-
W ostatnim nagraniu wzięliśmy ten prostokąt i użyliśmy całki
potrójnej do znalezienia jego objętości.
Wiem, że prawdopodobnie pomyślałeś sobie: przecież mogłem
po prostu użyć elementarnej geometrii i pomnożyć wysokość razy
szerokość razy głębokość.
I masz rację, ponieważ była to funkcja o wartości stałej.
Następnie jeszcze raz liczyliśmy, całkowaliśmy
względem z i skończyliśmy z całką podwójną, co
jest dokładnie tym co robiliśmy w kilku ostatnich nagraniach,
kiedy to uczyliśmy się o objętości pod powierzchnią.
Jednakże później nastąpił moment zwrotny na końcu nagrania.
W porządku, byłeś w stanie obliczyć objętość
prostokątnego obszaru bezpośrednio,
wykorzystując rzeczy, które już znasz.
Ale co jeśli naszym celem nie jest wyliczenie objętości?
Naszym celem było wyliczenie masy tej objętości, a nawet
więcej, masy substancji, której używamy. Czy to
objętość gazu czy ciała stałego.
Jego gęstość nie jest stała.
Więc teraz masa staje się poniekąd... jakby to powiedzieć...
czymś interesującym do obliczenia.
I tak, to co zdefiniowaliśmy to funkcja gęstości.
No i ro, przypominające literkę p z wygiętym dołem,
która określa nam gęstość w danym punkcie.
Na końcu ostatniego nagrania wspomnieliśmy o tym
czym jest masa.
Masa to po prostu gęstość razy objętość.
Można patrzeć na to w inny sposób.
Gęstość to to samo co masa dzielona przez objętość.
Zatem masa wokół bardzo małego punktu, który zwiemy
d masą, różniczka masy, równa się
gęstości w tym punkcie lub przybliżonej gęstości dokładnie w tym
punkcie, razy różniczka objętości wokół tego punktu,
razy objętość tego małego sześcianu.
Później, tak jak to było w ostatnim nagraniu, jeśli używasz
współrzędnych prostokątnych, to tę różniczkę objętości można by
obliczyć wzorem odległość x razy odległość y razy odległość z.
Zatem gęstość zdefiniowana jest
jako x, y i z, a my chcieliśmy znaleźć
masę tej objętości.
Powiedzmy, że nasze współrzędne x, y i z – ich
wartości, powiedzmy, że są w metrach,
a gęstość w kilogramach na metr sześcienny.
Więc w tym przypadku nasz wynik będzie w kilogramach.
A to są tradycyjne jednostki układu Si.
Obliczmy zatem masę tej objętości o zmiennej gęstości.
Więc wszystko co musimy zrobić to całkowanie.
-
Różniczka masy będzie miała tę wartość,
zatem zapiszmy to.
-
To jest x... Upewnię się, że wystarczy mi miejsca.
xyz razy... scałkuję to
najpierw względem dz.
Ale sam możesz zamienić kolejność.
Zrobimy to może w następnym nagraniu.
Najpierw zrobimy dz, później dy, a na końcu dx.
-
Raz jeszcze, to jest po prostu masa w każdej małej
różniczce objętości.
Jeśli scałkujemy najpierw z, z będzie skąd?
Granice dla z oznaczone od 0 do 2.
-
Granice dla y oznaczone od 0 do 4.
-
A granice dla x, x przebiega od 0 do 3.
-
Jak to obliczamy?
Cóż, jaka jest funkcja pierwotna?
Najpierw całkujemy względem z.
Więc co jest funkcją pierwotną xyz względem z?
Zobaczmy.
To jest tylko stała, więc to będzie xyz^2 dzielone przez 2.
Dobrze?
Tak, jest dobrze.
Teraz obliczymy to od 2 do 0.
Otrzymamy... Wiem, kończy mi się miejsce.
Otrzymamy 2 do kwadratu co daje 4,
podzielić przez 2, co daje 2.
Więc to będzie 2xy odjąć 0
Więc kiedy to obliczysz, otrzymasz 2xy
i teraz zostają Ci jeszcze dwie całki.
Nie zapisałem pozostałych dwóch całek.
Może je zapiszę.
Zostały Ci dwie całki.
Zostało Ci dy i dx.
y idzie od 0 do 4, a x od 0 do 3.
Na pewno nie starczy mi miejsca.
Teraz bierzesz funkcję pierwotną
względem y.
Więc jaka będzie funkcja pierwotna względem y?
Pozwól, że wytrę trochę, żebym się nie pogubił.
-
Doradzano mi żebym to przewijał,
no ale niestety za dużo tym razem
nie przewijałem.
Mogę to usunąć, tak myślę.
Ups, usunąłem trochę tego.
Ale wiesz co dokładnie wymazałem.
Dobra, weźmy funkcję pierwotną
względem y.
Zacznę tu gdzie mam wolne miejsce.
Dobra, więc funkcja pierwotna 2xy względem y to
y^2 dzielone przez 2, dwójki wykreślamy.
Wychodzi xy^2.
-
A y idzie od 0 do 4.
Później mamy jeszcze do obliczenia zewnętrzną całkę.
x oznaczone od 0 do 3 dx.
Jeśli y równa się 4, to otrzymujesz 16x.
-
Później jeśli y równe jest 0, to całość równa się 0.
Otrzymujesz całkę z 16x od 0 do 3 dx.
A to równa się czemu?
8x^2.
Obliczasz to od 0 do 3.
Kiedy x równa się 3, to dostajemy 8 razy 9, czyli 72.
A 0 razy 8 równa się 0.
Więc masa naszej figury... Objętość jaką obliczyliśmy
ostatnim razem wynosiła 24 metry sześcienne.
Wytarłem to, ale jeśli oglądałeś ostatnie nagranie,
to było to czego się nauczyliśmy.
Ale jego masa wynosi 72 kg.
Dokonaliśmy tego poprzez scałkowanie tej trójwymiarowej funkcji
gęstości, tej funkcji o trzech zmiennych.
Lub w trzech wymiarach możesz oglądać to jako
pole skalarne, prawda?
W dowolnym punkcie mamy wartość, ale
nie mamy kierunku.
A tą wartością jest gęstość.
Lecz my wprowadziliśmy pole skalarne w tę objętość.
Więc to jest pewna nowa umiejętność, którą nabyliśmy
dzięki całce potrójnej.
W następnym nagraniu zaprezentuję jak poradzić sobie z bardziej
skomplikowaną całką potrójną.
Prawdziwy problem z potrójną całką to...
I myślę, że zobaczysz, że Twój nauczyciel często będzie to robił.
kiedy rozwiązujesz potrójną całkę, jeśli nie masz
prostych figur jak ta, obliczenie – – jeśli rzeczywiście
chciałeś obliczyć analitycznie potrójną całkę, która ma bardziej
skomplikowane granice lub bardziej skomplikowane np.
funkcje gęstości.
Całka staję się bardzo szybko przerażająca.
Często jest również bardzo trudna lub czasochłonna do
obliczenia analitycznego przy użyciu zwykłych
umiejętności rachunkowych.
Dostrzeżesz to na wielu egzaminach z analizy, kiedy zaczynają
robić potrójne całki, chcą abyś je tylko przygotował.
Biorąc na słowo, że do tej pory zrobiłeś tak wiele całek,
możesz spróbować znaleźć funkcję pierwotną.
Czasami, jeśli naprawdę chcą ci dać coś
trudniejszego, powiedzą, cóż, zmień kolejność.
Wiesz, to jest całka, w której mamy do czynienia
z z, później z y, a następnie z x.
Chcemy abyś przepisał tę całkę, kiedy
zmienisz kolejność.
I zrobimy to w następnym nagraniu.
Do zobaczenia wkrótce.
-