1 00:00:00,920 --> 00:00:03,820 In de laatste video, hadden we deze rechthoek, en gebruikten we een driedubbele 2 00:00:03,820 --> 00:00:05,170 integraal om het volume ervan te vinden. 3 00:00:05,170 --> 00:00:08,000 En ik weet dat je waarschijnlijk denkt, oké, maar ik haf ook gewoon 4 00:00:08,000 --> 00:00:12,100 de hoogte kunnen vermenigvuldigen met 5 00:00:12,100 --> 00:00:12,940 de breedte en de diepte. 6 00:00:12,940 --> 00:00:15,720 En dat is waar, want dit was een constante-gewaardeerde functie. 7 00:00:15,720 --> 00:00:18,320 En zodra we integreerden 8 00:00:18,320 --> 00:00:20,630 met betrekking tot z, kregen we een dubbele integraal, en dat is 9 00:00:20,630 --> 00:00:23,840 precies wat we in de afgelopen video's hebben gedaan 10 00:00:23,840 --> 00:00:26,580 toen we het volume onder een oppervlak bespraken. 11 00:00:26,580 --> 00:00:28,560 Maar het einde van de video bevatte iets nieuws. 12 00:00:28,560 --> 00:00:33,000 We zeiden, oké, je had het volume 13 00:00:33,000 --> 00:00:38,160 ook makkelijker kunnen berekenen 14 00:00:38,160 --> 00:00:39,000 met behulp van methoden die je al kent. 15 00:00:39,000 --> 00:00:42,080 Maar wat als ons doel niet is om het volume te berekenen? 16 00:00:42,080 --> 00:00:46,790 Ons doel was om de massa van dit volume te berekenen, en verder, 17 00:00:46,790 --> 00:00:50,240 de stof waarvan we het volume meten--of 18 00:00:50,240 --> 00:00:53,060 het een gas of een volume van een vaste stof is--heeft 19 00:00:53,060 --> 00:00:55,050 geen constante dichtheid. 20 00:00:55,050 --> 00:00:58,080 Dus nu wordt de massa --zeg maar-- 21 00:00:58,080 --> 00:00:59,550 interessant om te berekenen. 22 00:00:59,550 --> 00:01:03,740 En dus, wat we hebben beschreven, namelijk een dichtheidsfunctie. 23 00:01:03,740 --> 00:01:07,770 En rho, de letter die lijkt op een p met een bochtige bodem-- 24 00:01:07,770 --> 00:01:09,855 geeft ons de dichtheid op een bepaald punt. 25 00:01:09,855 --> 00:01:11,370 En aan het einde van de laatste video zeiden wij: 26 00:01:11,370 --> 00:01:12,830 Dus, wat is massa? 27 00:01:12,830 --> 00:01:16,050 Massa is simpelweg dichtheid keer volume. 28 00:01:16,050 --> 00:01:16,750 Maar er is een andere manier om massa te bekijken. 29 00:01:16,750 --> 00:01:21,170 Dichtheid is het zelfde als massa verdeeld door volume. 30 00:01:21,170 --> 00:01:26,630 Dus de massa rond een zeer, zeer kleine punt, en we genoemd dat 31 00:01:26,630 --> 00:01:29,750 d massa, het differentieel van de massa, staat gelijk aan de 32 00:01:29,750 --> 00:01:33,450 dichtheid op dat punt, of de ruwe dichtheid op precies dat 33 00:01:33,450 --> 00:01:36,790 punt, keer de differentiaal van het volume rond dat punt, 34 00:01:36,790 --> 00:01:40,100 keer het volume van deze kleine kleine kubus. 35 00:01:40,100 --> 00:01:43,140 En dan, zoals we zagen in de laatste video, als je 36 00:01:43,140 --> 00:01:46,240 rechthoekig coördinaten gebruikt, dan is dit volume differentiaal 37 00:01:46,240 --> 00:01:50,390 hetzelfde als de afstand x keer de y afstand keer de z afstand. 38 00:01:50,390 --> 00:01:55,690 Dus, de dichtheid was dat onze dichtheidsfunctie is gedefinieerd 39 00:01:55,690 --> 00:01:57,730 als x, y, en z, en we wilden uitzoeken wat 40 00:01:57,730 --> 00:02:01,560 de massa is van dit volume. 41 00:02:01,560 --> 00:02:04,140 En laten we zeggen dat onze x, y, en z-coördinaten--hun 42 00:02:04,140 --> 00:02:05,990 waarden, laten we zeggen ze in meter zijn en laten we zeggen dat de 43 00:02:05,990 --> 00:02:09,340 dichtheid in kilogram per vierkante meter is. 44 00:02:09,340 --> 00:02:12,270 Ons antwoord is dus in kilogram. 45 00:02:12,270 --> 00:02:14,480 En dat zijn soort van de traditionele Si-eenheden. 46 00:02:14,480 --> 00:02:21,210 Dus laten we de massa van dit variabel dichte volume uitzoeken. 47 00:02:21,210 --> 00:02:24,150 Dus we hebben hier bovenaan hetzelfde integraal. 48 00:02:26,720 --> 00:02:29,860 Daarom zal het massa differentiaal dus deze waarde hebben, 49 00:02:29,860 --> 00:02:30,996 dus laten we dat onderaan opschrijven. 50 00:02:34,850 --> 00:02:38,920 Het is x--ik willen ervoor zorgen dat ik genoeg ruimte heb. 51 00:02:38,920 --> 00:02:43,390 XYZ keer-- en ik ga het eerst integreren met 52 00:02:43,390 --> 00:02:45,890 betrekking tot dz. 53 00:02:45,890 --> 00:02:47,910 Maar de volgorde maakt eigenlijk niet uit. 54 00:02:47,910 --> 00:02:49,750 Misschien laat ik u dat zien in de volgende video. 55 00:02:49,750 --> 00:02:55,810 Wij doen eerst dz, daarna dy, en als laatste dx. 56 00:03:00,120 --> 00:03:02,490 Nogmaals, dit is gewoon de massa op een kleine 57 00:03:02,490 --> 00:03:04,310 differentieel van volume. 58 00:03:04,310 --> 00:03:07,760 En als wij eerst met z integreren, wat is het domein van z? 59 00:03:07,760 --> 00:03:10,770 De grenzen van z waren 0 en 2. 60 00:03:14,050 --> 00:03:18,255 De grenzen van y waren 0 tot en met 4. 61 00:03:21,110 --> 00:03:23,890 En de grenzen op x, zijn van 0 tot 3. 62 00:03:26,750 --> 00:03:27,910 En hoe evalueren we dit? 63 00:03:27,910 --> 00:03:29,900 Nou, wat is de primitieve--we 64 00:03:29,900 --> 00:03:31,370 integreren eerst met betrekking tot z. 65 00:03:31,370 --> 00:03:35,660 Dus wat is de primitieve van xyz met betrekking tot z? 66 00:03:35,660 --> 00:03:37,080 Nou, dat gaan we nu zien. 67 00:03:37,080 --> 00:03:45,080 Dit is een constante dus wordt het xyz kwadraat gedeeld door 2. 68 00:03:45,080 --> 00:03:46,040 Klopt dat? 69 00:03:46,040 --> 00:03:46,810 Ja, dat klopt. 70 00:03:46,810 --> 00:03:52,690 En dan evalueren wij dat van 2 tot 0. 71 00:03:52,690 --> 00:03:54,870 En dan krijg je--ik weet dat ik ruimte gebrek ga krijgen. 72 00:03:54,870 --> 00:03:59,420 Dus je krijgt 2 kwadraat, dus 4, 73 00:03:59,420 --> 00:04:00,990 gedeeld door 2, uitkomst is 2. 74 00:04:00,990 --> 00:04:05,460 Dus het is 2xy minus 0. 75 00:04:05,460 --> 00:04:09,070 Dus wanneer u alleen dit evalueert krijg je 2xy, en 76 00:04:09,070 --> 00:04:11,410 nu heb je nog de andere twee integralen over. 77 00:04:11,410 --> 00:04:13,260 Ik heb de andere twee integralen nog niet uitgeschreven. 78 00:04:13,260 --> 00:04:13,820 Misschien doe ik dat nu. 79 00:04:13,820 --> 00:04:16,680 Dus je hebt twee integralen over. 80 00:04:16,680 --> 00:04:20,660 dy en dx. 81 00:04:20,660 --> 00:04:28,710 En y gaat van 0 tot 4 en x gaat van 0 tot 3. 82 00:04:28,710 --> 00:04:30,480 Ik heb zeker te weinig ruimte... 83 00:04:30,480 --> 00:04:32,200 En nu nemen we hiervan de primitieve 84 00:04:32,200 --> 00:04:34,110 met betrekking tot y. 85 00:04:34,110 --> 00:04:36,640 Dus wat is de primitieve van dit met betrekking tot y? 86 00:04:36,640 --> 00:04:40,240 Laat me wat uitwissen zodat het geen rommel wordt. 87 00:04:44,230 --> 00:04:46,040 Ik kreeg de zeer goede suggestie om 88 00:04:46,040 --> 00:04:48,340 naar beneden te scrollen, maar, helaas, heb ik dat 89 00:04:48,340 --> 00:04:50,090 deze keer niet voldoende gedaan. 90 00:04:50,090 --> 00:04:54,160 Volgens mij kan ik dit uitwissen. 91 00:04:54,160 --> 00:04:55,220 Oeps, iets te veel. 92 00:04:55,220 --> 00:04:56,860 Maar je weet wat ik heb gewist. 93 00:04:56,860 --> 00:04:58,290 OK, dus laten we eens de primitieve 94 00:04:58,290 --> 00:04:59,290 met betrekking tot y vinden. 95 00:04:59,290 --> 00:05:02,640 Ik zal hier boven, waar ik ruimte heb, beginnen. 96 00:05:02,640 --> 00:05:06,545 OK, dus de primitieve van 2xy met betrekking tot y is 97 00:05:06,545 --> 00:05:08,430 y kwadraat gedeeld door 2, de 2's strepen we tegen elkaar weg. 98 00:05:08,430 --> 00:05:09,870 Dus krijg je xy kwadraat. 99 00:05:13,100 --> 00:05:15,270 En y gaat van 0 tot 4. 100 00:05:15,270 --> 00:05:18,000 En dan hebben we nog steeds de buitenste integraal te doen. 101 00:05:18,000 --> 00:05:22,395 x gaat van 0 tot 3 dx. 102 00:05:22,395 --> 00:05:24,215 En wanneer y gelijk aan 4 is krijg je 16 x. 103 00:05:27,050 --> 00:05:29,050 En dan wanneer y 0 is het hele ding is 0. 104 00:05:29,050 --> 00:05:34,300 Dus hebt je 16x geïntegreerd van 0 tot 3 dx. 105 00:05:34,300 --> 00:05:36,210 En dat is gelijk aan? 106 00:05:36,210 --> 00:05:39,215 8x tot de macht 2. 107 00:05:39,215 --> 00:05:42,700 En u het evalueren van 0 tot en met 3. 108 00:05:42,700 --> 00:05:46,560 Wanneer het 3 is, 8 keer 9 is 72. 109 00:05:46,560 --> 00:05:49,040 En 0 times 8 is 0. 110 00:05:49,040 --> 00:05:51,810 Dus de massa van onze figuur--het volume dat we laatst al hadden berekend 111 00:05:51,810 --> 00:05:53,230 was 24 vierkante meter. 112 00:05:53,230 --> 00:05:55,160 Ik heb het gewist, maar dat is wat we in de laatste video 113 00:05:55,160 --> 00:05:56,210 geleerd hebben. 114 00:05:56,210 --> 00:06:00,570 Maar de massa is 72 kg. 115 00:06:00,570 --> 00:06:06,420 En we hebben dat gevonden door de integratie van deze 3 variabele dichtheid 116 00:06:06,420 --> 00:06:08,090 functie--deze functie van 3 variabelen. 117 00:06:08,090 --> 00:06:10,230 Of in drie dimensies kunt u het bekijken als een 118 00:06:10,230 --> 00:06:11,440 scalair veld. 119 00:06:11,440 --> 00:06:13,910 Op elk punt, is er een waarde, maar niet 120 00:06:13,910 --> 00:06:14,420 echt een richting. 121 00:06:14,420 --> 00:06:16,020 En die waarde is een dichtheid. 122 00:06:16,020 --> 00:06:20,540 Maar we hebben de scalair veld in dit volume geïntegreerd. 123 00:06:20,540 --> 00:06:22,650 Dus dat is de nieuwe vaardigheid die we geleerd hebben met 124 00:06:22,650 --> 00:06:23,620 de triple integraal. 125 00:06:23,620 --> 00:06:26,280 In de volgende video zal ik laten zien hoe u meer 126 00:06:26,280 --> 00:06:27,460 ingewikkelde triple integralen oplost. 127 00:06:27,460 --> 00:06:29,820 Maar het echte probleem met triple integralen is-- en ik 128 00:06:29,820 --> 00:06:32,180 denk dat je zult zien dat uw calculus leraar dit vaak zal doen 129 00:06:32,180 --> 00:06:34,630 --wanneer je werkt met drievoudige integralen, tenzij u een 130 00:06:34,630 --> 00:06:38,290 zeer gemakkelijk figuur als deze neemt, de evaluatie--als u 131 00:06:38,290 --> 00:06:41,500 analytisch een drievoudige integraal wilt evalueren die 132 00:06:41,500 --> 00:06:44,910 ingewikkeldere grenzen heeft, bijvoorbeeld een ingewikkeldere 133 00:06:44,910 --> 00:06:46,280 dichtheidsfunctie. 134 00:06:46,280 --> 00:06:48,850 De integraal wordt zeer snel grillig. 135 00:06:48,850 --> 00:06:52,610 En het is vaak zeer moeilijk of zeer tijdrovend om 136 00:06:52,610 --> 00:06:55,760 het analytisch te evalueren met behulp van alleen uw traditionele 137 00:06:55,760 --> 00:06:56,270 calculus vaardigheden. 138 00:06:56,270 --> 00:06:59,790 Daarom zie je dat op een heleboel calculus examens dat 139 00:06:59,790 --> 00:07:02,500 je alleen het begin ervan hoeft te doen. 140 00:07:02,500 --> 00:07:05,520 Zij nemen er je woord voor dat je het vaak genoeg hebt gedaan 141 00:07:05,520 --> 00:07:07,490 dat je de primitieve kan nemen. 142 00:07:07,490 --> 00:07:09,820 En soms, als ze je echt iets moeilijker willen geven 143 00:07:09,820 --> 00:07:12,530 dan vragen ze je de volgorde te wisselen. 144 00:07:12,530 --> 00:07:14,930 Weet je, dit is de integraal wanneer we oefenen 145 00:07:14,930 --> 00:07:16,700 ten aanzien van z, dan y, dan x. 146 00:07:16,700 --> 00:07:18,510 Als oefening kan je de integraal herschrijven 147 00:07:18,510 --> 00:07:19,730 met veranderde volgorde. 148 00:07:19,730 --> 00:07:22,700 De uitwerking zal worden gegeven in de volgende video. 149 00:07:22,700 --> 00:07:24,270 Tot gauw.