densidad es en kilogramos por metro cúbico.
Así que nuestra respuesta va a ser en kilogramos, si ese fuera el caso.
Y esos son la clase de las unidades del SI tradicionales.
Así que vamos a averiguar la masa de este volumen variable denso.
Así que todo lo que hacemos es que tenemos la misma integral aquí.
De modo que el diferencial de masa va a ser este valor,
así que vamos a escribir eso.
Es x - Quiero asegurarme de que no se quede sin espacio
xyz veces - y voy a integrarse con
con respecto a dz primera.
Pero en realidad se podría cambiar el orden.
Tal vez lo haremos en el siguiente video.
Haremos dz primero, y luego vamos a hacer dy, a continuación, vamos a hacer dx.
Una vez más, esto es sólo la masa en cualquier pequeña
diferencial de volumen.
Y si nos integramos con z primero que dijo z pasa de qué?
Los límites en z fueron de 0 a 2.
Los límites en z fueron de 0 a 2.
Y los límites de x, x pasó de 0 a 3.
¿Y cómo evaluamos esto?
Bien, ¿qué es la primitiva--somos
en primer lugar la integración con respecto a z.
¿Qué es la primitiva de xyz con respecto a z?
Bueno, vamos a ver.
Esto es sólo una constante será xyz cuadrado más 2.
¿Verdad?
Sí, es cierto.
Y luego te evaluamos de 2 a 0.
Y así obtendrá--sé que voy a quedarse sin espacio.
Por lo que vas a conseguir 2 cuadrado, que es 4,
dividido por 2, que es 2.
Por eso, 2xy menos 0.
Así que cuando usted evaluar este primero nos pondremos 2xy, y
Ahora tienes las otras dos integrales que dejó.
Por eso no escribo las otras dos integrales hacia abajo.
Tal vez voy a escribir.
Así te dejan con dos integrales.
Te dejan con dy y dx.
Y va de 0 a 4 y x va de 0 a 3.
Definitivamente voy a quedarse sin espacio.
Y ahora llevar la primitiva de este
con respecto a y.
¿Qué es la primitiva de este con respecto a y?
Quiero borrar algunas cosas sólo por lo que no entiendo demasiado desordenado.
Me ha dado muy buena sugerencia de lo que
desplazamiento, pero, lamentablemente, no hacen desplazarse
suficiente esta vez.
Así puedo eliminar estas cosas, pienso.
Vaya, he eliminado algo de eso.
Pero sabes lo que he eliminado.
OK, así que vamos a tomar la primitiva
con respecto a y.
Podrá iniciarlo hasta aquí donde tengo espacio.
OK, por lo que la primitiva de 2xy con respecto a y es y
cuadrado más 2, se cancelan de 2.
Así obtendrá xy cuadrado.
Y y va de 0 a 4.
Y luego tenemos la integral exterior a hacer.
x va de 0 a 3 dx.
Y cuando es igual a 4 x 16.
Y entonces cuando 0 y toda la cosa es 0.
Así que tienes 16 x integrado de 0 a 3 dx.
¿Y que es igual a qué?
cuadrado x 8.
Y se evalúa de 0 a 3.
Cuando es 3, 8 veces 9 es 72.
Y 8 veces 0 es 0.
Por lo que la masa de nuestra figura el volumen--averiguamos última
tiempo era de 24 metros elevado al cubo.
Borrado, pero si vieron el último video
eso es lo que hemos aprendido.
Pero su masa es de 72 kilogramos.
Y lo hicimos por integrar esta densidad variable 3
función--esta función de 3 variables.
O en tres dimensiones se puede ver como un
¿campo escalar, correcto?
En cualquier momento, pero no hay un valor
realmente una dirección.
Y ese valor es una densidad.
Pero integramos el campo escalar en este volumen.
Eso es tipo de la nueva habilidad con que nos enteramos
la integral triple.
Y en el siguiente video te mostraré cómo configurar más
complicado integrales triples.
Pero la verdadera dificultad con triples integrales es--y
Creo que verá que a menudo se hará el profesor de cálculo
Esto--cuando estás haciendo triples integrales, a menos que tenga una
figura muy fácil así, la evaluación--si usted realmente
quería evaluar analíticamente una integral triple que tiene más
límites complicados o más complejos por ejemplo,
una función de densidad.
La integral obtiene muy peludos, muy rápido.
Y a menudo es muy difícil o muy lentos para
evaluar analíticamente sólo mediante su tradicional
habilidades de cálculo.
Así, verás en un montón de exámenes de cálculo cuando empiezan
haciendo la integral triple, solo quieren que configurarlo.
Toman su palabra para lo que has hecho tantos integrales
hasta el momento que podía tomar la primitiva.
Y a veces, si realmente quieren darle algo más
difícil voy sólo dicen, bueno, cambiar el orden.
Usted sabe, esto es la integral al que estamos tratando con
respecto a z, entonces y, a continuación, x.
Queremos volver a escribir cuando integral
cambiar el orden.
Y lo haremos en el próximo video.
Nos vemos luego.