In de laatste video, hadden we deze rechthoek, en gebruikten we een driedubbele
integraal om het volume ervan te vinden.
En ik weet dat je waarschijnlijk denkt, oké, maar ik haf ook gewoon
de hoogte kunnen vermenigvuldigen met
de breedte en de diepte.
En dat is waar, want dit was een constante-gewaardeerde functie.
En zodra we integreerden
met betrekking tot z, kregen we een dubbele integraal, en dat is
precies wat we in de afgelopen video's hebben gedaan
toen we het volume onder een oppervlak bespraken.
Maar het einde van de video bevatte iets nieuws.
We zeiden, oké, je had het volume
ook makkelijker kunnen berekenen
met behulp van methoden die je al kent.
Maar wat als ons doel niet is om het volume te berekenen?
Ons doel was om de massa van dit volume te berekenen, en verder,
de stof waarvan we het volume meten--of
het een gas of een volume van een vaste stof is--heeft
geen constante dichtheid.
Dus nu wordt de massa --zeg maar--
interessant om te berekenen.
En dus, wat we hebben beschreven, namelijk een dichtheidsfunctie.
En rho, de letter die lijkt op een p met een bochtige bodem--
geeft ons de dichtheid op een bepaald punt.
En aan het einde van de laatste video zeiden wij:
Dus, wat is massa?
Massa is simpelweg dichtheid keer volume.
Maar er is een andere manier om massa te bekijken.
Dichtheid is het zelfde als massa verdeeld door volume.
Dus de massa rond een zeer, zeer kleine punt, en we genoemd dat
d massa, het differentieel van de massa, staat gelijk aan de
dichtheid op dat punt, of de ruwe dichtheid op precies dat
punt, keer de differentiaal van het volume rond dat punt,
keer het volume van deze kleine kleine kubus.
En dan, zoals we zagen in de laatste video, als je
rechthoekig coördinaten gebruikt, dan is dit volume differentiaal
hetzelfde als de afstand x keer de y afstand keer de z afstand.
Dus, de dichtheid was dat onze dichtheidsfunctie is gedefinieerd
als x, y, en z, en we wilden uitzoeken wat
de massa is van dit volume.
En laten we zeggen dat onze x, y, en z-coördinaten--hun
waarden, laten we zeggen ze in meter zijn en laten we zeggen dat de
dichtheid in kilogram per vierkante meter is.
Ons antwoord is dus in kilogram.
En dat zijn soort van de traditionele Si-eenheden.
Dus laten we de massa van dit variabel dichte volume uitzoeken.
Dus we hebben hier bovenaan hetzelfde integraal.
Daarom zal het massa differentiaal dus deze waarde hebben,
dus laten we dat onderaan opschrijven.
Het is x--ik willen ervoor zorgen dat ik genoeg ruimte heb.
XYZ keer-- en ik ga het eerst integreren met
betrekking tot dz.
Maar de volgorde maakt eigenlijk niet uit.
Misschien laat ik u dat zien in de volgende video.
Wij doen eerst dz, daarna dy, en als laatste dx.
Nogmaals, dit is gewoon de massa op een kleine
differentieel van volume.
En als wij eerst met z integreren, wat is het domein van z?
De grenzen van z waren 0 en 2.
De grenzen van y waren 0 tot en met 4.
En de grenzen op x, zijn van 0 tot 3.
En hoe evalueren we dit?
Nou, wat is de primitieve--we
integreren eerst met betrekking tot z.
Dus wat is de primitieve van xyz met betrekking tot z?
Nou, dat gaan we nu zien.
Dit is een constante dus wordt het xyz kwadraat gedeeld door 2.
Klopt dat?
Ja, dat klopt.
En dan evalueren wij dat van 2 tot 0.
En dan krijg je--ik weet dat ik ruimte gebrek ga krijgen.
Dus je krijgt 2 kwadraat, dus 4,
gedeeld door 2, uitkomst is 2.
Dus het is 2xy minus 0.
Dus wanneer u alleen dit evalueert krijg je 2xy, en
nu heb je nog de andere twee integralen over.
Ik heb de andere twee integralen nog niet uitgeschreven.
Misschien doe ik dat nu.
Dus je hebt twee integralen over.
dy en dx.
En y gaat van 0 tot 4 en x gaat van 0 tot 3.
Ik heb zeker te weinig ruimte...
En nu nemen we hiervan de primitieve
met betrekking tot y.
Dus wat is de primitieve van dit met betrekking tot y?
Laat me wat uitwissen zodat het geen rommel wordt.
Ik kreeg de zeer goede suggestie om
naar beneden te scrollen, maar, helaas, heb ik dat
deze keer niet voldoende gedaan.
Volgens mij kan ik dit uitwissen.
Oeps, iets te veel.
Maar je weet wat ik heb gewist.
OK, dus laten we eens de primitieve
met betrekking tot y vinden.
Ik zal hier boven, waar ik ruimte heb, beginnen.
OK, dus de primitieve van 2xy met betrekking tot y is
y kwadraat gedeeld door 2, de 2's strepen we tegen elkaar weg.
Dus krijg je xy kwadraat.
En y gaat van 0 tot 4.
En dan hebben we nog steeds de buitenste integraal te doen.
x gaat van 0 tot 3 dx.
En wanneer y gelijk aan 4 is krijg je 16 x.
En dan wanneer y 0 is het hele ding is 0.
Dus hebt je 16x geïntegreerd van 0 tot 3 dx.
En dat is gelijk aan?
8x tot de macht 2.
En u het evalueren van 0 tot en met 3.
Wanneer het 3 is, 8 keer 9 is 72.
En 0 times 8 is 0.
Dus de massa van onze figuur--het volume dat we laatst al hadden berekend
was 24 vierkante meter.
Ik heb het gewist, maar dat is wat we in de laatste video
geleerd hebben.
Maar de massa is 72 kg.
En we hebben dat gevonden door de integratie van deze 3 variabele dichtheid
functie--deze functie van 3 variabelen.
Of in drie dimensies kunt u het bekijken als een
scalair veld.
Op elk punt, is er een waarde, maar niet
echt een richting.
En die waarde is een dichtheid.
Maar we hebben de scalair veld in dit volume geïntegreerd.
Dus dat is de nieuwe vaardigheid die we geleerd hebben met
de triple integraal.
In de volgende video zal ik laten zien hoe u meer
ingewikkelde triple integralen oplost.
Maar het echte probleem met triple integralen is-- en ik
denk dat je zult zien dat uw calculus leraar dit vaak zal doen
--wanneer je werkt met drievoudige integralen, tenzij u een
zeer gemakkelijk figuur als deze neemt, de evaluatie--als u
analytisch een drievoudige integraal wilt evalueren die
ingewikkeldere grenzen heeft, bijvoorbeeld een ingewikkeldere
dichtheidsfunctie.
De integraal wordt zeer snel grillig.
En het is vaak zeer moeilijk of zeer tijdrovend om
het analytisch te evalueren met behulp van alleen uw traditionele
calculus vaardigheden.
Daarom zie je dat op een heleboel calculus examens dat
je alleen het begin ervan hoeft te doen.
Zij nemen er je woord voor dat je het vaak genoeg hebt gedaan
dat je de primitieve kan nemen.
En soms, als ze je echt iets moeilijker willen geven
dan vragen ze je de volgorde te wisselen.
Weet je, dit is de integraal wanneer we oefenen
ten aanzien van z, dan y, dan x.
Als oefening kan je de integraal herschrijven
met veranderde volgorde.
De uitwerking zal worden gegeven in de volgende video.
Tot gauw.