0:00:00.920,0:00:03.820 In de laatste video, hadden we deze rechthoek, en gebruikten we een driedubbele 0:00:03.820,0:00:05.170 integraal om het volume ervan te vinden. 0:00:05.170,0:00:08.000 En ik weet dat je waarschijnlijk denkt, oké, maar ik haf ook gewoon 0:00:08.000,0:00:12.100 de hoogte kunnen vermenigvuldigen met 0:00:12.100,0:00:12.940 de breedte en de diepte. 0:00:12.940,0:00:15.720 En dat is waar, want dit was een constante-gewaardeerde functie. 0:00:15.720,0:00:18.320 En zodra we integreerden 0:00:18.320,0:00:20.630 met betrekking tot z, kregen we een dubbele integraal, en dat is 0:00:20.630,0:00:23.840 precies wat we in de afgelopen video's hebben gedaan 0:00:23.840,0:00:26.580 toen we het volume onder een oppervlak bespraken. 0:00:26.580,0:00:28.560 Maar het einde van de video bevatte iets nieuws. 0:00:28.560,0:00:33.000 We zeiden, oké, je had het volume 0:00:33.000,0:00:38.160 ook makkelijker kunnen berekenen 0:00:38.160,0:00:39.000 met behulp van methoden die je al kent. 0:00:39.000,0:00:42.080 Maar wat als ons doel niet is om het volume te berekenen? 0:00:42.080,0:00:46.790 Ons doel was om de massa van dit volume te berekenen, en verder, 0:00:46.790,0:00:50.240 de stof waarvan we het volume meten--of 0:00:50.240,0:00:53.060 het een gas of een volume van een vaste stof is--heeft 0:00:53.060,0:00:55.050 geen constante dichtheid. 0:00:55.050,0:00:58.080 Dus nu wordt de massa --zeg maar-- 0:00:58.080,0:00:59.550 interessant om te berekenen. 0:00:59.550,0:01:03.740 En dus, wat we hebben beschreven, namelijk een dichtheidsfunctie. 0:01:03.740,0:01:07.770 En rho, de letter die lijkt op een p met een bochtige bodem-- 0:01:07.770,0:01:09.855 geeft ons de dichtheid op een bepaald punt. 0:01:09.855,0:01:11.370 En aan het einde van de laatste video zeiden wij: 0:01:11.370,0:01:12.830 Dus, wat is massa? 0:01:12.830,0:01:16.050 Massa is simpelweg dichtheid keer volume. 0:01:16.050,0:01:16.750 Maar er is een andere manier om massa te bekijken. 0:01:16.750,0:01:21.170 Dichtheid is het zelfde als massa verdeeld door volume. 0:01:21.170,0:01:26.630 Dus de massa rond een zeer, zeer kleine punt, en we genoemd dat 0:01:26.630,0:01:29.750 d massa, het differentieel van de massa, staat gelijk aan de 0:01:29.750,0:01:33.450 dichtheid op dat punt, of de ruwe dichtheid op precies dat 0:01:33.450,0:01:36.790 punt, keer de differentiaal van het volume rond dat punt, 0:01:36.790,0:01:40.100 keer het volume van deze kleine kleine kubus. 0:01:40.100,0:01:43.140 En dan, zoals we zagen in de laatste video, als je 0:01:43.140,0:01:46.240 rechthoekig coördinaten gebruikt, dan is dit volume differentiaal 0:01:46.240,0:01:50.390 hetzelfde als de afstand x keer de y afstand keer de z afstand. 0:01:50.390,0:01:55.690 Dus, de dichtheid was dat onze dichtheidsfunctie is gedefinieerd 0:01:55.690,0:01:57.730 als x, y, en z, en we wilden uitzoeken wat 0:01:57.730,0:02:01.560 de massa is van dit volume. 0:02:01.560,0:02:04.140 En laten we zeggen dat onze x, y, en z-coördinaten--hun 0:02:04.140,0:02:05.990 waarden, laten we zeggen ze in meter zijn en laten we zeggen dat de 0:02:05.990,0:02:09.340 dichtheid in kilogram per vierkante meter is. 0:02:09.340,0:02:12.270 Ons antwoord is dus in kilogram. 0:02:12.270,0:02:14.480 En dat zijn soort van de traditionele Si-eenheden. 0:02:14.480,0:02:21.210 Dus laten we de massa van dit variabel dichte volume uitzoeken. 0:02:21.210,0:02:24.150 Dus we hebben hier bovenaan hetzelfde integraal. 0:02:26.720,0:02:29.860 Daarom zal het massa differentiaal dus deze waarde hebben, 0:02:29.860,0:02:30.996 dus laten we dat onderaan opschrijven. 0:02:34.850,0:02:38.920 Het is x--ik willen ervoor zorgen dat ik genoeg ruimte heb. 0:02:38.920,0:02:43.390 XYZ keer-- en ik ga het eerst integreren met 0:02:43.390,0:02:45.890 betrekking tot dz. 0:02:45.890,0:02:47.910 Maar de volgorde maakt eigenlijk niet uit. 0:02:47.910,0:02:49.750 Misschien laat ik u dat zien in de volgende video. 0:02:49.750,0:02:55.810 Wij doen eerst dz, daarna dy, en als laatste dx. 0:03:00.120,0:03:02.490 Nogmaals, dit is gewoon de massa op een kleine 0:03:02.490,0:03:04.310 differentieel van volume. 0:03:04.310,0:03:07.760 En als wij eerst met z integreren, wat is het domein van z? 0:03:07.760,0:03:10.770 De grenzen van z waren 0 en 2. 0:03:14.050,0:03:18.255 De grenzen van y waren 0 tot en met 4. 0:03:21.110,0:03:23.890 En de grenzen op x, zijn van 0 tot 3. 0:03:26.750,0:03:27.910 En hoe evalueren we dit? 0:03:27.910,0:03:29.900 Nou, wat is de primitieve--we 0:03:29.900,0:03:31.370 integreren eerst met betrekking tot z. 0:03:31.370,0:03:35.660 Dus wat is de primitieve van xyz met betrekking tot z? 0:03:35.660,0:03:37.080 Nou, dat gaan we nu zien. 0:03:37.080,0:03:45.080 Dit is een constante dus wordt het xyz kwadraat gedeeld door 2. 0:03:45.080,0:03:46.040 Klopt dat? 0:03:46.040,0:03:46.810 Ja, dat klopt. 0:03:46.810,0:03:52.690 En dan evalueren wij dat van 2 tot 0. 0:03:52.690,0:03:54.870 En dan krijg je--ik weet dat ik ruimte gebrek ga krijgen. 0:03:54.870,0:03:59.420 Dus je krijgt 2 kwadraat, dus 4, 0:03:59.420,0:04:00.990 gedeeld door 2, uitkomst is 2. 0:04:00.990,0:04:05.460 Dus het is 2xy minus 0. 0:04:05.460,0:04:09.070 Dus wanneer u alleen dit evalueert krijg je 2xy, en 0:04:09.070,0:04:11.410 nu heb je nog de andere twee integralen over. 0:04:11.410,0:04:13.260 Ik heb de andere twee integralen nog niet uitgeschreven. 0:04:13.260,0:04:13.820 Misschien doe ik dat nu. 0:04:13.820,0:04:16.680 Dus je hebt twee integralen over. 0:04:16.680,0:04:20.660 dy en dx. 0:04:20.660,0:04:28.710 En y gaat van 0 tot 4 en x gaat van 0 tot 3. 0:04:28.710,0:04:30.480 Ik heb zeker te weinig ruimte... 0:04:30.480,0:04:32.200 En nu nemen we hiervan de primitieve 0:04:32.200,0:04:34.110 met betrekking tot y. 0:04:34.110,0:04:36.640 Dus wat is de primitieve van dit met betrekking tot y? 0:04:36.640,0:04:40.240 Laat me wat uitwissen zodat het geen rommel wordt. 0:04:44.230,0:04:46.040 Ik kreeg de zeer goede suggestie om 0:04:46.040,0:04:48.340 naar beneden te scrollen, maar, helaas, heb ik dat 0:04:48.340,0:04:50.090 deze keer niet voldoende gedaan. 0:04:50.090,0:04:54.160 Volgens mij kan ik dit uitwissen. 0:04:54.160,0:04:55.220 Oeps, iets te veel. 0:04:55.220,0:04:56.860 Maar je weet wat ik heb gewist. 0:04:56.860,0:04:58.290 OK, dus laten we eens de primitieve 0:04:58.290,0:04:59.290 met betrekking tot y vinden. 0:04:59.290,0:05:02.640 Ik zal hier boven, waar ik ruimte heb, beginnen. 0:05:02.640,0:05:06.545 OK, dus de primitieve van 2xy met betrekking tot y is 0:05:06.545,0:05:08.430 y kwadraat gedeeld door 2, de 2's strepen we tegen elkaar weg. 0:05:08.430,0:05:09.870 Dus krijg je xy kwadraat. 0:05:13.100,0:05:15.270 En y gaat van 0 tot 4. 0:05:15.270,0:05:18.000 En dan hebben we nog steeds de buitenste integraal te doen. 0:05:18.000,0:05:22.395 x gaat van 0 tot 3 dx. 0:05:22.395,0:05:24.215 En wanneer y gelijk aan 4 is krijg je 16 x. 0:05:27.050,0:05:29.050 En dan wanneer y 0 is het hele ding is 0. 0:05:29.050,0:05:34.300 Dus hebt je 16x geïntegreerd van 0 tot 3 dx. 0:05:34.300,0:05:36.210 En dat is gelijk aan? 0:05:36.210,0:05:39.215 8x tot de macht 2. 0:05:39.215,0:05:42.700 En u het evalueren van 0 tot en met 3. 0:05:42.700,0:05:46.560 Wanneer het 3 is, 8 keer 9 is 72. 0:05:46.560,0:05:49.040 En 0 times 8 is 0. 0:05:49.040,0:05:51.810 Dus de massa van onze figuur--het volume dat we laatst al hadden berekend 0:05:51.810,0:05:53.230 was 24 vierkante meter. 0:05:53.230,0:05:55.160 Ik heb het gewist, maar dat is wat we in de laatste video 0:05:55.160,0:05:56.210 geleerd hebben. 0:05:56.210,0:06:00.570 Maar de massa is 72 kg. 0:06:00.570,0:06:06.420 En we hebben dat gevonden door de integratie van deze 3 variabele dichtheid 0:06:06.420,0:06:08.090 functie--deze functie van 3 variabelen. 0:06:08.090,0:06:10.230 Of in drie dimensies kunt u het bekijken als een 0:06:10.230,0:06:11.440 scalair veld. 0:06:11.440,0:06:13.910 Op elk punt, is er een waarde, maar niet 0:06:13.910,0:06:14.420 echt een richting. 0:06:14.420,0:06:16.020 En die waarde is een dichtheid. 0:06:16.020,0:06:20.540 Maar we hebben de scalair veld in dit volume geïntegreerd. 0:06:20.540,0:06:22.650 Dus dat is de nieuwe vaardigheid die we geleerd hebben met 0:06:22.650,0:06:23.620 de triple integraal. 0:06:23.620,0:06:26.280 In de volgende video zal ik laten zien hoe u meer 0:06:26.280,0:06:27.460 ingewikkelde triple integralen oplost. 0:06:27.460,0:06:29.820 Maar het echte probleem met triple integralen is-- en ik 0:06:29.820,0:06:32.180 denk dat je zult zien dat uw calculus leraar dit vaak zal doen 0:06:32.180,0:06:34.630 --wanneer je werkt met drievoudige integralen, tenzij u een 0:06:34.630,0:06:38.290 zeer gemakkelijk figuur als deze neemt, de evaluatie--als u 0:06:38.290,0:06:41.500 analytisch een drievoudige integraal wilt evalueren die 0:06:41.500,0:06:44.910 ingewikkeldere grenzen heeft, bijvoorbeeld een ingewikkeldere 0:06:44.910,0:06:46.280 dichtheidsfunctie. 0:06:46.280,0:06:48.850 De integraal wordt zeer snel grillig. 0:06:48.850,0:06:52.610 En het is vaak zeer moeilijk of zeer tijdrovend om 0:06:52.610,0:06:55.760 het analytisch te evalueren met behulp van alleen uw traditionele 0:06:55.760,0:06:56.270 calculus vaardigheden. 0:06:56.270,0:06:59.790 Daarom zie je dat op een heleboel calculus examens dat 0:06:59.790,0:07:02.500 je alleen het begin ervan hoeft te doen. 0:07:02.500,0:07:05.520 Zij nemen er je woord voor dat je het vaak genoeg hebt gedaan 0:07:05.520,0:07:07.490 dat je de primitieve kan nemen. 0:07:07.490,0:07:09.820 En soms, als ze je echt iets moeilijker willen geven 0:07:09.820,0:07:12.530 dan vragen ze je de volgorde te wisselen. 0:07:12.530,0:07:14.930 Weet je, dit is de integraal wanneer we oefenen 0:07:14.930,0:07:16.700 ten aanzien van z, dan y, dan x. 0:07:16.700,0:07:18.510 Als oefening kan je de integraal herschrijven 0:07:18.510,0:07:19.730 met veranderde volgorde. 0:07:19.730,0:07:22.700 De uitwerking zal worden gegeven in de volgende video. 0:07:22.700,0:07:24.270 Tot gauw.