0:00:00.000,0:00:00.920
-

0:00:00.920,0:00:03.820
W ostatnim nagraniu wzięliśmy [br]ten prostokąt i użyliśmy całki

0:00:03.820,0:00:05.170
potrójnej do znalezienia jego objętości.

0:00:05.170,0:00:08.000
Wiem, że prawdopodobnie [br]pomyślałeś sobie: przecież mogłem

0:00:08.000,0:00:12.100
po prostu użyć elementarnej geometrii [br]i pomnożyć wysokość razy

0:00:12.100,0:00:12.940
szerokość razy głębokość.

0:00:12.940,0:00:15.720
I masz rację, ponieważ była to [br]funkcja o wartości stałej.

0:00:15.720,0:00:18.320
Następnie jeszcze raz liczyliśmy, [br]całkowaliśmy

0:00:18.320,0:00:20.630
względem z i skończyliśmy [br]z całką podwójną, co

0:00:20.630,0:00:23.840
jest dokładnie tym co robiliśmy [br]w kilku ostatnich nagraniach,

0:00:23.840,0:00:26.580
kiedy to uczyliśmy się o [br]objętości pod powierzchnią.

0:00:26.580,0:00:28.560
Jednakże później nastąpił moment [br]zwrotny na końcu nagrania.

0:00:28.560,0:00:33.000
W porządku, byłeś w stanie obliczyć objętość

0:00:33.000,0:00:38.160
prostokątnego obszaru bezpośrednio,

0:00:38.160,0:00:39.000
wykorzystując rzeczy, które już znasz.

0:00:39.000,0:00:42.080
Ale co jeśli naszym celem nie jest [br]wyliczenie objętości?

0:00:42.080,0:00:46.790
Naszym celem było wyliczenie [br]masy tej objętości, a nawet

0:00:46.790,0:00:50.240
więcej, masy substancji, [br]której używamy. Czy to

0:00:50.240,0:00:53.060
objętość gazu czy ciała stałego.

0:00:53.060,0:00:55.050
Jego gęstość nie jest stała.

0:00:55.050,0:00:58.080
Więc teraz masa staje się poniekąd... [br]jakby to powiedzieć...

0:00:58.080,0:00:59.550
czymś interesującym do obliczenia.

0:00:59.550,0:01:03.740
I tak, to co zdefiniowaliśmy [br]to funkcja gęstości.

0:01:03.740,0:01:07.770
No i ro, przypominające literkę p [br]z wygiętym dołem,

0:01:07.770,0:01:09.855
która określa nam gęstość [br]w danym punkcie.

0:01:09.855,0:01:11.370
Na końcu ostatniego nagrania [br]wspomnieliśmy o tym

0:01:11.370,0:01:12.830
czym jest masa.

0:01:12.830,0:01:16.050
Masa to po prostu gęstość razy objętość.

0:01:16.050,0:01:16.750
Można patrzeć na to w inny sposób.

0:01:16.750,0:01:21.170
Gęstość to to samo co masa [br]dzielona przez objętość.

0:01:21.170,0:01:26.630
Zatem masa wokół bardzo [br]małego punktu, który zwiemy

0:01:26.630,0:01:29.750
d masą, różniczka masy, równa się

0:01:29.750,0:01:33.450
gęstości w tym punkcie lub przybliżonej [br]gęstości dokładnie w tym

0:01:33.450,0:01:36.790
punkcie, razy różniczka objętości [br]wokół tego punktu,

0:01:36.790,0:01:40.100
razy objętość tego małego sześcianu.

0:01:40.100,0:01:43.140
Później, tak jak to było w ostatnim [br]nagraniu, jeśli używasz

0:01:43.140,0:01:46.240
współrzędnych prostokątnych, to tę [br]różniczkę objętości można by

0:01:46.240,0:01:50.390
obliczyć wzorem odległość x razy [br]odległość y razy odległość z.

0:01:50.390,0:01:55.690
Zatem gęstość zdefiniowana jest

0:01:55.690,0:01:57.730
jako x, y i z, a my chcieliśmy znaleźć

0:01:57.730,0:02:01.560
masę tej objętości.

0:02:01.560,0:02:04.140
Powiedzmy, że nasze współrzędne [br]x, y i z – ich

0:02:04.140,0:02:05.990
wartości, powiedzmy, że są w metrach,

0:02:05.990,0:02:09.340
a gęstość w kilogramach na metr sześcienny.

0:02:09.340,0:02:12.270
Więc w tym przypadku nasz wynik [br]będzie w kilogramach.

0:02:12.270,0:02:14.480
A to są tradycyjne jednostki układu Si.

0:02:14.480,0:02:21.210
Obliczmy zatem masę tej [br]objętości o zmiennej gęstości.

0:02:21.210,0:02:24.150
Więc wszystko co musimy [br]zrobić to całkowanie.

0:02:24.150,0:02:26.720
-

0:02:26.720,0:02:29.860
Różniczka masy będzie [br]miała tę wartość,

0:02:29.860,0:02:30.996
zatem zapiszmy to.

0:02:30.996,0:02:34.850
-

0:02:34.850,0:02:38.920
To jest x... Upewnię się, że [br]wystarczy mi miejsca.

0:02:38.920,0:02:43.390
xyz razy... scałkuję to

0:02:43.390,0:02:45.890
najpierw względem dz.

0:02:45.890,0:02:47.910
Ale sam możesz zamienić kolejność.

0:02:47.910,0:02:49.750
Zrobimy to może w następnym nagraniu.

0:02:49.750,0:02:55.810
Najpierw zrobimy dz, później dy, [br]a na końcu dx.

0:02:55.810,0:03:00.120
-

0:03:00.120,0:03:02.490
Raz jeszcze, to jest po prostu[br]masa w każdej małej

0:03:02.490,0:03:04.310
różniczce objętości.

0:03:04.310,0:03:07.760
Jeśli scałkujemy najpierw z, [br]z będzie skąd?

0:03:07.760,0:03:10.770
Granice dla z oznaczone od 0 do 2.

0:03:10.770,0:03:14.050
-

0:03:14.050,0:03:18.255
Granice dla y oznaczone od 0 do 4.

0:03:18.255,0:03:21.110
-

0:03:21.110,0:03:23.890
A granice dla x, [br]x przebiega od 0 do 3.

0:03:23.890,0:03:26.750
-

0:03:26.750,0:03:27.910
Jak to obliczamy?

0:03:27.910,0:03:29.900
Cóż, jaka jest funkcja pierwotna?

0:03:29.900,0:03:31.370
Najpierw całkujemy względem z.

0:03:31.370,0:03:35.660
Więc co jest funkcją pierwotną [br]xyz względem z?

0:03:35.660,0:03:37.080
Zobaczmy.

0:03:37.080,0:03:45.080
To jest tylko stała, więc to [br]będzie xyz^2 dzielone przez 2.

0:03:45.080,0:03:46.040
Dobrze?

0:03:46.040,0:03:46.810
Tak, jest dobrze.

0:03:46.810,0:03:52.690
Teraz obliczymy to od 2 do 0.

0:03:52.690,0:03:54.870
Otrzymamy... Wiem, [br]kończy mi się miejsce.

0:03:54.870,0:03:59.420
Otrzymamy 2 do kwadratu co daje 4,

0:03:59.420,0:04:00.990
podzielić przez 2, co daje 2.

0:04:00.990,0:04:05.460
Więc to będzie 2xy odjąć 0

0:04:05.460,0:04:09.070
Więc kiedy to obliczysz, otrzymasz 2xy

0:04:09.070,0:04:11.410
i teraz zostają Ci jeszcze dwie całki.

0:04:11.410,0:04:13.260
Nie zapisałem pozostałych dwóch całek.

0:04:13.260,0:04:13.820
Może je zapiszę.

0:04:13.820,0:04:16.680
Zostały Ci dwie całki.

0:04:16.680,0:04:20.660
Zostało Ci dy i dx.

0:04:20.660,0:04:28.710
y idzie od 0 do 4, a x od 0 do 3.

0:04:28.710,0:04:30.480
Na pewno nie starczy mi miejsca.

0:04:30.480,0:04:32.200
Teraz bierzesz funkcję pierwotną

0:04:32.200,0:04:34.110
względem y.

0:04:34.110,0:04:36.640
Więc jaka będzie funkcja [br]pierwotna względem y?

0:04:36.640,0:04:40.240
Pozwól, że wytrę trochę, [br]żebym się nie pogubił.

0:04:40.240,0:04:44.230
-

0:04:44.230,0:04:46.040
Doradzano mi żebym to przewijał,

0:04:46.040,0:04:48.340
no ale niestety za dużo tym razem

0:04:48.340,0:04:50.090
nie przewijałem.

0:04:50.090,0:04:54.160
Mogę to usunąć, tak myślę.

0:04:54.160,0:04:55.220
Ups, usunąłem trochę tego.

0:04:55.220,0:04:56.860
Ale wiesz co dokładnie wymazałem.

0:04:56.860,0:04:58.290
Dobra, weźmy funkcję pierwotną

0:04:58.290,0:04:59.290
względem y.

0:04:59.290,0:05:02.640
Zacznę tu gdzie mam wolne miejsce.

0:05:02.640,0:05:06.545
Dobra, więc funkcja pierwotna [br]2xy względem y to

0:05:06.545,0:05:08.430
y^2 dzielone przez 2, [br]dwójki wykreślamy.

0:05:08.430,0:05:09.870
Wychodzi xy^2.

0:05:09.870,0:05:13.100
-

0:05:13.100,0:05:15.270
A y idzie od 0 do 4.

0:05:15.270,0:05:18.000
Później mamy jeszcze do [br]obliczenia zewnętrzną całkę.

0:05:18.000,0:05:22.395
x oznaczone od 0 do 3 dx.

0:05:22.395,0:05:24.215
Jeśli y równa się 4, to [br]otrzymujesz 16x.

0:05:24.215,0:05:27.050
-

0:05:27.050,0:05:29.050
Później jeśli y równe jest 0, [br]to całość równa się 0.

0:05:29.050,0:05:34.300
Otrzymujesz całkę z 16x [br]od 0 do 3 dx.

0:05:34.300,0:05:36.210
A to równa się czemu?

0:05:36.210,0:05:39.215
8x^2.

0:05:39.215,0:05:42.700
Obliczasz to od 0 do 3.

0:05:42.700,0:05:46.560
Kiedy x równa się 3, to [br]dostajemy 8 razy 9, czyli 72.

0:05:46.560,0:05:49.040
A 0 razy 8 równa się 0.

0:05:49.040,0:05:51.810
Więc masa naszej figury... [br]Objętość jaką obliczyliśmy

0:05:51.810,0:05:53.230
ostatnim razem wynosiła [br]24 metry sześcienne.

0:05:53.230,0:05:55.160
Wytarłem to, ale jeśli [br]oglądałeś ostatnie nagranie,

0:05:55.160,0:05:56.210
to było to czego się nauczyliśmy.

0:05:56.210,0:06:00.570
Ale jego masa wynosi 72 kg.

0:06:00.570,0:06:06.420
Dokonaliśmy tego poprzez scałkowanie [br]tej trójwymiarowej funkcji

0:06:06.420,0:06:08.090
gęstości, tej funkcji o trzech zmiennych.

0:06:08.090,0:06:10.230
Lub w trzech wymiarach [br]możesz oglądać to jako

0:06:10.230,0:06:11.440
pole skalarne, prawda?

0:06:11.440,0:06:13.910
W dowolnym punkcie [br]mamy wartość, ale

0:06:13.910,0:06:14.420
nie mamy kierunku.

0:06:14.420,0:06:16.020
A tą wartością jest gęstość.

0:06:16.020,0:06:20.540
Lecz my wprowadziliśmy [br]pole skalarne w tę objętość.

0:06:20.540,0:06:22.650
Więc to jest pewna nowa [br]umiejętność, którą nabyliśmy

0:06:22.650,0:06:23.620
dzięki całce potrójnej.

0:06:23.620,0:06:26.280
W następnym nagraniu zaprezentuję [br]jak poradzić sobie z bardziej

0:06:26.280,0:06:27.460
skomplikowaną całką potrójną.

0:06:27.460,0:06:29.820
Prawdziwy problem z potrójną całką to...

0:06:29.820,0:06:32.180
I myślę, że zobaczysz, że Twój [br]nauczyciel często będzie to robił.

0:06:32.180,0:06:34.630
kiedy rozwiązujesz potrójną [br]całkę, jeśli nie masz

0:06:34.630,0:06:38.290
prostych figur jak ta, obliczenie – [br]– jeśli rzeczywiście

0:06:38.290,0:06:41.500
chciałeś obliczyć analitycznie [br]potrójną całkę, która ma bardziej

0:06:41.500,0:06:44.910
skomplikowane granice lub [br]bardziej skomplikowane np.

0:06:44.910,0:06:46.280
funkcje gęstości.

0:06:46.280,0:06:48.850
Całka staję się bardzo [br]szybko przerażająca.

0:06:48.850,0:06:52.610
Często jest również bardzo [br]trudna lub czasochłonna do

0:06:52.610,0:06:55.760
obliczenia analitycznego [br]przy użyciu zwykłych

0:06:55.760,0:06:56.270
umiejętności rachunkowych.

0:06:56.270,0:06:59.790
Dostrzeżesz to na wielu egzaminach [br]z analizy, kiedy zaczynają

0:06:59.790,0:07:02.500
robić potrójne całki, chcą [br]abyś je tylko przygotował.

0:07:02.500,0:07:05.520
Biorąc na słowo, że do tej [br]pory zrobiłeś tak wiele całek,

0:07:05.520,0:07:07.490
możesz spróbować znaleźć [br]funkcję pierwotną.

0:07:07.490,0:07:09.820
Czasami, jeśli naprawdę chcą ci dać coś

0:07:09.820,0:07:12.530
trudniejszego, powiedzą, [br]cóż, zmień kolejność.

0:07:12.530,0:07:14.930
Wiesz, to jest całka, w której [br]mamy do czynienia

0:07:14.930,0:07:16.700
z z, później z y, a następnie z x.

0:07:16.700,0:07:18.510
Chcemy abyś przepisał tę całkę, kiedy

0:07:18.510,0:07:19.730
zmienisz kolejność.

0:07:19.730,0:07:22.700
I zrobimy to w następnym nagraniu.

0:07:22.700,0:07:24.270
Do zobaczenia wkrótce.

0:07:24.270,0:07:25.500
-