WEBVTT 00:00:00.920 --> 00:00:03.820 En el último vídeo, tuvimos este rectángulo, y se utilizó un triple 00:00:03.820 --> 00:00:05.170 integrante de averiguar su volumen. 00:00:05.170 --> 00:00:08.000 Y sé que probablemente estaban pensando, bueno, yo podría tener 00:00:08.000 --> 00:00:12.100 acaba de utilizar mi geometría básica para multiplicar la altura de los tiempos 00:00:12.100 --> 00:00:12.940 el ancho por la profundidad. 00:00:12.940 --> 00:00:15.720 Y eso es cierto, porque se trataba de una función constante de valor. 00:00:15.720 --> 00:00:18.320 Y entonces, incluso una vez que se evalúa, una vez que se integra 00:00:18.320 --> 00:00:20.630 con respecto a la z, que terminó con una integral doble, lo cual 00:00:20.630 --> 00:00:23.840 es exactamente lo que hemos hecho en los últimos vídeos 00:00:23.840 --> 00:00:26.580 cuando se acaba de enterar de que el volumen bajo una superficie. 00:00:26.580 --> 00:00:28.560 Pero entonces, hemos añadido un toque al final del vídeo. 00:00:28.560 --> 00:00:33.000 Dijimos, bueno, podría haber descubierto el volumen dentro de 00:00:33.000 --> 00:00:38.160 este dominio rectangular, supongo, muy sencillo 00:00:38.160 --> 00:00:39.000 uso de las cosas que ya sabías. 00:00:39.000 --> 00:00:42.080 Pero lo que si nuestro objetivo no es determinar el volumen? 00:00:42.080 --> 00:00:46.790 Nuestro objetivo era determinar la masa de este volumen, e incluso 00:00:46.790 --> 00:00:50.240 Además, el material que estamos tomando el volumen de - ya sea 00:00:50.240 --> 00:00:53.060 es un volumen de gas o un volumen de un sólido - que 00:00:53.060 --> 00:00:55.050 su densidad no es constante. 00:00:55.050 --> 00:00:58.080 Así que ahora la masa se convierte en una especie de - no sé -- 00:00:58.080 --> 00:00:59.550 interesante para calcular. 00:00:59.550 --> 00:01:03.740 Y así, lo que nos define, nos define una función de densidad. 00:01:03.740 --> 00:01:07.770 Y Rho, este p buscando algo con un fondo con curvas - que 00:01:07.770 --> 00:01:09.855 nos da la densidad en un momento dado. 00:01:09.855 --> 00:01:11.370 Y al final del último vídeo que dijo, 00:01:11.370 --> 00:01:12.830 Bueno, ¿qué es la masa? 00:01:12.830 --> 00:01:16.050 La masa es simplemente la densidad de volumen de los tiempos. 00:01:16.050 --> 00:01:16.750 Usted puede verla de otra manera. 00:01:16.750 --> 00:01:21.170 La densidad es lo mismo que la masa dividida por el volumen. 00:01:21.170 --> 00:01:26.630 Por lo tanto la masa alrededor de un punto muy, muy pequeño, y llamamos a que 00:01:26.630 --> 00:01:29.750 d masa, el diferencial de la masa, va igual a la 00:01:29.750 --> 00:01:33.450 densidad en ese punto, o la densidad aproximada exactamente a que 00:01:33.450 --> 00:01:36.790 puntos, Times el diferencial de volumen en torno a ese punto, 00:01:36.790 --> 00:01:40.100 veces el volumen de este pequeño cubo pequeño. 00:01:40.100 --> 00:01:43.140 Y entonces, como lo vimos en el último video, si usted está utilizando 00:01:43.140 --> 00:01:46.240 coordenadas rectangulares, esta diferencia de volumen sólo podía 00:01:46.240 --> 00:01:50.390 ser los tiempos distancia x la distancia Y veces la distancia z. 00:01:50.390 --> 00:01:55.690 Así, la densidad era que nuestra función de densidad se define 00:01:55.690 --> 00:01:57.730 ser x, y, z, y queríamos averiguar el 00:01:57.730 --> 00:02:01.560 masa de este volumen. 00:02:01.560 --> 00:02:04.140 Y digamos que nuestros X, Y, y Z-su 00:02:04.140 --> 00:02:05.990 los valores, digamos que están en metros y digamos que este 00:02:05.990 --> 00:02:09.340 densidad es en kilogramos por metro cúbico. 00:02:09.340 --> 00:02:12.270 Así que nuestra respuesta va a ser en kilogramos, si ese fuera el caso. 00:02:12.270 --> 00:02:14.480 Y esos son la clase de las unidades del SI tradicionales. 00:02:14.480 --> 00:02:21.210 Así que vamos a averiguar la masa de este volumen variable denso. 00:02:21.210 --> 00:02:24.150 Así que todo lo que hacemos es que tenemos la misma integral aquí. 00:02:26.720 --> 00:02:29.860 De modo que el diferencial de masa va a ser este valor, 00:02:29.860 --> 00:02:30.996 así que vamos a escribir eso. 00:02:34.850 --> 00:02:38.920 Es x - Quiero asegurarme de que no se quede sin espacio 00:02:38.920 --> 00:02:43.390 xyz veces - y voy a integrarse con 00:02:43.390 --> 00:02:45.890 con respecto a dz primera. 00:02:45.890 --> 00:02:47.910 Pero en realidad se podría cambiar el orden. 00:02:47.910 --> 00:02:49.750 Tal vez lo haremos en el siguiente video. 00:02:49.750 --> 00:02:55.810 Haremos dz primero, y luego vamos a hacer dy, a continuación, vamos a hacer dx. 00:03:00.120 --> 00:03:02.490 Una vez más, esto es sólo la masa en cualquier pequeña 00:03:02.490 --> 00:03:04.310 diferencial de volumen. 00:03:04.310 --> 00:03:07.760 Y si nos integramos con z primero que dijo z pasa de qué? 00:03:07.760 --> 00:03:10.770 Los límites en z fueron de 0 a 2. 00:03:14.050 --> 00:03:18.255 Los límites en z fueron de 0 a 2. 00:03:21.110 --> 00:03:23.890 Y los límites de x, x pasó de 0 a 3. 00:03:26.750 --> 00:03:27.910 ¿Y cómo evaluamos esto? 00:03:27.910 --> 00:03:29.900 Bien, ¿qué es la primitiva--somos 00:03:29.900 --> 00:03:31.370 en primer lugar la integración con respecto a z. 00:03:31.370 --> 00:03:35.660 ¿Qué es la primitiva de xyz con respecto a z? 00:03:35.660 --> 00:03:37.080 Bueno, vamos a ver. 00:03:37.080 --> 00:03:45.080 Esto es sólo una constante será xyz cuadrado más 2. 00:03:45.080 --> 00:03:46.040 ¿Verdad? 00:03:46.040 --> 00:03:46.810 Sí, es cierto. 00:03:46.810 --> 00:03:52.690 Y luego te evaluamos de 2 a 0. 00:03:52.690 --> 00:03:54.870 Y así obtendrá--sé que voy a quedarse sin espacio. 00:03:54.870 --> 00:03:59.420 Por lo que vas a conseguir 2 cuadrado, que es 4, 00:03:59.420 --> 00:04:00.990 dividido por 2, que es 2. 00:04:00.990 --> 00:04:05.460 Por eso, 2xy menos 0. 00:04:05.460 --> 00:04:09.070 Así que cuando usted evaluar este primero nos pondremos 2xy, y 00:04:09.070 --> 00:04:11.410 Ahora tienes las otras dos integrales que dejó. 00:04:11.410 --> 00:04:13.260 Por eso no escribo las otras dos integrales hacia abajo. 00:04:13.260 --> 00:04:13.820 Tal vez voy a escribir. 00:04:13.820 --> 00:04:16.680 Así te dejan con dos integrales. 00:04:16.680 --> 00:04:20.660 Te dejan con dy y dx. 00:04:20.660 --> 00:04:28.710 Y va de 0 a 4 y x va de 0 a 3. 00:04:28.710 --> 00:04:30.480 Definitivamente voy a quedarse sin espacio. 00:04:30.480 --> 00:04:32.200 Y ahora llevar la primitiva de este 00:04:32.200 --> 00:04:34.110 con respecto a y. 00:04:34.110 --> 00:04:36.640 ¿Qué es la primitiva de este con respecto a y? 00:04:36.640 --> 00:04:40.240 Quiero borrar algunas cosas sólo por lo que no entiendo demasiado desordenado. 00:04:44.230 --> 00:04:46.040 Me ha dado muy buena sugerencia de lo que 00:04:46.040 --> 00:04:48.340 desplazamiento, pero, lamentablemente, no hacen desplazarse 00:04:48.340 --> 00:04:50.090 suficiente esta vez. 00:04:50.090 --> 00:04:54.160 Así puedo eliminar estas cosas, pienso. 00:04:54.160 --> 00:04:55.220 Vaya, he eliminado algo de eso. 00:04:55.220 --> 00:04:56.860 Pero sabes lo que he eliminado. 00:04:56.860 --> 00:04:58.290 OK, así que vamos a tomar la primitiva 00:04:58.290 --> 00:04:59.290 con respecto a y. 00:04:59.290 --> 00:05:02.640 Podrá iniciarlo hasta aquí donde tengo espacio. 00:05:02.640 --> 00:05:06.545 OK, por lo que la primitiva de 2xy con respecto a y es y 00:05:06.545 --> 00:05:08.430 cuadrado más 2, se cancelan de 2. 00:05:08.430 --> 00:05:09.870 Así obtendrá xy cuadrado. 00:05:13.100 --> 00:05:15.270 Y y va de 0 a 4. 00:05:15.270 --> 00:05:18.000 Y luego tenemos la integral exterior a hacer. 00:05:18.000 --> 00:05:22.395 x va de 0 a 3 dx. 00:05:22.395 --> 00:05:24.215 Y cuando es igual a 4 x 16. 00:05:27.050 --> 00:05:29.050 Y entonces cuando 0 y toda la cosa es 0. 00:05:29.050 --> 00:05:34.300 Así que tienes 16 x integrado de 0 a 3 dx. 00:05:34.300 --> 00:05:36.210 ¿Y que es igual a qué? 00:05:36.210 --> 00:05:39.215 cuadrado x 8. 00:05:39.215 --> 00:05:42.700 Y se evalúa de 0 a 3. 00:05:42.700 --> 00:05:46.560 Cuando es 3, 8 veces 9 es 72. 00:05:46.560 --> 00:05:49.040 Y 8 veces 0 es 0. 00:05:49.040 --> 00:05:51.810 Por lo que la masa de nuestra figura el volumen--averiguamos última 00:05:51.810 --> 00:05:53.230 tiempo era de 24 metros elevado al cubo. 00:05:53.230 --> 00:05:55.160 Borrado, pero si vieron el último video 00:05:55.160 --> 00:05:56.210 eso es lo que hemos aprendido. 00:05:56.210 --> 00:06:00.570 Pero su masa es de 72 kilogramos. 00:06:00.570 --> 00:06:06.420 Y lo hicimos por integrar esta densidad variable 3 00:06:06.420 --> 00:06:08.090 función--esta función de 3 variables. 00:06:08.090 --> 00:06:10.230 O en tres dimensiones se puede ver como un 00:06:10.230 --> 00:06:11.440 ¿campo escalar, correcto? 00:06:11.440 --> 00:06:13.910 En cualquier momento, pero no hay un valor 00:06:13.910 --> 00:06:14.420 realmente una dirección. 00:06:14.420 --> 00:06:16.020 Y ese valor es una densidad. 00:06:16.020 --> 00:06:20.540 Pero integramos el campo escalar en este volumen. 00:06:20.540 --> 00:06:22.650 Eso es tipo de la nueva habilidad con que nos enteramos 00:06:22.650 --> 00:06:23.620 la integral triple. 00:06:23.620 --> 00:06:26.280 Y en el siguiente video te mostraré cómo configurar más 00:06:26.280 --> 00:06:27.460 complicado integrales triples. 00:06:27.460 --> 00:06:29.820 Pero la verdadera dificultad con triples integrales es--y 00:06:29.820 --> 00:06:32.180 Creo que verá que a menudo se hará el profesor de cálculo 00:06:32.180 --> 00:06:34.630 Esto--cuando estás haciendo triples integrales, a menos que tenga una 00:06:34.630 --> 00:06:38.290 figura muy fácil así, la evaluación--si usted realmente 00:06:38.290 --> 00:06:41.500 quería evaluar analíticamente una integral triple que tiene más 00:06:41.500 --> 00:06:44.910 límites complicados o más complejos por ejemplo, 00:06:44.910 --> 00:06:46.280 una función de densidad. 00:06:46.280 --> 00:06:48.850 La integral obtiene muy peludos, muy rápido. 00:06:48.850 --> 00:06:52.610 Y a menudo es muy difícil o muy lentos para 00:06:52.610 --> 00:06:55.760 evaluar analíticamente sólo mediante su tradicional 00:06:55.760 --> 00:06:56.270 habilidades de cálculo. 00:06:56.270 --> 00:06:59.790 Así, verás en un montón de exámenes de cálculo cuando empiezan 00:06:59.790 --> 00:07:02.500 haciendo la integral triple, solo quieren que configurarlo. 00:07:02.500 --> 00:07:05.520 Toman su palabra para lo que has hecho tantos integrales 00:07:05.520 --> 00:07:07.490 hasta el momento que podía tomar la primitiva. 00:07:07.490 --> 00:07:09.820 Y a veces, si realmente quieren darle algo más 00:07:09.820 --> 00:07:12.530 difícil voy sólo dicen, bueno, cambiar el orden. 00:07:12.530 --> 00:07:14.930 Usted sabe, esto es la integral al que estamos tratando con 00:07:14.930 --> 00:07:16.700 respecto a z, entonces y, a continuación, x. 00:07:16.700 --> 00:07:18.510 Queremos volver a escribir cuando integral 00:07:18.510 --> 00:07:19.730 cambiar el orden. 00:07:19.730 --> 00:07:22.700 Y lo haremos en el próximo video. 00:07:22.700 --> 00:07:24.270 Nos vemos luego.