[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.92,0:00:03.82,Default,,0000,0000,0000,,In de laatste video, hadden we deze rechthoek, en gebruikten we een driedubbele
Dialogue: 0,0:00:03.82,0:00:05.17,Default,,0000,0000,0000,,integraal om het volume ervan te vinden.
Dialogue: 0,0:00:05.17,0:00:08.00,Default,,0000,0000,0000,,En ik weet dat je waarschijnlijk denkt, oké, maar ik haf ook gewoon
Dialogue: 0,0:00:08.00,0:00:12.10,Default,,0000,0000,0000,,de hoogte kunnen vermenigvuldigen met
Dialogue: 0,0:00:12.10,0:00:12.94,Default,,0000,0000,0000,,de breedte en de diepte.
Dialogue: 0,0:00:12.94,0:00:15.72,Default,,0000,0000,0000,,En dat is waar, want dit was een constante-gewaardeerde functie.
Dialogue: 0,0:00:15.72,0:00:18.32,Default,,0000,0000,0000,,En zodra we integreerden
Dialogue: 0,0:00:18.32,0:00:20.63,Default,,0000,0000,0000,,met betrekking tot z, kregen we een dubbele integraal, en dat is
Dialogue: 0,0:00:20.63,0:00:23.84,Default,,0000,0000,0000,,precies wat we in de afgelopen video's hebben gedaan
Dialogue: 0,0:00:23.84,0:00:26.58,Default,,0000,0000,0000,,toen we het volume onder een oppervlak bespraken.
Dialogue: 0,0:00:26.58,0:00:28.56,Default,,0000,0000,0000,,Maar het einde van de video bevatte iets nieuws.
Dialogue: 0,0:00:28.56,0:00:33.00,Default,,0000,0000,0000,,We zeiden, oké, je had het volume
Dialogue: 0,0:00:33.00,0:00:38.16,Default,,0000,0000,0000,,ook makkelijker kunnen berekenen
Dialogue: 0,0:00:38.16,0:00:39.00,Default,,0000,0000,0000,,met behulp van methoden die je al kent.
Dialogue: 0,0:00:39.00,0:00:42.08,Default,,0000,0000,0000,,Maar wat als ons doel niet is om het volume te berekenen?
Dialogue: 0,0:00:42.08,0:00:46.79,Default,,0000,0000,0000,,Ons doel was om de massa van dit volume te berekenen, en verder,
Dialogue: 0,0:00:46.79,0:00:50.24,Default,,0000,0000,0000,,de stof waarvan we het volume meten--of
Dialogue: 0,0:00:50.24,0:00:53.06,Default,,0000,0000,0000,,het een gas of een volume van een vaste stof is--heeft
Dialogue: 0,0:00:53.06,0:00:55.05,Default,,0000,0000,0000,,geen constante dichtheid.
Dialogue: 0,0:00:55.05,0:00:58.08,Default,,0000,0000,0000,,Dus nu wordt de massa --zeg maar--
Dialogue: 0,0:00:58.08,0:00:59.55,Default,,0000,0000,0000,,interessant om te berekenen.
Dialogue: 0,0:00:59.55,0:01:03.74,Default,,0000,0000,0000,,En dus, wat we hebben beschreven, namelijk een dichtheidsfunctie.
Dialogue: 0,0:01:03.74,0:01:07.77,Default,,0000,0000,0000,,En rho, de letter die lijkt op een p met een bochtige bodem--
Dialogue: 0,0:01:07.77,0:01:09.86,Default,,0000,0000,0000,,geeft ons de dichtheid op een bepaald punt.
Dialogue: 0,0:01:09.86,0:01:11.37,Default,,0000,0000,0000,,En aan het einde van de laatste video zeiden wij:
Dialogue: 0,0:01:11.37,0:01:12.83,Default,,0000,0000,0000,,Dus, wat is massa?
Dialogue: 0,0:01:12.83,0:01:16.05,Default,,0000,0000,0000,,Massa is simpelweg dichtheid keer volume.
Dialogue: 0,0:01:16.05,0:01:16.75,Default,,0000,0000,0000,,Maar er is een andere manier om massa te bekijken.
Dialogue: 0,0:01:16.75,0:01:21.17,Default,,0000,0000,0000,,Dichtheid is het zelfde als massa verdeeld door volume.
Dialogue: 0,0:01:21.17,0:01:26.63,Default,,0000,0000,0000,,Dus de massa rond een zeer, zeer kleine punt, en we genoemd dat
Dialogue: 0,0:01:26.63,0:01:29.75,Default,,0000,0000,0000,,d massa, het differentieel van de massa, staat gelijk aan de
Dialogue: 0,0:01:29.75,0:01:33.45,Default,,0000,0000,0000,,dichtheid op dat punt, of de ruwe dichtheid op precies dat
Dialogue: 0,0:01:33.45,0:01:36.79,Default,,0000,0000,0000,,punt, keer de differentiaal van het volume rond dat punt,
Dialogue: 0,0:01:36.79,0:01:40.10,Default,,0000,0000,0000,,keer het volume van deze kleine kleine kubus.
Dialogue: 0,0:01:40.10,0:01:43.14,Default,,0000,0000,0000,,En dan, zoals we zagen in de laatste video, als je
Dialogue: 0,0:01:43.14,0:01:46.24,Default,,0000,0000,0000,,rechthoekig coördinaten gebruikt, dan is dit volume differentiaal
Dialogue: 0,0:01:46.24,0:01:50.39,Default,,0000,0000,0000,,hetzelfde als de afstand x keer de y afstand keer de z afstand.
Dialogue: 0,0:01:50.39,0:01:55.69,Default,,0000,0000,0000,,Dus, de dichtheid was dat onze dichtheidsfunctie is gedefinieerd
Dialogue: 0,0:01:55.69,0:01:57.73,Default,,0000,0000,0000,,als x, y, en z, en we wilden uitzoeken wat
Dialogue: 0,0:01:57.73,0:02:01.56,Default,,0000,0000,0000,,de massa is van dit volume.
Dialogue: 0,0:02:01.56,0:02:04.14,Default,,0000,0000,0000,,En laten we zeggen dat onze x, y, en z-coördinaten--hun
Dialogue: 0,0:02:04.14,0:02:05.99,Default,,0000,0000,0000,,waarden, laten we zeggen ze in meter zijn en laten we zeggen dat de
Dialogue: 0,0:02:05.99,0:02:09.34,Default,,0000,0000,0000,,dichtheid in kilogram per vierkante meter is.
Dialogue: 0,0:02:09.34,0:02:12.27,Default,,0000,0000,0000,,Ons antwoord is dus in kilogram.
Dialogue: 0,0:02:12.27,0:02:14.48,Default,,0000,0000,0000,,En dat zijn soort van de traditionele Si-eenheden.
Dialogue: 0,0:02:14.48,0:02:21.21,Default,,0000,0000,0000,,Dus laten we de massa van dit variabel dichte volume uitzoeken.
Dialogue: 0,0:02:21.21,0:02:24.15,Default,,0000,0000,0000,,Dus we hebben hier bovenaan hetzelfde integraal.
Dialogue: 0,0:02:26.72,0:02:29.86,Default,,0000,0000,0000,,Daarom zal het massa differentiaal dus deze waarde hebben,
Dialogue: 0,0:02:29.86,0:02:30.100,Default,,0000,0000,0000,,dus laten we dat onderaan opschrijven.
Dialogue: 0,0:02:34.85,0:02:38.92,Default,,0000,0000,0000,,Het is x--ik willen ervoor zorgen dat ik genoeg ruimte heb.
Dialogue: 0,0:02:38.92,0:02:43.39,Default,,0000,0000,0000,,XYZ keer-- en ik ga het eerst integreren met
Dialogue: 0,0:02:43.39,0:02:45.89,Default,,0000,0000,0000,,betrekking tot dz.
Dialogue: 0,0:02:45.89,0:02:47.91,Default,,0000,0000,0000,,Maar de volgorde maakt eigenlijk niet uit.
Dialogue: 0,0:02:47.91,0:02:49.75,Default,,0000,0000,0000,,Misschien laat ik u dat zien in de volgende video.
Dialogue: 0,0:02:49.75,0:02:55.81,Default,,0000,0000,0000,,Wij doen eerst dz, daarna dy, en als laatste dx.
Dialogue: 0,0:03:00.12,0:03:02.49,Default,,0000,0000,0000,,Nogmaals, dit is gewoon de massa op een kleine
Dialogue: 0,0:03:02.49,0:03:04.31,Default,,0000,0000,0000,,differentieel van volume.
Dialogue: 0,0:03:04.31,0:03:07.76,Default,,0000,0000,0000,,En als wij eerst met z integreren, wat is het domein van z?
Dialogue: 0,0:03:07.76,0:03:10.77,Default,,0000,0000,0000,,De grenzen van z waren 0 en 2.
Dialogue: 0,0:03:14.05,0:03:18.26,Default,,0000,0000,0000,,De grenzen van y waren 0 tot en met 4.
Dialogue: 0,0:03:21.11,0:03:23.89,Default,,0000,0000,0000,,En de grenzen op x, zijn van 0 tot 3.
Dialogue: 0,0:03:26.75,0:03:27.91,Default,,0000,0000,0000,,En hoe evalueren we dit?
Dialogue: 0,0:03:27.91,0:03:29.90,Default,,0000,0000,0000,,Nou, wat is de primitieve--we
Dialogue: 0,0:03:29.90,0:03:31.37,Default,,0000,0000,0000,,integreren eerst met betrekking tot z.
Dialogue: 0,0:03:31.37,0:03:35.66,Default,,0000,0000,0000,,Dus wat is de primitieve van xyz met betrekking tot z?
Dialogue: 0,0:03:35.66,0:03:37.08,Default,,0000,0000,0000,,Nou, dat gaan we nu zien.
Dialogue: 0,0:03:37.08,0:03:45.08,Default,,0000,0000,0000,,Dit is een constante dus wordt het xyz kwadraat gedeeld door 2.
Dialogue: 0,0:03:45.08,0:03:46.04,Default,,0000,0000,0000,,Klopt dat?
Dialogue: 0,0:03:46.04,0:03:46.81,Default,,0000,0000,0000,,Ja, dat klopt.
Dialogue: 0,0:03:46.81,0:03:52.69,Default,,0000,0000,0000,,En dan evalueren wij dat van 2 tot 0.
Dialogue: 0,0:03:52.69,0:03:54.87,Default,,0000,0000,0000,,En dan krijg je--ik weet dat ik ruimte gebrek ga krijgen.
Dialogue: 0,0:03:54.87,0:03:59.42,Default,,0000,0000,0000,,Dus je krijgt 2 kwadraat, dus 4,
Dialogue: 0,0:03:59.42,0:04:00.99,Default,,0000,0000,0000,,gedeeld door 2, uitkomst is 2.
Dialogue: 0,0:04:00.99,0:04:05.46,Default,,0000,0000,0000,,Dus het is 2xy minus 0.
Dialogue: 0,0:04:05.46,0:04:09.07,Default,,0000,0000,0000,,Dus wanneer u alleen dit evalueert krijg je 2xy, en
Dialogue: 0,0:04:09.07,0:04:11.41,Default,,0000,0000,0000,,nu heb je nog de andere twee integralen over.
Dialogue: 0,0:04:11.41,0:04:13.26,Default,,0000,0000,0000,,Ik heb de andere twee integralen nog niet uitgeschreven.
Dialogue: 0,0:04:13.26,0:04:13.82,Default,,0000,0000,0000,,Misschien doe ik dat nu.
Dialogue: 0,0:04:13.82,0:04:16.68,Default,,0000,0000,0000,,Dus je hebt twee integralen over.
Dialogue: 0,0:04:16.68,0:04:20.66,Default,,0000,0000,0000,,dy en dx.
Dialogue: 0,0:04:20.66,0:04:28.71,Default,,0000,0000,0000,,En y gaat van 0 tot 4 en x gaat van 0 tot 3.
Dialogue: 0,0:04:28.71,0:04:30.48,Default,,0000,0000,0000,,Ik heb zeker te weinig ruimte...
Dialogue: 0,0:04:30.48,0:04:32.20,Default,,0000,0000,0000,,En nu nemen we hiervan de primitieve
Dialogue: 0,0:04:32.20,0:04:34.11,Default,,0000,0000,0000,,met betrekking tot y.
Dialogue: 0,0:04:34.11,0:04:36.64,Default,,0000,0000,0000,,Dus wat is de primitieve van dit met betrekking tot y?
Dialogue: 0,0:04:36.64,0:04:40.24,Default,,0000,0000,0000,,Laat me wat uitwissen zodat het geen rommel wordt.
Dialogue: 0,0:04:44.23,0:04:46.04,Default,,0000,0000,0000,,Ik kreeg de zeer goede suggestie om
Dialogue: 0,0:04:46.04,0:04:48.34,Default,,0000,0000,0000,,naar beneden te scrollen, maar, helaas, heb ik dat
Dialogue: 0,0:04:48.34,0:04:50.09,Default,,0000,0000,0000,,deze keer niet voldoende gedaan.
Dialogue: 0,0:04:50.09,0:04:54.16,Default,,0000,0000,0000,,Volgens mij kan ik dit uitwissen.
Dialogue: 0,0:04:54.16,0:04:55.22,Default,,0000,0000,0000,,Oeps, iets te veel.
Dialogue: 0,0:04:55.22,0:04:56.86,Default,,0000,0000,0000,,Maar je weet wat ik heb gewist.
Dialogue: 0,0:04:56.86,0:04:58.29,Default,,0000,0000,0000,,OK, dus laten we eens de primitieve
Dialogue: 0,0:04:58.29,0:04:59.29,Default,,0000,0000,0000,,met betrekking tot y vinden.
Dialogue: 0,0:04:59.29,0:05:02.64,Default,,0000,0000,0000,,Ik zal hier boven, waar ik ruimte heb, beginnen.
Dialogue: 0,0:05:02.64,0:05:06.54,Default,,0000,0000,0000,,OK, dus de primitieve van 2xy met betrekking tot y is
Dialogue: 0,0:05:06.54,0:05:08.43,Default,,0000,0000,0000,,y kwadraat gedeeld door 2, de 2's strepen we tegen elkaar weg.
Dialogue: 0,0:05:08.43,0:05:09.87,Default,,0000,0000,0000,,Dus krijg je xy kwadraat.
Dialogue: 0,0:05:13.10,0:05:15.27,Default,,0000,0000,0000,,En y gaat van 0 tot 4.
Dialogue: 0,0:05:15.27,0:05:18.00,Default,,0000,0000,0000,,En dan hebben we nog steeds de buitenste integraal te doen.
Dialogue: 0,0:05:18.00,0:05:22.40,Default,,0000,0000,0000,,x gaat van 0 tot 3 dx.
Dialogue: 0,0:05:22.40,0:05:24.22,Default,,0000,0000,0000,,En wanneer y gelijk aan 4 is krijg je 16 x.
Dialogue: 0,0:05:27.05,0:05:29.05,Default,,0000,0000,0000,,En dan wanneer y 0 is het hele ding is 0.
Dialogue: 0,0:05:29.05,0:05:34.30,Default,,0000,0000,0000,,Dus hebt je 16x geïntegreerd van 0 tot 3 dx.
Dialogue: 0,0:05:34.30,0:05:36.21,Default,,0000,0000,0000,,En dat is gelijk aan?
Dialogue: 0,0:05:36.21,0:05:39.22,Default,,0000,0000,0000,,8x tot de macht 2.
Dialogue: 0,0:05:39.22,0:05:42.70,Default,,0000,0000,0000,,En u het evalueren van 0 tot en met 3.
Dialogue: 0,0:05:42.70,0:05:46.56,Default,,0000,0000,0000,,Wanneer het 3 is, 8 keer 9 is 72.
Dialogue: 0,0:05:46.56,0:05:49.04,Default,,0000,0000,0000,,En 0 times 8 is 0.
Dialogue: 0,0:05:49.04,0:05:51.81,Default,,0000,0000,0000,,Dus de massa van onze figuur--het volume dat we laatst al hadden berekend
Dialogue: 0,0:05:51.81,0:05:53.23,Default,,0000,0000,0000,,was 24 vierkante meter.
Dialogue: 0,0:05:53.23,0:05:55.16,Default,,0000,0000,0000,,Ik heb het gewist, maar dat is wat we in de laatste video
Dialogue: 0,0:05:55.16,0:05:56.21,Default,,0000,0000,0000,,geleerd hebben.
Dialogue: 0,0:05:56.21,0:06:00.57,Default,,0000,0000,0000,,Maar de massa is 72 kg.
Dialogue: 0,0:06:00.57,0:06:06.42,Default,,0000,0000,0000,,En we hebben dat gevonden door de integratie van deze 3 variabele dichtheid
Dialogue: 0,0:06:06.42,0:06:08.09,Default,,0000,0000,0000,,functie--deze functie van 3 variabelen.
Dialogue: 0,0:06:08.09,0:06:10.23,Default,,0000,0000,0000,,Of in drie dimensies kunt u het bekijken als een
Dialogue: 0,0:06:10.23,0:06:11.44,Default,,0000,0000,0000,,scalair veld.
Dialogue: 0,0:06:11.44,0:06:13.91,Default,,0000,0000,0000,,Op elk punt, is er een waarde, maar niet
Dialogue: 0,0:06:13.91,0:06:14.42,Default,,0000,0000,0000,,echt een richting.
Dialogue: 0,0:06:14.42,0:06:16.02,Default,,0000,0000,0000,,En die waarde is een dichtheid.
Dialogue: 0,0:06:16.02,0:06:20.54,Default,,0000,0000,0000,,Maar we hebben de scalair veld in dit volume geïntegreerd.
Dialogue: 0,0:06:20.54,0:06:22.65,Default,,0000,0000,0000,,Dus dat is de nieuwe vaardigheid die we geleerd hebben met
Dialogue: 0,0:06:22.65,0:06:23.62,Default,,0000,0000,0000,,de triple integraal.
Dialogue: 0,0:06:23.62,0:06:26.28,Default,,0000,0000,0000,,In de volgende video zal ik laten zien hoe u meer
Dialogue: 0,0:06:26.28,0:06:27.46,Default,,0000,0000,0000,,ingewikkelde triple integralen oplost.
Dialogue: 0,0:06:27.46,0:06:29.82,Default,,0000,0000,0000,,Maar het echte probleem met triple integralen is-- en ik
Dialogue: 0,0:06:29.82,0:06:32.18,Default,,0000,0000,0000,,denk dat je zult zien dat uw calculus leraar dit vaak zal doen
Dialogue: 0,0:06:32.18,0:06:34.63,Default,,0000,0000,0000,,--wanneer je werkt met drievoudige integralen, tenzij u een
Dialogue: 0,0:06:34.63,0:06:38.29,Default,,0000,0000,0000,,zeer gemakkelijk figuur als deze neemt, de evaluatie--als u
Dialogue: 0,0:06:38.29,0:06:41.50,Default,,0000,0000,0000,,analytisch een drievoudige integraal wilt evalueren die
Dialogue: 0,0:06:41.50,0:06:44.91,Default,,0000,0000,0000,,ingewikkeldere grenzen heeft, bijvoorbeeld een ingewikkeldere
Dialogue: 0,0:06:44.91,0:06:46.28,Default,,0000,0000,0000,,dichtheidsfunctie.
Dialogue: 0,0:06:46.28,0:06:48.85,Default,,0000,0000,0000,,De integraal wordt zeer snel grillig.
Dialogue: 0,0:06:48.85,0:06:52.61,Default,,0000,0000,0000,,En het is vaak zeer moeilijk of zeer tijdrovend om
Dialogue: 0,0:06:52.61,0:06:55.76,Default,,0000,0000,0000,,het analytisch te evalueren met behulp van alleen uw traditionele
Dialogue: 0,0:06:55.76,0:06:56.27,Default,,0000,0000,0000,,calculus vaardigheden.
Dialogue: 0,0:06:56.27,0:06:59.79,Default,,0000,0000,0000,,Daarom zie je dat op een heleboel calculus examens dat
Dialogue: 0,0:06:59.79,0:07:02.50,Default,,0000,0000,0000,,je alleen het begin ervan hoeft te doen.
Dialogue: 0,0:07:02.50,0:07:05.52,Default,,0000,0000,0000,,Zij nemen er je woord voor dat je het vaak genoeg hebt gedaan
Dialogue: 0,0:07:05.52,0:07:07.49,Default,,0000,0000,0000,,dat je de primitieve kan nemen.
Dialogue: 0,0:07:07.49,0:07:09.82,Default,,0000,0000,0000,,En soms, als ze je echt iets moeilijker willen geven
Dialogue: 0,0:07:09.82,0:07:12.53,Default,,0000,0000,0000,,dan vragen ze je de volgorde te wisselen.
Dialogue: 0,0:07:12.53,0:07:14.93,Default,,0000,0000,0000,,Weet je, dit is de integraal wanneer we oefenen
Dialogue: 0,0:07:14.93,0:07:16.70,Default,,0000,0000,0000,,ten aanzien van z, dan y, dan x.
Dialogue: 0,0:07:16.70,0:07:18.51,Default,,0000,0000,0000,,Als oefening kan je de integraal herschrijven
Dialogue: 0,0:07:18.51,0:07:19.73,Default,,0000,0000,0000,,met veranderde volgorde.
Dialogue: 0,0:07:19.73,0:07:22.70,Default,,0000,0000,0000,,De uitwerking zal worden gegeven in de volgende video.
Dialogue: 0,0:07:22.70,0:07:24.27,Default,,0000,0000,0000,,Tot gauw.