1
00:00:00,000 --> 00:00:00,920
-

2
00:00:00,920 --> 00:00:03,820
W ostatnim nagraniu wzięliśmy 
ten prostokąt i użyliśmy całki

3
00:00:03,820 --> 00:00:05,170
potrójnej do znalezienia jego objętości.

4
00:00:05,170 --> 00:00:08,000
Wiem, że prawdopodobnie 
pomyślałeś sobie: przecież mogłem

5
00:00:08,000 --> 00:00:12,100
po prostu użyć elementarnej geometrii 
i pomnożyć wysokość razy

6
00:00:12,100 --> 00:00:12,940
szerokość razy głębokość.

7
00:00:12,940 --> 00:00:15,720
I masz rację, ponieważ była to 
funkcja o wartości stałej.

8
00:00:15,720 --> 00:00:18,320
Następnie jeszcze raz liczyliśmy, 
całkowaliśmy

9
00:00:18,320 --> 00:00:20,630
względem z i skończyliśmy 
z całką podwójną, co

10
00:00:20,630 --> 00:00:23,840
jest dokładnie tym co robiliśmy 
w kilku ostatnich nagraniach,

11
00:00:23,840 --> 00:00:26,580
kiedy to uczyliśmy się o 
objętości pod powierzchnią.

12
00:00:26,580 --> 00:00:28,560
Jednakże później nastąpił moment 
zwrotny na końcu nagrania.

13
00:00:28,560 --> 00:00:33,000
W porządku, byłeś w stanie obliczyć objętość

14
00:00:33,000 --> 00:00:38,160
prostokątnego obszaru bezpośrednio,

15
00:00:38,160 --> 00:00:39,000
wykorzystując rzeczy, które już znasz.

16
00:00:39,000 --> 00:00:42,080
Ale co jeśli naszym celem nie jest 
wyliczenie objętości?

17
00:00:42,080 --> 00:00:46,790
Naszym celem było wyliczenie 
masy tej objętości, a nawet

18
00:00:46,790 --> 00:00:50,240
więcej, masy substancji, 
której używamy. Czy to

19
00:00:50,240 --> 00:00:53,060
objętość gazu czy ciała stałego.

20
00:00:53,060 --> 00:00:55,050
Jego gęstość nie jest stała.

21
00:00:55,050 --> 00:00:58,080
Więc teraz masa staje się poniekąd... 
jakby to powiedzieć...

22
00:00:58,080 --> 00:00:59,550
czymś interesującym do obliczenia.

23
00:00:59,550 --> 00:01:03,740
I tak, to co zdefiniowaliśmy 
to funkcja gęstości.

24
00:01:03,740 --> 00:01:07,770
No i ro, przypominające literkę p 
z wygiętym dołem,

25
00:01:07,770 --> 00:01:09,855
która określa nam gęstość 
w danym punkcie.

26
00:01:09,855 --> 00:01:11,370
Na końcu ostatniego nagrania 
wspomnieliśmy o tym

27
00:01:11,370 --> 00:01:12,830
czym jest masa.

28
00:01:12,830 --> 00:01:16,050
Masa to po prostu gęstość razy objętość.

29
00:01:16,050 --> 00:01:16,750
Można patrzeć na to w inny sposób.

30
00:01:16,750 --> 00:01:21,170
Gęstość to to samo co masa 
dzielona przez objętość.

31
00:01:21,170 --> 00:01:26,630
Zatem masa wokół bardzo 
małego punktu, który zwiemy

32
00:01:26,630 --> 00:01:29,750
d masą, różniczka masy, równa się

33
00:01:29,750 --> 00:01:33,450
gęstości w tym punkcie lub przybliżonej 
gęstości dokładnie w tym

34
00:01:33,450 --> 00:01:36,790
punkcie, razy różniczka objętości 
wokół tego punktu,

35
00:01:36,790 --> 00:01:40,100
razy objętość tego małego sześcianu.

36
00:01:40,100 --> 00:01:43,140
Później, tak jak to było w ostatnim 
nagraniu, jeśli używasz

37
00:01:43,140 --> 00:01:46,240
współrzędnych prostokątnych, to tę 
różniczkę objętości można by

38
00:01:46,240 --> 00:01:50,390
obliczyć wzorem odległość x razy 
odległość y razy odległość z.

39
00:01:50,390 --> 00:01:55,690
Zatem gęstość zdefiniowana jest

40
00:01:55,690 --> 00:01:57,730
jako x, y i z, a my chcieliśmy znaleźć

41
00:01:57,730 --> 00:02:01,560
masę tej objętości.

42
00:02:01,560 --> 00:02:04,140
Powiedzmy, że nasze współrzędne 
x, y i z – ich

43
00:02:04,140 --> 00:02:05,990
wartości, powiedzmy, że są w metrach,

44
00:02:05,990 --> 00:02:09,340
a gęstość w kilogramach na metr sześcienny.

45
00:02:09,340 --> 00:02:12,270
Więc w tym przypadku nasz wynik 
będzie w kilogramach.

46
00:02:12,270 --> 00:02:14,480
A to są tradycyjne jednostki układu Si.

47
00:02:14,480 --> 00:02:21,210
Obliczmy zatem masę tej 
objętości o zmiennej gęstości.

48
00:02:21,210 --> 00:02:24,150
Więc wszystko co musimy 
zrobić to całkowanie.

49
00:02:24,150 --> 00:02:26,720
-

50
00:02:26,720 --> 00:02:29,860
Różniczka masy będzie 
miała tę wartość,

51
00:02:29,860 --> 00:02:30,996
zatem zapiszmy to.

52
00:02:30,996 --> 00:02:34,850
-

53
00:02:34,850 --> 00:02:38,920
To jest x... Upewnię się, że 
wystarczy mi miejsca.

54
00:02:38,920 --> 00:02:43,390
xyz razy... scałkuję to

55
00:02:43,390 --> 00:02:45,890
najpierw względem dz.

56
00:02:45,890 --> 00:02:47,910
Ale sam możesz zamienić kolejność.

57
00:02:47,910 --> 00:02:49,750
Zrobimy to może w następnym nagraniu.

58
00:02:49,750 --> 00:02:55,810
Najpierw zrobimy dz, później dy, 
a na końcu dx.

59
00:02:55,810 --> 00:03:00,120
-

60
00:03:00,120 --> 00:03:02,490
Raz jeszcze, to jest po prostu
masa w każdej małej

61
00:03:02,490 --> 00:03:04,310
różniczce objętości.

62
00:03:04,310 --> 00:03:07,760
Jeśli scałkujemy najpierw z, 
z będzie skąd?

63
00:03:07,760 --> 00:03:10,770
Granice dla z oznaczone od 0 do 2.

64
00:03:10,770 --> 00:03:14,050
-

65
00:03:14,050 --> 00:03:18,255
Granice dla y oznaczone od 0 do 4.

66
00:03:18,255 --> 00:03:21,110
-

67
00:03:21,110 --> 00:03:23,890
A granice dla x, 
x przebiega od 0 do 3.

68
00:03:23,890 --> 00:03:26,750
-

69
00:03:26,750 --> 00:03:27,910
Jak to obliczamy?

70
00:03:27,910 --> 00:03:29,900
Cóż, jaka jest funkcja pierwotna?

71
00:03:29,900 --> 00:03:31,370
Najpierw całkujemy względem z.

72
00:03:31,370 --> 00:03:35,660
Więc co jest funkcją pierwotną 
xyz względem z?

73
00:03:35,660 --> 00:03:37,080
Zobaczmy.

74
00:03:37,080 --> 00:03:45,080
To jest tylko stała, więc to 
będzie xyz^2 dzielone przez 2.

75
00:03:45,080 --> 00:03:46,040
Dobrze?

76
00:03:46,040 --> 00:03:46,810
Tak, jest dobrze.

77
00:03:46,810 --> 00:03:52,690
Teraz obliczymy to od 2 do 0.

78
00:03:52,690 --> 00:03:54,870
Otrzymamy... Wiem, 
kończy mi się miejsce.

79
00:03:54,870 --> 00:03:59,420
Otrzymamy 2 do kwadratu co daje 4,

80
00:03:59,420 --> 00:04:00,990
podzielić przez 2, co daje 2.

81
00:04:00,990 --> 00:04:05,460
Więc to będzie 2xy odjąć 0

82
00:04:05,460 --> 00:04:09,070
Więc kiedy to obliczysz, otrzymasz 2xy

83
00:04:09,070 --> 00:04:11,410
i teraz zostają Ci jeszcze dwie całki.

84
00:04:11,410 --> 00:04:13,260
Nie zapisałem pozostałych dwóch całek.

85
00:04:13,260 --> 00:04:13,820
Może je zapiszę.

86
00:04:13,820 --> 00:04:16,680
Zostały Ci dwie całki.

87
00:04:16,680 --> 00:04:20,660
Zostało Ci dy i dx.

88
00:04:20,660 --> 00:04:28,710
y idzie od 0 do 4, a x od 0 do 3.

89
00:04:28,710 --> 00:04:30,480
Na pewno nie starczy mi miejsca.

90
00:04:30,480 --> 00:04:32,200
Teraz bierzesz funkcję pierwotną

91
00:04:32,200 --> 00:04:34,110
względem y.

92
00:04:34,110 --> 00:04:36,640
Więc jaka będzie funkcja 
pierwotna względem y?

93
00:04:36,640 --> 00:04:40,240
Pozwól, że wytrę trochę, 
żebym się nie pogubił.

94
00:04:40,240 --> 00:04:44,230
-

95
00:04:44,230 --> 00:04:46,040
Doradzano mi żebym to przewijał,

96
00:04:46,040 --> 00:04:48,340
no ale niestety za dużo tym razem

97
00:04:48,340 --> 00:04:50,090
nie przewijałem.

98
00:04:50,090 --> 00:04:54,160
Mogę to usunąć, tak myślę.

99
00:04:54,160 --> 00:04:55,220
Ups, usunąłem trochę tego.

100
00:04:55,220 --> 00:04:56,860
Ale wiesz co dokładnie wymazałem.

101
00:04:56,860 --> 00:04:58,290
Dobra, weźmy funkcję pierwotną

102
00:04:58,290 --> 00:04:59,290
względem y.

103
00:04:59,290 --> 00:05:02,640
Zacznę tu gdzie mam wolne miejsce.

104
00:05:02,640 --> 00:05:06,545
Dobra, więc funkcja pierwotna 
2xy względem y to

105
00:05:06,545 --> 00:05:08,430
y^2 dzielone przez 2, 
dwójki wykreślamy.

106
00:05:08,430 --> 00:05:09,870
Wychodzi xy^2.

107
00:05:09,870 --> 00:05:13,100
-

108
00:05:13,100 --> 00:05:15,270
A y idzie od 0 do 4.

109
00:05:15,270 --> 00:05:18,000
Później mamy jeszcze do 
obliczenia zewnętrzną całkę.

110
00:05:18,000 --> 00:05:22,395
x oznaczone od 0 do 3 dx.

111
00:05:22,395 --> 00:05:24,215
Jeśli y równa się 4, to 
otrzymujesz 16x.

112
00:05:24,215 --> 00:05:27,050
-

113
00:05:27,050 --> 00:05:29,050
Później jeśli y równe jest 0, 
to całość równa się 0.

114
00:05:29,050 --> 00:05:34,300
Otrzymujesz całkę z 16x 
od 0 do 3 dx.

115
00:05:34,300 --> 00:05:36,210
A to równa się czemu?

116
00:05:36,210 --> 00:05:39,215
8x^2.

117
00:05:39,215 --> 00:05:42,700
Obliczasz to od 0 do 3.

118
00:05:42,700 --> 00:05:46,560
Kiedy x równa się 3, to 
dostajemy 8 razy 9, czyli 72.

119
00:05:46,560 --> 00:05:49,040
A 0 razy 8 równa się 0.

120
00:05:49,040 --> 00:05:51,810
Więc masa naszej figury... 
Objętość jaką obliczyliśmy

121
00:05:51,810 --> 00:05:53,230
ostatnim razem wynosiła 
24 metry sześcienne.

122
00:05:53,230 --> 00:05:55,160
Wytarłem to, ale jeśli 
oglądałeś ostatnie nagranie,

123
00:05:55,160 --> 00:05:56,210
to było to czego się nauczyliśmy.

124
00:05:56,210 --> 00:06:00,570
Ale jego masa wynosi 72 kg.

125
00:06:00,570 --> 00:06:06,420
Dokonaliśmy tego poprzez scałkowanie 
tej trójwymiarowej funkcji

126
00:06:06,420 --> 00:06:08,090
gęstości, tej funkcji o trzech zmiennych.

127
00:06:08,090 --> 00:06:10,230
Lub w trzech wymiarach 
możesz oglądać to jako

128
00:06:10,230 --> 00:06:11,440
pole skalarne, prawda?

129
00:06:11,440 --> 00:06:13,910
W dowolnym punkcie 
mamy wartość, ale

130
00:06:13,910 --> 00:06:14,420
nie mamy kierunku.

131
00:06:14,420 --> 00:06:16,020
A tą wartością jest gęstość.

132
00:06:16,020 --> 00:06:20,540
Lecz my wprowadziliśmy 
pole skalarne w tę objętość.

133
00:06:20,540 --> 00:06:22,650
Więc to jest pewna nowa 
umiejętność, którą nabyliśmy

134
00:06:22,650 --> 00:06:23,620
dzięki całce potrójnej.

135
00:06:23,620 --> 00:06:26,280
W następnym nagraniu zaprezentuję 
jak poradzić sobie z bardziej

136
00:06:26,280 --> 00:06:27,460
skomplikowaną całką potrójną.

137
00:06:27,460 --> 00:06:29,820
Prawdziwy problem z potrójną całką to...

138
00:06:29,820 --> 00:06:32,180
I myślę, że zobaczysz, że Twój 
nauczyciel często będzie to robił.

139
00:06:32,180 --> 00:06:34,630
kiedy rozwiązujesz potrójną 
całkę, jeśli nie masz

140
00:06:34,630 --> 00:06:38,290
prostych figur jak ta, obliczenie – 
– jeśli rzeczywiście

141
00:06:38,290 --> 00:06:41,500
chciałeś obliczyć analitycznie 
potrójną całkę, która ma bardziej

142
00:06:41,500 --> 00:06:44,910
skomplikowane granice lub 
bardziej skomplikowane np.

143
00:06:44,910 --> 00:06:46,280
funkcje gęstości.

144
00:06:46,280 --> 00:06:48,850
Całka staję się bardzo 
szybko przerażająca.

145
00:06:48,850 --> 00:06:52,610
Często jest również bardzo 
trudna lub czasochłonna do

146
00:06:52,610 --> 00:06:55,760
obliczenia analitycznego 
przy użyciu zwykłych

147
00:06:55,760 --> 00:06:56,270
umiejętności rachunkowych.

148
00:06:56,270 --> 00:06:59,790
Dostrzeżesz to na wielu egzaminach 
z analizy, kiedy zaczynają

149
00:06:59,790 --> 00:07:02,500
robić potrójne całki, chcą 
abyś je tylko przygotował.

150
00:07:02,500 --> 00:07:05,520
Biorąc na słowo, że do tej 
pory zrobiłeś tak wiele całek,

151
00:07:05,520 --> 00:07:07,490
możesz spróbować znaleźć 
funkcję pierwotną.

152
00:07:07,490 --> 00:07:09,820
Czasami, jeśli naprawdę chcą ci dać coś

153
00:07:09,820 --> 00:07:12,530
trudniejszego, powiedzą, 
cóż, zmień kolejność.

154
00:07:12,530 --> 00:07:14,930
Wiesz, to jest całka, w której 
mamy do czynienia

155
00:07:14,930 --> 00:07:16,700
z z, później z y, a następnie z x.

156
00:07:16,700 --> 00:07:18,510
Chcemy abyś przepisał tę całkę, kiedy

157
00:07:18,510 --> 00:07:19,730
zmienisz kolejność.

158
00:07:19,730 --> 00:07:22,700
I zrobimy to w następnym nagraniu.

159
00:07:22,700 --> 00:07:24,270
Do zobaczenia wkrótce.

160
00:07:24,270 --> 00:07:25,500
-