Eelmises videos,oli meil ristkülik ja me kasutasime
kolmekortset integraali, et arvutada selle mahtu.
Ma tean, et te mõtlete, et ma oleksin
võinud lihtsalt kasutada alg geomeetriat, korrutades pikkus
korda laius korda sügavus.
See on tõsi, sest see oli konstantse väärtustega funktsioon.
Siis ükskord me arvutasime, siis me in täiendasime
z suhtes ja jõutsime kahekortse integraalini,mis
te oleksite teinud, eelnevates videotes,
kui me lihtsalt õppisime pinna aluseid mahte.
Kuid, siis me lisasime pöörde video lõpus.
Me ütleme, hästi, me oleksime võinud arvutada mahu,
selle ristküliku piirkonna, ma arvan, väga otsekoheselt
kasutan asju mida te juba teate.
Kuid, kui meie eesmärk ei ole leida ruumala?
Meie eesmärk oli leida selle mahu massi ja
isegi rohkem, materjali mida me võtsime mahust --
ükskõik, kas gaasi mahu või vedeliku mahu--
selle tihedus ei ole konstantne.
Massi on
huvitav arvutada.
Mida me defineerisime, me defineerisime funktsiooni tihedust.
rho, p sarnast asja koos kurvika alaosaga --
see annab meile tiheduse, iga antud punkti korral.
Eelmise video lõpus me ütlesime,
mis on mass?
Mass on tihedus korda ruumala.
Te võite vaadata seda teise nurga alt.
Tihedus on sama mis mass jagatud ruumalaga.
Mass väga, väga väikse punkti ümber ja me nimetasime selle
d massiks, massi diferentsiaal on võrdne
tihedusega sellel punktil või ligikautse tihedusega täpselt
sellel punktil, korda mahu diferentsiaali selle punkti ümber,
korda selle väikse kuubi ruumalaga.
Siis, nagu me nägime eelmine video, kui te kasutate
ristküliku koordinaate, selle mahu diferentsiaal võib lihtsalt
olla x vahemaa korda y vahemaa korda z vahemaa.
Tihedus oli et, meie funktsiooni tihedus on defineeritud
olema x,y ja z. ja me tahtsime leida
ruumala massi.
Ütleme et, meiex,y ja z koordinaadid --
nende väärtused, need on meetrites ja
tihedus on kilogramm kuupmeetri kohta.
Nii meie vastus oleks kilogrammides, selliste andmete puhul.
Need on traditsioonilise Si ühikud.
Arvutame selle varieeruva tihedusega mahu massi.
Kõik mida me teeme on meil on sama integraal seal üleval.
Massi difererentsiaal on see väärtus,
kirjutame selle üles.
See on x-- ma tahan kindel olla, et ruuma ei lõppeks otsa.
xzy korda-- ma integreerin
dz suhtes esimesena.
Kuid, te võite ka muuta järjekorda.
Võibolla teeme seda järgmine video.
Me teeme dz esimesena, siis me teeme dy, lõpuks dx.
Jälle see on lihtsalt mass igasuguse väikse
diferentsiaalse mahu korral.
Kui me integreerime z esimesena me ütlesime z läheb siis?
Z piirid olid nullist kaheni.
y piirid olid nullist neljani.
X piirid, x läks nullist kolmeni.
Kuidas me arvutame seda?
Mis on algfunktsioon--
me integreerime z suhtes esmalt.
Mis on algfunktsioon xyz'st z suhtes?
Vaatame.
See on lihtsalt konstantne, see on xyz 2 ruut.
Eks?
See on õige.
Siis me arvutame selle kahest kuni nullini.
Siis te saate-- ma tean, et mul lõppeb ruum otsa.
Te saate kahe ruudu, mis on neli,
jagades kahega, mis on kaks.
See on 2xy miinus 0.
Kui me arvutame selle esmalt, me saame 2xy ja
teil on jääb kaks integraali järele.
Ma ei kirjutanud neid kahte integraale üles.
Võibolla ma kirjutan selle üles.
Nii kaks integraali on järel.
Alles on jäänud dy ja dx.
y läheb nullist neljani ja x läheb nullist kolmeni.
Mul kindlasti saab ruum otsa.
Siis te võtate algfunktsiooni sellest
y suhtes.
Mis on algfunktsioon y suhtes?
Las ma kustutan ära mõned asjad , et ma ei muutuks liiga räpaseks.
Ma antsin väga hea soovituse, kuidas teha seda
kerimisriba, kuid kahjuks ma ei teinud seda
piisavalt see kord.
Ma võin kustutada selle ära, ma arva.
Oih, ma kustutasin osa sellest ära.
Kuid te teate mida ma kustutasin.
Olgu, võtame algfunktsiooni
y suhtes.
Ma alustan seda seal üleval, kus mul on ruumi.
Olgu, algfunktsioon 2xy y suhtes on
y kahe ruuds, kahed jäävad ära.
Nii te saate xy ruudu.
y läheb nullist neljani.
Meil jääb ikkagi välimised integraalid teaha.
x läheb 0 kolmeni, dx.
Kui y on võrdne neljaga, te saate 16x.
Kui y on 0 kogu lahend on 0.
Teil on 16x integreeritud nullist kuni kolmeni, dx.
See on võrdne millega?
8x ruudus.
Te arvutate selle nullist kuni kolmeni.
Kui see on kolm, 8 korda 9 on 72.
0 korda 8 on 0.
Meie kujundi mass-- ruumala me arvutasime eelmine korda,
oli 24 kuupmeetrit.
Ma kustutasin selle, kuid kui te vaatsaite eelmist videot,
seda me seal õppisime.
Selle mass on 72 kilogrammi.
Me tegime seda, integreerisime kolme muutujaga funktsiooni
tiheduse-- see funktsioon kolme muutujaga.
Kolme-mõõtmeliselt te saate vaadata seda kui
skalaarvälja,eks?
Iga antud punkti korral, on väärtus leitav, kuid mitte
kõigis suunas.
See väärtus on tihedus.
Kuid me integreerisime skalaarvälja selles mahus.
See on uus oskus, mida me õppisime
kolmekortses integraalis.
Järgmise videos ma näitan, kuidas teha
keerukamaid kolmekortseid integraale.
Kõige raskem kolmekortse integraali juures-- ja te
näete seda, et teie arvutus õpetaja sageli teeb seda--
kui te teete kolmekortset integraali, kui mitte just teil
pole väga lihtne kujund nagu see, arvutamine-- kui te
päriselt tahate analüütiliselt hinnata kolmekordne integraal, kus on rohkem
keerukamaid piire ja keerulisem, näiteks
tihedus funktsioonis.
Integraal muutub väga ruutu, väga kiiresti.
Sageli see on väga keeruline või aega nõudev,
arvutada ja analüüsida seda, kasutades traditsioonilisi
arvutus oskuseid.
Te näete sede arvutus examites, kui nad hakkavad
tegema kolmekortseid integraale, nad tahavd, et te ise selle üles seaksite.
Nad usuvad teid, et te olete teinud palju integraale
nii, et te võiksite võtta algfunktsiooni.
Vahel, kui nad tahavd anda teile rohkem
keerulisemaid ülesandeid, nad ütlevad, et muutke järjekorda.
See on integraal, kus teil on tegemist
z seosega, siis y, siis x.
Me tahame, et te ümberkirjutaksite selle integraali, kui
te vahetate järjekorda.
Me teeme seda järgmine videos.
Näeme varsti.