-
W ostatnim nagraniu wzięliśmy
ten prostokąt i użyliśmy całki
potrójnej do znalezienia jego objętości.
Wiem, że prawdopodobnie
pomyślałeś sobie: przecież mogłem
po prostu użyć elementarnej geometrii
i pomnożyć wysokość razy
szerokość razy głębokość.
I masz rację, ponieważ była to
funkcja o wartości stałej.
Następnie jeszcze raz liczyliśmy,
całkowaliśmy
względem z i skończyliśmy
z całką podwójną, co
jest dokładnie tym co robiliśmy
w kilku ostatnich nagraniach,
kiedy to uczyliśmy się o
objętości pod powierzchnią.
Jednakże później nastąpił moment
zwrotny na końcu nagrania.
W porządku, byłeś w stanie obliczyć objętość
prostokątnego obszaru bezpośrednio,
wykorzystując rzeczy, które już znasz.
Ale co jeśli naszym celem nie jest
wyliczenie objętości?
Naszym celem było wyliczenie
masy tej objętości, a nawet
więcej, masy substancji,
której używamy. Czy to
objętość gazu czy ciała stałego.
Jego gęstość nie jest stała.
Więc teraz masa staje się poniekąd...
jakby to powiedzieć...
czymś interesującym do obliczenia.
I tak, to co zdefiniowaliśmy
to funkcja gęstości.
No i ro, przypominające literkę p
z wygiętym dołem,
która określa nam gęstość
w danym punkcie.
Na końcu ostatniego nagrania
wspomnieliśmy o tym
czym jest masa.
Masa to po prostu gęstość razy objętość.
Można patrzeć na to w inny sposób.
Gęstość to to samo co masa
dzielona przez objętość.
Zatem masa wokół bardzo
małego punktu, który zwiemy
d masą, różniczka masy, równa się
gęstości w tym punkcie lub przybliżonej
gęstości dokładnie w tym
punkcie, razy różniczka objętości
wokół tego punktu,
razy objętość tego małego sześcianu.
Później, tak jak to było w ostatnim
nagraniu, jeśli używasz
współrzędnych prostokątnych, to tę
różniczkę objętości można by
obliczyć wzorem odległość x razy
odległość y razy odległość z.
Zatem gęstość zdefiniowana jest
jako x, y i z, a my chcieliśmy znaleźć
masę tej objętości.
Powiedzmy, że nasze współrzędne
x, y i z – ich
wartości, powiedzmy, że są w metrach,
a gęstość w kilogramach na metr sześcienny.
Więc w tym przypadku nasz wynik
będzie w kilogramach.
A to są tradycyjne jednostki układu Si.
Obliczmy zatem masę tej
objętości o zmiennej gęstości.
Więc wszystko co musimy
zrobić to całkowanie.
-
Różniczka masy będzie
miała tę wartość,
zatem zapiszmy to.
-
To jest x... Upewnię się, że
wystarczy mi miejsca.
xyz razy... scałkuję to
najpierw względem dz.
Ale sam możesz zamienić kolejność.
Zrobimy to może w następnym nagraniu.
Najpierw zrobimy dz, później dy,
a na końcu dx.
-
Raz jeszcze, to jest po prostu
masa w każdej małej
różniczce objętości.
Jeśli scałkujemy najpierw z,
z będzie skąd?
Granice dla z oznaczone od 0 do 2.
-
Granice dla y oznaczone od 0 do 4.
-
A granice dla x,
x przebiega od 0 do 3.
-
Jak to obliczamy?
Cóż, jaka jest funkcja pierwotna?
Najpierw całkujemy względem z.
Więc co jest funkcją pierwotną
xyz względem z?
Zobaczmy.
To jest tylko stała, więc to
będzie xyz^2 dzielone przez 2.
Dobrze?
Tak, jest dobrze.
Teraz obliczymy to od 2 do 0.
Otrzymamy... Wiem,
kończy mi się miejsce.
Otrzymamy 2 do kwadratu co daje 4,
podzielić przez 2, co daje 2.
Więc to będzie 2xy odjąć 0
Więc kiedy to obliczysz, otrzymasz 2xy
i teraz zostają Ci jeszcze dwie całki.
Nie zapisałem pozostałych dwóch całek.
Może je zapiszę.
Zostały Ci dwie całki.
Zostało Ci dy i dx.
y idzie od 0 do 4, a x od 0 do 3.
Na pewno nie starczy mi miejsca.
Teraz bierzesz funkcję pierwotną
względem y.
Więc jaka będzie funkcja
pierwotna względem y?
Pozwól, że wytrę trochę,
żebym się nie pogubił.
-
Doradzano mi żebym to przewijał,
no ale niestety za dużo tym razem
nie przewijałem.
Mogę to usunąć, tak myślę.
Ups, usunąłem trochę tego.
Ale wiesz co dokładnie wymazałem.
Dobra, weźmy funkcję pierwotną
względem y.
Zacznę tu gdzie mam wolne miejsce.
Dobra, więc funkcja pierwotna
2xy względem y to
y^2 dzielone przez 2,
dwójki wykreślamy.
Wychodzi xy^2.
-
A y idzie od 0 do 4.
Później mamy jeszcze do
obliczenia zewnętrzną całkę.
x oznaczone od 0 do 3 dx.
Jeśli y równa się 4, to
otrzymujesz 16x.
-
Później jeśli y równe jest 0,
to całość równa się 0.
Otrzymujesz całkę z 16x
od 0 do 3 dx.
A to równa się czemu?
8x^2.
Obliczasz to od 0 do 3.
Kiedy x równa się 3, to
dostajemy 8 razy 9, czyli 72.
A 0 razy 8 równa się 0.
Więc masa naszej figury...
Objętość jaką obliczyliśmy
ostatnim razem wynosiła
24 metry sześcienne.
Wytarłem to, ale jeśli
oglądałeś ostatnie nagranie,
to było to czego się nauczyliśmy.
Ale jego masa wynosi 72 kg.
Dokonaliśmy tego poprzez scałkowanie
tej trójwymiarowej funkcji
gęstości, tej funkcji o trzech zmiennych.
Lub w trzech wymiarach
możesz oglądać to jako
pole skalarne, prawda?
W dowolnym punkcie
mamy wartość, ale
nie mamy kierunku.
A tą wartością jest gęstość.
Lecz my wprowadziliśmy
pole skalarne w tę objętość.
Więc to jest pewna nowa
umiejętność, którą nabyliśmy
dzięki całce potrójnej.
W następnym nagraniu zaprezentuję
jak poradzić sobie z bardziej
skomplikowaną całką potrójną.
Prawdziwy problem z potrójną całką to...
I myślę, że zobaczysz, że Twój
nauczyciel często będzie to robił.
kiedy rozwiązujesz potrójną
całkę, jeśli nie masz
prostych figur jak ta, obliczenie –
– jeśli rzeczywiście
chciałeś obliczyć analitycznie
potrójną całkę, która ma bardziej
skomplikowane granice lub
bardziej skomplikowane np.
funkcje gęstości.
Całka staję się bardzo
szybko przerażająca.
Często jest również bardzo
trudna lub czasochłonna do
obliczenia analitycznego
przy użyciu zwykłych
umiejętności rachunkowych.
Dostrzeżesz to na wielu egzaminach
z analizy, kiedy zaczynają
robić potrójne całki, chcą
abyś je tylko przygotował.
Biorąc na słowo, że do tej
pory zrobiłeś tak wiele całek,
możesz spróbować znaleźć
funkcję pierwotną.
Czasami, jeśli naprawdę chcą ci dać coś
trudniejszego, powiedzą,
cóż, zmień kolejność.
Wiesz, to jest całka, w której
mamy do czynienia
z z, później z y, a następnie z x.
Chcemy abyś przepisał tę całkę, kiedy
zmienisz kolejność.
I zrobimy to w następnym nagraniu.
Do zobaczenia wkrótce.
-